Éducation Nationale Française · CM2

La pensée algébrique

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I Les égalités à trous

Définition — Égalité

Une égalité est une écriture avec un signe égal $=$ entre deux côtés. Elle est vraie quand les deux côtés valent le même nombre, comme les deux plateaux d'une balance en équilibre : $$\textcolor{colordef}{6 + 2} = \textcolor{colorprop}{5 + 3}$$ car $\textcolor{colordef}{6 + 2} = \textcolor{olive}{8}$ et $\textcolor{colorprop}{5 + 3} = \textcolor{olive}{8}$.

Méthode — Trouver le nombre manquant

Pour trouver le nombre manquant dans une égalité :

Calculer le côté que l'on connaît complètement : les deux côtés doivent valoir le même nombre.
Trouver le nombre manquant par l'opération inverse (une addition se défait par une soustraction, une multiplication par une division), ou en essayant des nombres.
Vérifier : remplacer la case par le nombre trouvé et calculer les deux côtés.

Exemple

Trouver le nombre manquant : $25 + \square = 40$.

Correction

Les deux côtés doivent valoir $40$. L'inverse d'ajouter $25$ est de soustraire $25$ : $\square = 40 - 25 = \textbf{15}$.
Vérification : $25 + 15 = 40$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Égalités à deux calculs

II Représenter le nombre caché

Découverte

Deux tasses identiques cachent le même nombre de billes. À côté, il y a $4$ billes posées. En tout, il y a $10$ billes.

Combien de billes sont cachées dans chaque tasse ?

Correction

Sans les $4$ billes posées, les deux tasses cachent $10 - 4 = 6$ billes. Les deux tasses en cachent autant l'une que l'autre, donc chaque tasse cache $6 \div 2 = \textbf{3}$ billes.
Vérification : $3 + 3 + 4 = 10$. $\checkmark$

Définition — Représenter un nombre caché

Un nombre caché peut être représenté par un symbole comme $\square$, ou par une lettre comme $N$. Dans une même égalité, le même symbole cache toujours le même nombre. L'histoire des tasses peut s'écrire comme une égalité : $$\square + \square + 4 = 10$$

Exemple

Trouver le nombre caché par la lettre : $N \times 3 = 27$.

Correction

L'inverse de multiplier par $3$ est de diviser par $3$ : $N = 27 \div 3 = \textbf{9}$.
Vérification : $9 \times 3 = 27$. $\checkmark$

Exemple

$N$ boîtes contiennent $12$ œufs chacune, et il y a $5$ œufs posés. Le nombre total d'œufs s'écrit $(N \times 12) + 5$. Calculer le total pour $N = 3$ boîtes.

Correction

On remplace la lettre $N$ par $3$ : $$(3 \times 12) + 5 = 36 + 5 = \textbf{41}$$ Il y a $41$ œufs en tout.

Compétences à pratiquer

Utiliser une formule avec une lettre

III Problèmes algébriques et schémas en barres

Méthode — Dessiner le nombre caché

Pour résoudre un problème avec un nombre caché, dessiner un schéma en barres :

Dessiner le tout en une barre, et la couper en ses parties.
Écrire ce que l'on sait dans les parties, et $\square$ dans la partie cachée.
Lire l'opération sur le dessin, calculer, puis vérifier.

Exemple

Léa a $35$ images. Elle en donne quelques-unes ; il lui en reste $19$. Combien d'images a-t-elle données ?

Correction

Le tout est $35$ ; une partie est $19$, l'autre partie est cachée : $19 + \square = 35$. Donc $\square = 35 - 19 = \textbf{16}$. Léa a donné $16$ images.
Vérification : $19 + 16 = 35$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Lire des schémas en barres

IV Exécuter un programme de calcul

Définition — Programme de calcul

Un programme de calcul est une liste d'instructions à suivre dans l'ordre, en partant d'un nombre choisi.

Programme A

Choisir un nombre.

Le multiplier par $2$.

Ajouter $5$.

Exemple

Exécuter le programme A en partant du nombre $7$.

Correction

$$7 \xrightarrow{\;\times 2\;} 14 \xrightarrow{\;+ 5\;} \textbf{19}$$ En partant de $7$, le programme A donne $19$.

Méthode — Retrouver le nombre de départ

Pour retrouver le nombre de départ à partir du résultat, remonter le programme à l'envers : défaire chaque instruction par son opération inverse, en commençant par la dernière. Puis vérifier dans le sens direct.

Exemple

Le programme A donne le résultat $23$. Quel était le nombre de départ ?

Correction

On remonte : la dernière instruction était « ajouter $5$ », défaite en soustrayant $5$ : $23 - 5 = 18$. Avant, « multiplier par $2$ », défaite en divisant par $2$ : $18 \div 2 = \textbf{9}$.
Vérification dans le sens direct : $9 \xrightarrow{\;\times 2\;} 18 \xrightarrow{\;+ 5\;} 23$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Remonter le programme

V Produire un programme de calcul

Découverte

Chaque semaine, Jade vend des tickets de tombola pour la fête de l'école : $2$ euros le ticket, plus un don de $15$ euros de la boulangerie. Chaque semaine, elle refait tout le raisonnement depuis le début — et la semaine dernière, elle s'est trompée. Que pourrait-elle écrire une fois pour toutes, pour que le compte de la semaine ne soit plus qu'une exécution ?

Correction

Un programme de calcul : prendre le nombre de tickets $\rightarrow$ multiplier par 2 $\rightarrow$ ajouter 15. Le nombre de tickets change chaque semaine, mais le programme, lui, ne change jamais : chaque semaine, Jade se contente de l'exécuter avec le nouveau nombre.

Méthode — Produire un programme de calcul

Un programme de calcul peut s'écrire à partir d'une situation : lire ce qui arrive au nombre de départ, dans l'ordre, et transformer chaque événement en une instruction.

Trouver le nombre de départ — la quantité qui peut changer : le nombre de magazines, de tickets, de tours.
Suivre les événements dans l'ordre — chaque « fois », « de plus », « de moins » devient une instruction du programme.
Dire le programme en mots, une instruction par ligne.

Un magazine coûte $3$ euros et la livraison coûte $2$ euros en tout. Pour n'importe quel nombre de magazines : Prendre le nombre de magazines $\rightarrow$ multiplier par 3 $\rightarrow$ ajouter 2. Le programme marche quel que soit le nombre de départ — c'est exactement pour cela qu'on l'écrit.

Exemple

Un trajet en minibus coûte $4$ euros par passager, et le groupe paie aussi $5$ euros pour les bagages. Produire le programme de calcul qui donne le prix total à partir du nombre de passagers, puis l'exécuter pour $6$ passagers.

Correction

Le nombre de départ est le nombre de passagers. Dans l'ordre : chaque passager coûte $4$ euros (multiplier par $4$), puis les bagages ajoutent $5$ euros (ajouter $5$) : Prendre le nombre de passagers $\rightarrow$ multiplier par 4 $\rightarrow$ ajouter 5. $$\begin{aligned}[t] 6 &\rightarrow 6 \times 4 = 24 && \text{(multiplier par 4)} \\ &\rightarrow 24 + 5 = 29 && \text{(ajouter 5)} \end{aligned}$$ Pour $6$ passagers, le trajet coûte $29$ euros.

Compétences à pratiquer

Écrire le programme d'une situation
Inventer et corriger des programmes

VI La règle d'une suite

Méthode — Trouver la règle d'une suite

La règle d'une suite est une règle qui fait passer d'un terme au suivant. Pour la trouver, essayer d'abord les règles simples :

Ajoute-t-on toujours le même nombre ? Calculer les sauts entre les termes consécutifs : s'ils sont tous égaux, la règle est « ajouter ce nombre ».
Multiplie-t-on toujours par le même nombre ? Si oui, la règle est « multiplier par ce nombre ».
Si aucune des deux ne marche, chercher une règle composée : deux instructions enchaînées, comme « doubler, puis ajouter 1 ».

Contrôler la règle : elle doit donner tous les termes de la liste, pas seulement le premier saut.

Exemple

Trouver la règle de la suite $3$ ; $5$ ; $9$ ; $17$ ; … puis donner le terme suivant.

Correction

Essai « ajouter le même nombre » : $3 \xrightarrow{\;+2\;} 5$ mais $5 \xrightarrow{\;+4\;} 9$ — les sauts changent, donc non.
Essai « multiplier par le même nombre » : $3 \times 1 = 3$ est trop petit et $3 \times 2 = 6$ trop grand pour donner $5$ — aucun nombre entier ne convient, donc non.
Chercher une règle composée : doubler, puis soustraire 1. Contrôle sur tous les termes : $2 \times 3 - 1 = 5$, $2 \times 5 - 1 = 9$, $2 \times 9 - 1 = 17$ — la règle marche.
Terme suivant : avec cette règle, le terme suivant est $2 \times 17 - 1 = \mathbf{33}$.

Exemple

La règle de cette suite a deux étapes : doubler le nombre, puis ajouter $1$. Le premier terme est $1$. $1\,;\ ?\,;\ ?\,;\ ?$ Écrire les trois termes suivants. Puis dire si une seule étape — ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par le même nombre entier à chaque fois — pourrait donner la même suite.

Correction

Chaque nouveau terme demande les deux étapes, toujours dans le même ordre : d'abord doubler, puis ajouter $1$. $$\begin{aligned} 1 \times 2 &= 2 &\qquad 2 + 1 &= 3\\ 3 \times 2 &= 6 &\qquad 6 + 1 &= 7\\ 7 \times 2 &= 14 &\qquad 14 + 1 &= 15 \end{aligned}$$

La suite est $1\,;\,3\,;\,7\,;\,15$. Aucune étape seule ne la donne :

ajouter le même nombre rendrait tous les pas égaux, mais les pas sont $+2$, puis $+4$, puis $+8$ ;
multiplier par le même nombre : de $1$ à $3$, ce nombre serait $3$, mais $3 \times 3 = 9$, pas $7$ ;
soustraire ou diviser par un nombre entier ne peut pas transformer $1$ en un nombre plus grand, $3$.

La règle a besoin de ses deux étapes. Leur ordre compte aussi : « ajouter $1$, puis doubler » donne $1\,;\,4\,;\,10\,;\,22$, une autre suite.

Compétences à pratiquer

Trouver les termes manquants
Poursuivre une suite à règle composée
Suivre une règle en deux étapes

VII Le nombre d'éléments à une étape donnée

Méthode — Décrire la structure d'un motif avec un tableau

Pour un motif évolutif qui ajoute le même nombre d'éléments à chaque nouvelle figure (le cas le plus fréquent), pour trouver combien d'éléments compte une figure lointaine, sans la dessiner :

Compter les premières figures et les mettre dans un tableau : figure $1$, figure $2$, figure $3$, … (les figures sont numérotées dans l'ordre).
Dire la structure en mots : ce qu'il y a au départ, et ce que chaque nouvelle figure apporte — « $6$ allumettes, puis $5$ allumettes de plus par maison ».
Écrire chaque nombre comme un calcul qui montre cette structure : la figure $2$, c'est $6 + 1 \times 5$, la figure $3$, c'est $6 + 2 \times 5$, la figure $4$, c'est $6 + 3 \times 5$ : le nombre de « $5$ de plus » est toujours le numéro de la figure moins $1$. Dans $6 + 3 \times 5$, on fait d'abord la multiplication : $6 + 15 = 21$.
Utiliser le calcul pour la figure lointaine et le vérifier sur une figure du tableau.

Exemple

On fabrique des petites maisons avec des allumettes, comme sur le motif ci-dessous : une maison utilise $6$ allumettes, et chaque nouvelle maison partage un mur avec la précédente.

Combien faut-il d'allumettes pour $4$ maisons ? Pour $25$ maisons ? Pour $100$ maisons ?

Correction

\hline Maisons	Allumettes	Calcul
$1$	$6$	$6$
$2$	$11$	$6 + 1 \times 5$
$3$	$16$	$6 + 2 \times 5$
$4$	$21$	$6 + 3 \times 5$

Chaque nouvelle maison apporte $5$ allumettes (le mur commun n'est pas compté deux fois). Pour $4$ maisons : $6 + 3 \times 5 = 21$ allumettes. Pour $25$ maisons, il y a $24$ maisons « de plus » : $6 + 24 \times 5 = 126$ allumettes. Pour $100$ maisons : $6 + 99 \times 5 = 501$ allumettes. Vérification sur la figure $3$ : $6 + 2 \times 5 = 16$, comme compté.

Compétences à pratiquer

Poursuivre un motif évolutif
Trouver le nombre d'éléments à une étape donnée
Utiliser la structure d'un motif
Justifier le nombre d'éléments à une étape donnée

VIII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

\hline Maisons	Allumettes	Calcul
\(1\)	\(6\)	\(6\)
\(2\)	\(11\)	\(6 + 1 \times 5\)
\(3\)	\(16\)	\(6 + 2 \times 5\)
\(4\)	\(21\)	\(6 + 3 \times 5\)