Éducation Nationale Française · Sixième
La vision dans l'espace
I
Les assemblages de cubes
I.1
Reproduire un assemblage
Définition — Assemblage de cubes
Un assemblage de cubes est une construction faite de cubes tous de la même taille, posés face contre face, sur une table. On peut le regarder en vrai — une maquette — ou sur une représentation : une photo, ou un dessin en perspective, qui montre jusqu'à trois faces de chaque cube visible : le devant, le dessus et un côté. Sur une représentation, certains cubes sont cachés par ceux qui sont devant eux ou au-dessus d'eux. 
Méthode — Reproduire un assemblage
- Compter par colonnes : une colonne est une pile de cubes debout sur une case de la table. Compter sa hauteur — combien de cubes de la table jusqu'en haut.
- Ne pas oublier les cachés : un cube en l'air repose toujours sur un cube. Sous chaque cube qu'on voit, compter les cubes qui le portent, même si on ne les voit pas.
- Construire d'abord l'étage du bas, les cubes qui touchent la table, puis ajouter les étages au-dessus.
- Contrôler : compter ses cubes dans un autre ordre — par la droite au lieu de la gauche — et comparer avec le modèle.
Les cubes cachés
Sur un dessin, un cube caché ne se voit pas, et pourtant il est là quand il porte un cube qu'on voit : rien ne flotte. Quand on doute, on compte colonne par colonne — chaque colonne a autant de cubes que sa hauteur, depuis la table. Un cube caché qui ne porte rien, le dessin seul ne peut pas le montrer.
Compétences à pratiquer
- Trouver les cubes cachés
I.2
Le plan de base
Définition — Plan de base
Des cubes de même taille sont empilés sur les cases d'un quadrillage. Le plan de base de l'assemblage, c'est ce quadrillage dessiné vu de dessus, avec, dans chaque case, le nombre de cubes empilés dessus. Le quadrillage est le plus petit rectangle de cases qui contient l'assemblage, et une case qui ne porte aucun cube reste vide — elle fait tout de même partie du plan. 
\(\qquad\)
Méthode — Lire et écrire un plan de base
- Pour lire un plan de base : chaque nombre est la hauteur d'une pile. Le nombre total de cubes est la somme de tous les nombres — et une case vide n'ajoute rien.
- Pour écrire le plan de base d'un assemblage : tracer d'abord le rectangle entier de la base, cases vides comprises. Prendre ensuite les cases une par une, compter les cubes empilés sur cette case seulement et écrire le nombre. Laisser une case vide si elle ne porte aucun cube.
- Pour vérifier : relire son plan case par case contre l'assemblage — chaque nombre doit être la hauteur de la pile posée sur cette case. Le total des nombres est aussi le nombre de cubes ; mais ce compte seul ne vérifie pas le plan : deux assemblages différents peuvent avoir le même (ci-dessous).
Proposition — Compter ne suffit pas à décrire
Deux assemblages peuvent être faits d'exactement le même nombre de cubes sans se ressembler du tout. En voici deux : chacun est fait de huit cubes. \(\qquad\)
\(\qquad\)
Compétences à pratiquer
- Lire et écrire un plan de base
I.3
Les vues de face, de côté et de dessus
Un solide a trois dimensions, mais une feuille de papier n'en a que deux. Pour représenter un solide sur une feuille, on utilise un code : une façon de dessiner qui garde l'information utile et aplatit le reste. Le code principal est le dessin en perspective : un dessin qui donne l'impression du relief, les arêtes cachées en pointillés. Un patron montre le solide déplié à plat, et des vues de face, de côté et de dessus le montrent d'une seule direction à la fois. Chaque code garde une partie de l'information et en abandonne une autre ; lus ensemble, ils permettent de reconnaître un solide et de le construire.
Définition — Projection à vues multiples
Une projection à vues multiples est une manière de représenter un solide en 3D à l’aide de plusieurs dessins en 2D. Chaque dessin montre comment le solide apparaît d’un côté différent, par exemple en vue de face, en vue de droite ou en vue de dessus. Ces vues aident à mieux comprendre la forme du solide. Exemple
Dessiner les vues de face, de droite et de dessus de ce solide. 
- Vue de face :\(\quad\)
- Vue de droite :\(\quad\)
- Vue de dessus :\(\quad\)
Méthode — Retrouver un assemblage à partir de ses trois vues
1. La vue de dessus dit quelles cases du plan portent une colonne de cubes. 2. La vue de face donne, de gauche à droite, la hauteur de la plus haute colonne de chaque file de cases qui va de l'avant vers le fond ; la vue de droite donne, de l'avant vers le fond, la hauteur de la plus haute colonne de chaque rangée. 3. Une colonne ne peut dépasser aucune de ces deux hauteurs : écrire dans chaque case la plus grande hauteur permise. 4. Vérifier que les trois vues sont bien retrouvées. Si une autre hauteur les donne aussi, les trois vues ne suffisent pas à fixer l'assemblage. Exemple
Voici les trois vues d'un assemblage de cubes posé sur une table. Retrouver son plan de base (le rang du fond en haut), puis l'assemblage.  |  |  |
| vue de face | vue de droite | vue de dessus |
- La vue de dessus a \(5\) carrés sur \(6\) : la case de devant à gauche est vide, les \(5\) autres portent chacune une colonne.
- Vue de face, colonnes de gauche à droite : \(2\), \(1\), \(3\). Vue de droite, rangées de l'avant vers le fond : \(2\), \(3\).
- Dans chaque case, la plus petite de ses deux hauteurs. Rang de devant, où la vue de droite permet \(2\) : milieu \(1\) (le plus petit de \(1\) et \(2\)), droite \(2\) (le plus petit de \(3\) et \(2\)). Rang du fond, où elle permet \(3\) : gauche \(2\), milieu \(1\), droite \(3\).
- Vérification. Vue de face : à gauche la plus haute colonne est \(2\), au milieu \(1\), à droite \(3\). Vue de droite : la rangée de devant monte à \(2\), celle du fond à \(3\). Vue de dessus : \(5\) carrés. Les trois vues sont retrouvées. Aucune autre hauteur ne convient : baisser le \(2\) de devant à droite, ou le \(2\) du fond à gauche, ou le \(3\), changerait une vue, et un \(1\) ne peut pas baisser sans vider une case de la vue de dessus. L'assemblage compte \(2 + 1 + 3 + 1 + 2 = 9\) cubes.
Compétences à pratiquer
- Choisir la projection
- Dessiner la projection
II
Les solides
II.1
Reconnaître les solides usuels
Proposition — Les solides usuels et leurs faces
Compter les faces ne suffit pas à distinguer deux solides : un cube et un pavé droit qui n'est pas un cube en ont \(6\) tous les deux. Ce qui les distingue, c'est la forme de ces faces. Chaque solide usuel se décrit par le nombre de ses faces planes, par leur forme, et par le fait qu'il possède ou non une surface courbe (la partie arrondie). Ici face veut toujours dire face plane : une surface courbe, comme celle qui enveloppe un cylindre, ne compte jamais parmi elles. - Un cube : 6 faces, toutes des carrés.
- Un pavé droit : 6 faces, toutes des rectangles. Quand ces \(6\) rectangles sont tous des carrés, le pavé est un cube — un cube est un pavé droit particulier.
- Un prisme droit : 2 bases polygonales identiques, face à face, et des rectangles tout autour — un rectangle par côté de la base. Quand les deux bases sont des triangles on l'appelle un prisme triangulaire, et il a \(5\) faces planes : \(2\) triangles et \(3\) rectangles. Sur un dessin en perspective ces rectangles paraissent penchés, mais ce sont bien des rectangles. Un pavé droit est lui-même un prisme droit, dont les bases sont des rectangles.
- Une pyramide : une base polygonale, et des triangles qui se rejoignent tous au même sommet, la pointe — un triangle par côté de la base. La plus usuelle est la pyramide à base carrée : \(5\) faces planes, \(1\) carré et \(4\) triangles.
- Un cylindre : 2 faces planes identiques qui sont des disques, reliées par une seule surface courbe. Sur un dessin en perspective ces disques sont tracés comme des ellipses, mais ce sont bien des disques.
- Un cône : une face plane qui est un disque — tracé comme une ellipse en perspective — et une surface courbe qui relie tout le bord de ce disque à un seul point, la pointe.
- Une boule : aucune face plane : une seule surface courbe.
Définition — Classification
On peut classer les solides en comptant leurs faces, arêtes et sommets. Quelques exemples sont donnés dans le tableau ci-dessous. | Nom | Forme | Faces | Arêtes | Sommets |
| Cube |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Pavé droit |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Boule |  | 0 face plane (1 surface courbe) | 0 | 0 |
| Pyramide à base carrée |  | 5 (faces planes) | 8 | 5 |
| Cylindre |  | 2 faces planes (1 surface courbe) | 0 | 0 |
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un solide d'après ses faces
- Classer les solides
- Nommer les solides
- Compter faces, arêtes et sommets
II.2
Lire une représentation en perspective
Méthode — Arêtes visibles et arêtes cachées
Quand on dessine un solide sur une feuille, on ne le voit que d’un seul point de vue : certaines de ses arêtes sont derrière le solide et on ne les voit pas. On appelle ces arêtes des arêtes cachées. Pour montrer qu’une arête est cachée mais qu’elle fait toujours partie du solide, on la dessine en pointillés. Les lignes pleines montrent les arêtes que l’on voit. 
Compétences à pratiquer
- Compter les arêtes visibles et cachées
II.3
Le patron du cube
Définition — Patron
Un patron d’un solide est une figure plane que l’on peut plier, ou enrouler, pour obtenir ce solide. Quand le solide n’a que des faces planes et aucune surface courbe — un cube, un pavé droit, une pyramide, un prisme —, on plie le long des arêtes : les plis sont les lignes à l’intérieur du patron. Un cylindre et un cône ont eux aussi un patron, mais leur surface courbe doit être enroulée et non pliée. Une boule, elle, n’a pas de patron du tout : aucune feuille plane ne peut l’envelopper sans se froisser. 
Proposition — Les onze patrons du cube
Un solide peut avoir plusieurs patrons différents. Un cube a exactement 11 patrons différents : un patron seulement tourné ou retourné ne compte pas comme un nouveau. En pliant l'un d'eux, on obtient un cube. 
Compétences à pratiquer
- Identifier les patrons
II.4
Le patron du pavé droit
Méthode — Reconnaître un patron du pavé droit
Un pavé droit a six faces, toutes rectangulaires, qui vont par paires : deux faces identiques qui se font face. Dans un pavé de longueur \(4\), de largeur \(2\) et de hauteur \(3\), le devant et le derrière sont des rectangles \(4 \times 3\), le dessus et le dessous des rectangles \(4 \times 2\), les deux côtés des rectangles \(2 \times 3\). Un patron du pavé est une figure plane de six rectangles qui se plie pour le former. Pour décider si une figure est un patron d'un pavé donné, on vérifie trois choses. 
- Compter et trier les faces. Six rectangles, ni plus ni moins ; et deux de chaque taille : deux \(4 \times 3\), deux \(4 \times 2\), deux \(2 \times 3\). Une face de la mauvaise taille, ou une taille qui apparaît une seule fois ou trois fois, et la figure n'est pas un patron.
- Vérifier chaque pli. Le long d'un pli en pointillés, les deux faces partagent une arête du pavé : leurs côtés le long du pli doivent avoir la même longueur. Si une face touche le pli par un côté de \(2\) alors que l'autre le touche par un côté de \(3\), la figure n'est pas un patron.
- Plier dans sa tête. Les faces doivent refermer le pavé sans que deux d'entre elles tombent sur la même face, et sans laisser de trou. Les six rectangles sont disposés comme l'un des onze patrons du cube : ici, une bande de quatre faces qui fait le tour du pavé, et les deux faces restantes attachées de part et d'autre de la bande.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un patron du pavé droit
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Répondre à des questions rapides sur les solides
- Résoudre des problèmes de solides
- Reproduire un solide sur papier quadrillé
- Nommer un solide d'après son patron ou ses nombres
- Problèmes
- Quiz
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