Équations

L'essai-erreur peut être utilisé pour résoudre une équation : tester des valeurs de l'inconnue jusqu'à ce que l'une rende l'équation vraie — cette valeur est une solution (une équation peut avoir plusieurs solutions). Pour chaque valeur, on remplace l'inconnue par cette valeur dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite.
Pour des équations simples, on peut parfois trouver la solution simplement en regardant l'équation. On parle alors de résolution de tête. Si la solution est négative ou non entière, les essais peuvent être très longs : d'où l'intérêt de méthodes qui ne reposent pas sur des essais.

L'essai-erreur teste une valeur à la fois. Un tableau de valeurs en teste plusieurs d'un coup et, quand aucune valeur testée ne convient, peut montrer entre quelles valeurs se trouve la solution.

1. Construire trois lignes : une ligne pour les valeurs de l'inconnue, une ligne pour le membre de gauche, une ligne pour le membre de droite.
2. Remplir le tableau en remplaçant l'inconnue par chaque valeur dans les deux membres.
3. Lire le tableau : une valeur pour laquelle les deux membres sont égaux est une solution, le tableau la conjecture.
4. Encadrer la solution quand aucune valeur testée ne convient : si le membre de gauche est plus petit que celui de droite pour une valeur et plus grand pour la suivante, les deux membres ont échangé leur ordre, donc une solution se trouve entre ces deux valeurs — cela vaut quand les deux membres sont de la forme \(ax + b\). Un pas plus fin rapproche ensuite la conjecture.
5. Confirmer par substitution : un tableau donne une conjecture — les valeurs qu'il affiche peuvent être arrondies, et une valeur non testée peut être la solution. On remplace donc, dans l'équation, l'inconnue par la valeur lue, et on calcule de nouveau les deux membres.

Un tableur construit ce tableau d'un seul geste : la colonne A reçoit les valeurs de l'inconnue, la colonne B la formule du membre de gauche, la colonne C la formule du membre de droite ; recopier les deux formules vers le bas remplit toutes les lignes. La même recherche s'écrit aussi comme un programme en mots, qui parcourt les valeurs une à une et s'arrête dès que le membre de gauche cesse d'être plus petit que celui de droite — ici pour l'équation \(5x + 2 = 3x + 10\) de l'exemple ci-dessous :

Partir de \(x = 0\).

Tant que \(5x + 2\) est plus petit que \(3x + 10\), ajouter \(1\) à \(x\).

Afficher \(x\).

Pour créer une équation équivalente, appliquer la même opération aux deux membres, avec les règles d'or ci-dessous :

• Propriété d'addition/soustraction : Ajouter le même nombre aux deux membres, ou le soustraire des deux membres, produit une équation équivalente. $$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad A+c = B+c$$ (et de même \(A-c = B-c\))
• Propriété de multiplication/division : Multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul produit une équation équivalente. $$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad cA = cB \quad (c \neq 0)$$ $$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{A}{c} = \dfrac{B}{c} \quad (c \neq 0)$$

Dans de nombreuses équations du premier degré, on peut isoler l'inconnue en appliquant les opérations inverses dans l'ordre inverse.

1. Identifier la suite d'opérations utilisée pour construire l'expression contenant l'inconnue.
2. Inverser cette suite en utilisant les opérations inverses correspondantes, en appliquant chaque étape aux deux membres de l'équation.

Quand l'inconnue apparaît dans les deux membres d'une équation (avec deux coefficients de \(x\) différents) :

1. Soustraire des deux membres le terme en \(x\) qui a le plus petit coefficient — un terme en \(x\) est lui aussi un nombre (inconnu) : les règles d'or s'appliquent ; l'équilibre est conservé, un membre ne contient plus de \(x\), et le coefficient restant est positif. (Avec un terme en \(x\) négatif, ajouter son opposé.)
2. L'équation n'a plus qu'un seul terme en \(x\) : la résoudre en inversant les opérations (si le \(x\) se retrouve à droite, on peut échanger les deux membres).
3. Contrôler : remplacer \(x\) par la valeur obtenue dans les deux membres de l'équation de départ — ils doivent donner le même nombre.

Pour résoudre un problème en mots avec une équation :

1. Nommer l'inconnue : choisir une lettre et dire ce qu'elle représente, avec son unité.
2. Traduire morceau par morceau, dans l'ordre où la phrase agit sur le nombre.
3. Écrire l'égalité énoncée par la phrase.
4. Résoudre l'équation : regrouper les termes semblables ; si l'inconnue est dans les deux membres, la ramener dans un seul ; puis défaire les opérations dans l'ordre inverse.
5. Répondre par une phrase, avec l'unité, puis contrôler dans la phrase d'origine.