Éducation Nationale Française · Sixième

Les volumes

⌚ ~82 min ▢ 8 blocs ✓ 38 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections

I Qu'est-ce que le volume ?

Définition — Volume

Le volume d'un objet est la quantité d’espace qu’il occupe. On le mesure en comptant combien d'unités de volume peuvent tenir à l'intérieur. Une unité de volume est un cube dont les arêtes mesurent 1 unité de long.

Exemple

Déterminer le volume du solide ci-dessous.

Correction

On trouve le volume en comptant les cubes du solide. Chaque petit cube a un volume de 1 unité de volume.

Il y a $8$ cubes en tout, donc : $$ \begin{aligned}[t] \text{Volume} &= 8~\text{unités de volume} \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Calculer le volume d'un solide

II Les unités de volume

Découverte

Hugo et Zoé mesurent le volume de la même petite boîte en la remplissant de cubes. Hugo utilise ses cubes de construction et en compte $12$ ; Zoé utilise des cubes plus petits et en compte $96$. Qui a raison ?
Les deux : la boîte n'a pas changé, mais l'unité, si. Pour se mettre d'accord, tout le monde doit utiliser le même cube, une unité standard. L'unité de volume de référence est le centimètre cube, noté cm$^3$ : le volume d'un cube de $1$ cm d'arête. Pour les grands volumes, on utilise le mètre cube, noté m$^3$.

Définition — Unités de volume

Millimètre cube $\left(\mathrm{mm}^3\right)$ : Le volume d’un cube de 1 mm d'arête. C’est à peu près le volume d’un petit grain de sable.
Centimètre cube $\left(\mathrm{cm}^3\right)$ : Le volume d’un cube de 1 cm d'arête. C’est à peu près le volume d’un petit dé à jouer.
Décimètre cube $\left(\mathrm{dm}^3\right)$ : Le volume d'un cube de 1 dm (soit 10 cm) d'arête. C'est à peu près le volume d'une brique de lait de 1 litre. $1 \mathrm{~dm}^{3}=1 \mathrm{~dm} \times 1 \mathrm{~dm} \times 1 \mathrm{~dm}$
Mètre cube $\left(\mathrm{m}^3\right)$ : Le volume d’un cube de 1 m d'arête. Trois lave-linge ensemble occupent environ 1 mètre cube.

Compétences à pratiquer

Choisir l'unité de volume

III Déterminer un volume par dénombrement

Découverte

Une petite boîte mesure, à l'intérieur, $4$ cm de long, $3$ cm de large et $2$ cm de haut. Combien de cubes de $1$ cm d'arête peut-elle contenir ? Chacun de ces cubes a un volume de $1$ cm$^3$ : la réponse donne le volume intérieur de la boîte.

Le fond de la boîte est recouvert par $3$ rangées de $4$ cubes bleus : $4 \times 3 = 12$ cubes forment un étage. La boîte a $2$ cm de haut : un deuxième étage (commencé en rouge) tient au-dessus, soit $2$ étages en tout. En tout : $12 + 12 = 12 \times 2 = 24$ cubes. Le volume intérieur de la boîte est $24$ cm$^3$.
Inutile de compter les cubes un par un : un étage, puis le nombre d'étages, suffisent.

Méthode — Compter étage par étage

Pour déterminer le volume d'un solide fait de cubes identiques :

choisir l'unité : le petit cube. Si son arête mesure $1$ cm, son volume est $1$ cm$^3$ ;
compter les cubes d'un étage ;
compter le nombre d'étages ;
si tous les étages sont identiques (une boîte, un pavé droit), multiplier : $$\text{volume} = \text{cubes d'un étage} \times \text{nombre d'étages} ;$$ sinon, additionner les étages l'un après l'autre.

Attention : sur un dessin, certains cubes sont cachés derrière ou sous les autres. Ils comptent aussi.

Exemple

Déterminer le volume de chaque solide, fait de cubes de $1$ cm d'arête.

Correction

Le solide est un pavé droit : tous ses étages sont identiques. Un étage a $2$ rangées de $5$ cubes : $5 \times 2 = 10$ cubes. Il y a $3$ étages : $$V = 10 \times 3 = 30\ \text{cm}^3.$$
Les étages sont différents, on les additionne : l'étage du bas est un carré de $3$ rangées de $3$ cubes, $3 \times 3 = 9$ cubes ($4$ d'entre eux, sous l'étage du milieu, sont cachés sur le dessin ; les $5$ autres sont visibles), celui du milieu $2 \times 2 = 4$ cubes, celui du haut $1$ cube : $$V = 9 + 4 + 1 = 14\ \text{cm}^3.$$

Compétences à pratiquer

Compter étage par étage, cubes cachés compris
Compter étage par étage en centimètres cubes
Remplir une boîte

IV Comparer des volumes

Découverte

Hugo et Zoé construisent chacun un solide avec les mêmes petits cubes. La tour de Hugo est plus haute : il affirme qu'elle occupe plus de place. Zoé n'est pas convaincue : elle compte les cubes.

La tour de Hugo est faite de $4$ cubes ; la plaque de Zoé de $6$ cubes. Avec des cubes identiques, le solide fait de plus de cubes occupe plus de place : la plaque a le plus grand volume, bien qu'elle soit plus basse. La hauteur seule ne décide pas du volume : il faut compter les cubes.

Méthode — Comparer des volumes en dénombrant

Pour comparer les volumes de deux solides faits de cubes identiques :

prendre le petit cube comme unité de volume et compter les cubes de chaque solide — y compris les cubes cachés par les autres sur le dessin ;
comparer les deux nombres : le solide fait de plus de cubes a le plus grand volume ;
deux solides faits du même nombre de cubes ont le même volume, même si leurs formes sont différentes.

Les cubes doivent avoir la même taille dans les deux solides. Sinon, il faut d'abord exprimer les deux volumes avec la même unité.

Exemple

Comparer les volumes des trois solides ci-dessous, faits de cubes identiques.

Correction

Compter étage par étage, sans oublier les cubes cachés.

Solide 1 : $6$ cubes en bas, $4$ au milieu, $2$ en haut : $6+4+2=12$ unités de volume.
Solide 2 : deux étages identiques de $8$ cubes : $8+8=16$ unités de volume.
Solide 3 : deux étages identiques de $6$ cubes : $6+6=12$ unités de volume.

Comme $12<16$, le solide 2 a le plus grand volume. Les solides 1 et 3 ont le même volume, $12$ unités de volume, bien que leurs formes soient différentes.

Compétences à pratiquer

Juger une comparaison de volumes
Comparer des volumes en dénombrant

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz