I Qu'est-ce qu'une aire ?

I.1 L'aire d'une figure

Définition — Aire

L’aire d’une figure, c’est la quantité d’espace qu’elle occupe sur une surface plane.
On mesure l’aire en comptant combien d’unités d’aire la recouvrent exactement, sans trou ni chevauchement.

Exemple

Trouver l’aire de la figure rouge. Chaque carreau du quadrillage représente 1 unité d’aire.

Correction

Pour trouver l’aire, on compte chaque carreau à l’intérieur de la figure.

Il y a 4 carreaux à l’intérieur de la figure.
L’aire est donc de 4 unités d’aire.

Compétences à pratiquer

Calculer l'aire d'une forme

I.2 Comparer des aires sans mesurer

Méthode — Comparer des aires sans mesurer

Pour comparer les aires de deux figures sans mesurer :

Superposer : poser une figure sur l'autre (on a le droit de la tourner). Si elle tient dedans et qu'une partie de l'autre figure reste découverte, elle a la plus petite aire ; si les deux figures coïncident exactement, les aires sont égales.
Découper et recomposer : si aucune ne tient dans l'autre, découper une figure en morceaux et poser tous les morceaux sur l'autre figure, sans chevauchement — déplacer des morceaux ne change pas l'aire. S'ils la couvrent exactement, les aires sont égales ; si une partie de l'autre figure reste découverte, c'est elle qui a la plus grande aire.

Exemple

Comparer les aires de la figure en L (A) et du carré B.

Correction

On découpe la figure en L le long des pointillés, puis on pose les deux morceaux sur le carré B — le morceau 2 est tourné debout :

Les deux morceaux couvrent exactement le carré B, sans trou et sans chevauchement. Déplacer des morceaux ne change pas l'aire : les deux figures ont la même aire.

Compétences à pratiquer

Comparer en superposant et en découpant

II Les unités d'aire

II.1 Du mm² au km²

Définition — Les unités d’aire, du mm² au km²

L'aire se mesure en unités d'aire. Les unités usuelles sont fondées sur le système métrique.

Kilomètre carré ($\mathrm{km}^2$) : L'aire d'un carré de 1 km de côté. Utilisé pour de très grandes surfaces comme des villes ou des parcs nationaux.
Mètre carré ($\mathrm{m}^2$) : L'aire d'un carré de 1 m de côté. Utilisé pour des surfaces comme des pièces, des jardins ou des salles de classe.
Décimètre carré ($\mathrm{dm}^2$) : L'aire d'un carré de 1 dm de côté. Utilisé pour un carreau, une couverture de livre ou un écran.
Centimètre carré ($\mathrm{cm}^2$) : L'aire d'un carré de 1 cm de côté. Utilisé pour de petites surfaces comme un timbre ou une photo d'identité.
Millimètre carré ($\mathrm{mm}^2$) : L'aire d'un carré de 1 mm de côté. Utilisé pour de très petites surfaces.

Compétences à pratiquer

Choisir entre cm², dm² et m²
Choisir des unités pour l'aire

II.2 Convertir les unités d'aire

Proposition — Convertir entre cm², dm² et m²

Parmi le $\text{cm}^2$, le $\text{dm}^2$ et le $\text{m}^2$, deux unités voisines diffèrent d'un facteur $100$, car $10 \times 10 = 100$ :

$1 \, \text{dm}^2 = \mathbf{100} \, \text{cm}^2$ et $1 \, \text{m}^2 = \mathbf{100} \, \text{dm}^2$.
Pour aller vers une unité plus petite, multiplier par $100$ à chaque pas ; vers une unité plus grande, diviser par $100$.
En deux pas : $1 \, \text{m}^2 = 100 \, \text{dm}^2 = \mathbf{10\,000} \, \text{cm}^2$.

On s'appuie sur ces relations — aucun tableau de conversion n'est nécessaire.

Exemple

Convertir : $3 \, \text{dm}^2$ en $\text{cm}^2$ ; puis $500 \, \text{dm}^2$ en $\text{m}^2$ ; puis $2{,}5 \, \text{m}^2$ en $\text{dm}^2$.

Correction

Proposition — Le centième d'une unité d'aire

Un carré de $1$ dm de côté est pavé par $10$ rangées de $10$ carrés de $1$ cm de côté : $1~\mathrm{dm}^2 = 100~\mathrm{cm}^2$. Donc un centimètre carré est un centième de décimètre carré : $$1~\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{100}~\mathrm{dm}^2 = 0{,}01~\mathrm{dm}^2$$ De même, $1~\mathrm{m}^2 = 100~\mathrm{dm}^2$, donc un décimètre carré est un centième de mètre carré : $$1~\mathrm{dm}^2 = \frac{1}{100}~\mathrm{m}^2 = 0{,}01~\mathrm{m}^2$$

Exemple

Convertir $7~\mathrm{cm}^2$ en $\mathrm{dm}^2$, puis $35~\mathrm{dm}^2$ en $\mathrm{m}^2$.

Correction

Un centimètre carré est un centième de décimètre carré, donc $7~\mathrm{cm}^2$, ce sont $7$ centièmes de décimètre carré : $$7~\mathrm{cm}^2 = \frac{7}{100}~\mathrm{dm}^2 = 0{,}07~\mathrm{dm}^2$$
Un décimètre carré est un centième de mètre carré, donc $35~\mathrm{dm}^2$, ce sont $35$ centièmes de mètre carré : $$35~\mathrm{dm}^2 = \frac{35}{100}~\mathrm{m}^2 = 0{,}35~\mathrm{m}^2$$

Vérification : $0{,}35 \times 100 = 35$, et $35~\mathrm{dm}^2$, c'est moins que $100~\mathrm{dm}^2 = 1~\mathrm{m}^2$, donc le résultat est plus petit que $1$.

Compétences à pratiquer

Convertir entre unités voisines
Convertir vers une unité plus grande avec des décimaux

III L'aire du carré et du rectangle

III.1 Les formules

Découverte

Compter chaque carreau pour trouver l’aire peut prendre beaucoup de temps. Existe-t-il un raccourci ?
On considère un rectangle de 5 unités de longueur et 3 unités de largeur.

On peut trouver son aire en additionnant les carreaux de chaque colonne.

L’aire est $\underbrace{\textcolor{colordef}{3}\;\;+\;\textcolor{colorprop}{3}\;\;+\;\textcolor{olive}{3}\;\;+\;\textcolor{purple}{3}\;\;+\;\textcolor{orange}{3}}_{5\,\text{fois}} = 5 \times 3 = 15$ unités d’aire.
Cela montre que l’on peut trouver l’aire d’un rectangle en multipliant simplement sa longueur par sa largeur.

Proposition — Les formules de l'aire du carré et du rectangle

Carré : l'aire d'un carré est égale au produit de son côté par son côté. En mots : $\text{aire} = \text{côté} \times \text{côté}$. En lettres, avec $c$ le côté : $$A = c \times c.$$
Rectangle : l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur. En mots : $\text{aire} = \text{longueur} \times \text{largeur}$. En lettres, avec $L$ la longueur et $l$ la largeur : $$A = L \times l.$$

L'aire s'exprime dans l'unité d'aire qui correspond à l'unité des longueurs : des côtés en cm donnent une aire en $\text{cm}^2$, des côtés en m une aire en $\text{m}^2$. Les formules du périmètre utilisent les mêmes lettres : $P = 4 \times c$ pour le carré et $P = 2 \times (L + l)$ pour le rectangle.

Méthode — Utiliser une formule : remplacer les lettres

Pour un rectangle de longueur $L = 4{,}6$ m et de largeur $l = 2{,}5$ m :

Écrire la formule avec ses lettres : $A = L \times l$.
Remplacer chaque lettre par sa valeur, toutes les longueurs étant dans la même unité (convertir d'abord si besoin) : $A = 4{,}6 \times 2{,}5$.
Calculer : $A = 11{,}5$.
Écrire l'unité, l'unité d'aire qui correspond à l'unité des longueurs : $A = 11{,}5 \, \text{m}^2$.

L'ordre des deux longueurs n'a pas d'importance : $L \times l = l \times L$, le rectangle posé sur le côté a la même aire.

Exemple

Un rectangle a $4{,}6$ m de longueur et $2{,}5$ m de largeur. Calculer son aire et son périmètre.
Un carré a $6{,}5$ cm de côté. Calculer son aire.
Un rectangle a $7{,}5$ m de longueur et $120$ cm de largeur. Calculer son aire en $\text{m}^2$.
Un rectangle a $5$ m de longueur et $\dfrac{3}{4}$ m de largeur. Calculer son aire.

Correction

$A = L \times l = 4{,}6 \times 2{,}5 = 11{,}5 \, \text{m}^2$ ; $P = 2 \times (L + l) = 2 \times (4{,}6 + 2{,}5) = 2 \times 7{,}1 = 14{,}2$ m.
$A = c \times c = 6{,}5 \times 6{,}5 = 42{,}25 \, \text{cm}^2$.
Les deux longueurs doivent être dans la même unité : $120$ cm $= 1{,}2$ m. Alors $A = 7{,}5 \times 1{,}2 = 9 \, \text{m}^2$ (vérification en cm : $750 \times 120 = 90\,000 \, \text{cm}^2 = 9 \, \text{m}^2$).
$A = 5 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{4} \, \text{m}^2$, et $\dfrac{15}{4} = 15 \div 4 = 3{,}75$ : l'aire vaut $3{,}75 \, \text{m}^2$.

Compétences à pratiquer

Trouver des formules
Calculer les aires de carrés et de rectangles
Calculer avec la formule
Convertir avant de calculer

III.2 Aire et périmètre

Méthode — Distinguer périmètre et aire

Pour une même figure, deux questions différentes :

Périmètre — on fait le tour du bord et on additionne les longueurs des côtés. La réponse est une longueur, par exemple en cm.
Aire — on couvre l'intérieur : on compte les unités d'aire (pour un rectangle, on multiplie le nombre de rangées par le nombre de carreaux d'une rangée). La réponse est un nombre d'unités d'aire, par exemple de cm$^2$.

Exemple

Ces deux rectangles ont tous les deux un périmètre de $12$ cm. Ont-ils la même aire ?

Correction

On calcule le périmètre et l'aire de chaque rectangle. $$\begin{aligned}[t] \text{A } (5\times1):\quad P &= 5+1+5+1 = 12 \ \text{cm}, & \text{aire} &= 5\times1 = 5 \ \text{cm}^2 && \text{(1 rangée de 5 carreaux)} \\ \text{B } (3\times3):\quad P &= 3+3+3+3 = 12 \ \text{cm}, & \text{aire} &= 3\times3 = 9 \ \text{cm}^2 && \text{(3 rangées de 3 carreaux)} \end{aligned}$$ Les deux ont le même périmètre ($12$ cm), mais leurs aires sont différentes ($5\ \text{cm}^2$ et $9\ \text{cm}^2$). Connaître le périmètre ne donne pas l'aire.

Compétences à pratiquer

Calculer le périmètre et l'aire
Comparer périmètre et aire
Aire et périmètre avec les formules
Trouver un côté manquant
Écrire et utiliser les formules

III.3 Les figures formées de rectangles

Méthode — Trouver l’aire d’une figure composée

Pour trouver l’aire d’une figure composée, suivre ces étapes :

Diviser la figure en formes simples et non superposées dont on sait calculer l’aire (rectangles, carrés, triangles, …).
Trouver l’aire de chaque forme simple en utilisant la formule appropriée.
Additionner les aires pour obtenir l’aire totale de la figure composée, ou, s'il manque une partie à un rectangle, soustraire son aire de l'aire du rectangle.

Exemple

Cette figure en L est formée de rectangles. Trouver son aire de deux façons différentes.

Correction

Première façon : découper la figure en deux rectangles, $6$ cm sur $2$ cm et $2$ cm sur $2$ cm : $A = 6 \times 2 + 2 \times 2 = 12 + 4 = 16 \, \text{cm}^2$. Deuxième façon : compléter la figure en un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm et retirer le rectangle manquant de $4$ cm sur $2$ cm : $A = 6 \times 4 - 4 \times 2 = 24 - 8 = 16 \, \text{cm}^2$. Les deux découpages donnent la même aire.

Compétences à pratiquer

Calculer l'aire de figures formées de rectangles

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Résoudre des problèmes de coût
Problèmes d'aires
Quiz