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Éducation Nationale Française · Quatrième

Se repérer dans un pavé droit (programme 2018, jusqu'en 2027)

⌚ ~27 min ▢ 3 blocs ✓ 12 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Pyramides et cônes, Fonctions
I Se repérer dans un pavé droit

Dans le plan, deux nombres repèrent un point. Une lampe est maintenant suspendue dans une pièce en forme de pavé droit. Combien de nombres faut-il pour dire exactement où se trouve la lampe, et que mesure chacun d'eux ?

Trois. Depuis un coin du sol, le premier nombre dit de combien avancer le long d'un mur, le deuxième de combien avancer parallèlement à l'autre mur, et le troisième de combien monter : deux nombres ne repèrent que le point du sol situé juste sous la lampe. Le troisième, la hauteur, est son altitude.


Définition — Repère d'un pavé droit
Un pavé droit \(ABCDEFGH\) fournit un repère de l'espace : l'origine est le sommet \(A\), et les trois arêtes \([AB]\), \([AD]\) et \([AE]\), perpendiculaires deux à deux, portent trois axes gradués. Un point \(M\) du pavé est repéré par trois nombres, ses coordonnées : son abscisse \(x\), lue le long de \((AB)\) ; son ordonnée \(y\), lue le long de \((AD)\) ; son altitude \(z\), lue le long de \((AE)\) — la hauteur au-dessus de la face \(ABCD\). On écrit \(M(x\,;y\,;z)\).
Illustration
Ici, l'unité est la même sur les trois axes : \(AB = 4\), \(AD = 3\) et \(AE = 2\).
Méthode — Lire les coordonnées d'un point
Pour aller de l'origine \(A\) à un point \(M\) du pavé, suivre les directions des arêtes, dans cet ordre :
  1. le long de \((AB)\) : la distance parcourue est l'abscisse \(x\) ;
  2. parallèlement à \((AD)\) : la distance parcourue est l'ordonnée \(y\) ;
  3. parallèlement à \((AE)\), vers le haut : la distance parcourue est l'altitude \(z\).
Écrire les trois nombres dans cet ordre : \(M(x\,;y\,;z)\). Un point de la face \(ABCD\) a pour altitude \(0\) ; un point de la face \(EFGH\) a pour altitude \(AE\).
Exemple
Dans le pavé de la définition (\(AB = 4\), \(AD = 3\), \(AE = 2\)) :
  1. donner les coordonnées des sommets \(B\), \(D\), \(C\), \(E\), \(G\) et \(H\) ;
  2. dire où se trouve le point \(P(2\,;3\,;1)\) ;
  3. dire où se trouve le point \(Q(2\,;1{,}5\,;1)\).

  1. Depuis \(A\) : pour atteindre \(B\), on avance de \(4\) le long de \((AB)\) seulement, donc \(B(4\,;0\,;0)\). De même \(D(0\,;3\,;0)\) et \(E(0\,;0\,;2)\). Pour atteindre \(C\), on avance de \(4\) le long de \((AB)\), puis de \(3\) parallèlement à \((AD)\) : \(C(4\,;3\,;0)\). \(G\) est juste au-dessus de \(C\), à la hauteur \(2\) : \(G(4\,;3\,;2)\). \(H\) est juste au-dessus de \(D\) : \(H(0\,;3\,;2)\).
  2. Son ordonnée vaut \(3 = AD\) : \(P\) est sur la face du fond \(DCGH\). Son abscisse \(2\) est la moitié de \(4\), et son altitude \(1\) la moitié de \(2\) : \(P\) est le centre de la face \(DCGH\).
  3. Ses trois coordonnées sont les moitiés de \(AB = 4\), \(AD = 3\) et \(AE = 2\) : \(Q\) n'est sur aucune face, il est à l'intérieur du pavé, exactement en son milieu — là où serait une lampe suspendue au milieu de la pièce.

Compétences à pratiquer
  • Lire des coordonnées dans un pavé
  • Situer des points dans un pavé
II Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Problèmes