I Nommer et comparer des angles

Définition — Angle

Un angle est formé de deux demi-droites qui partent du même point, le sommet ; ce sont ses côtés. Sa grandeur est son ouverture : la quantité de rotation qui amène un côté sur l'autre. La longueur des côtés tracés n'y change rien.

Définition — Notation d’un angle avec trois points

Un angle est nommé à l’aide de trois points avec le symbole $\AngleFr{ABC}$, où $B$ est le sommet de l’angle, et $A$ et $C$ sont des points sur les deux côtés de l’angle. Le sommet $B$ est toujours écrit au milieu. Les deux côtés forment deux angles : $\AngleFr{ABC}$ désigne l'angle saillant, celui qui mesure au plus $180^\circ$ ; pour l'autre, on précise « l'angle rentrant $\AngleFr{ABC}$ ».

Méthode — Comparer des angles avec un calque

Pour comparer deux angles sans mesurer :

Décalquer le premier angle sur un calque (ou utiliser un gabarit en carton).
Poser le calque sur le second angle : sommet sur sommet, un côté sur un côté, les deux ouvertures du même côté.
Regarder l'autre côté : s'il tombe à l'intérieur du second angle, le premier angle est moins ouvert ; s'il tombe à l'extérieur, il est plus ouvert ; si les côtés coïncident, les angles sont égaux.

La longueur des côtés tracés ne change pas l'angle : un angle est une ouverture, et ses côtés peuvent être tracés plus longs ou plus courts.

Définition — Angle aigu et angle obtus

Chaque angle se compare à l'angle droit :

un angle plus fermé qu'un angle droit est un angle aigu ;
un angle plus ouvert qu'un angle droit, sans que ses deux côtés forment une ligne droite, est un angle obtus.

Méthode — Vérifier un angle à l'équerre

D'abord estimer à l'œil : l'angle semble-t-il plus fermé ou plus ouvert qu'un angle droit ? Ensuite vérifier à l'équerre : poser son coin sur le sommet, un bord le long d'un côté de l'angle.

L'autre côté coïncide avec le bord de l'équerre : l'angle est droit.
L'autre côté reste à l'intérieur du coin : l'angle est aigu.
L'autre côté dépasse le coin, sans prolonger le premier côté en ligne droite : l'angle est obtus.

Compétences à pratiquer

Nommer les angles avec trois points
Comparer des angles avec un calque
Vérifier des angles à l'équerre

II Degrés

Un tour complet (un cercle entier) peut être partagé en 360 parties égales. L'angle qui correspond à une de ces parties mesure un degré ($1^\circ$).

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Définition — Unité de degré

Un degré, qu’on écrit avec le symbole $^\circ$, est une unité de mesure d’angle. Un tour complet mesure $360^\circ$.

Définition — Mesure d’un angle en degrés

La mesure d’un angle en degrés compte combien des 360 parts égales du tour complet l’angle recouvre : un quart de tour, c’est le quart de $360^\circ$, soit $90^\circ$.

Exemple

Calculer la mesure d’un angle qui représente un tiers d’un tour complet.

Correction

$$\begin{aligned} \text{Angle} &= \frac{1}{3} \text{ de } 360^\circ \\ &= 360^\circ \div 3 \\ &= 120^\circ \end{aligned}$$

Proposition — L'angle droit mesure 90°

Un angle droit — le coin de l'équerre, le quart de tour — mesure $90^\circ$.
Un demi-tour vaut deux angles droits : $2 \times 90^\circ = 180^\circ$.
Un tour complet vaut quatre angles droits : $4 \times 90^\circ = 360^\circ$.

Compétences à pratiquer

Diviser le tour complet
Expliquer les 90 degrés

III Classification des angles

Un angle aigu est plus fermé qu'un angle droit, un angle obtus plus ouvert. Comme l'angle droit mesure $90^\circ$, la mesure suffit à les classer : le tableau ci-dessous donne quatre types d'angles, aigu, droit, obtus et plat.

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Définition — Classification des angles

Nom	Fraction d’un tour complet	Mesure de l’angle	Figure
Angle aigu	Moins d’un quart de tour	Plus de $0^{\circ}$, moins de $90^{\circ}$
Angle droit	Un quart de tour	Exactement $90^{\circ}$
Angle obtus	Entre un quart et un demi-tour	Plus de $90^{\circ}$, moins de $180^{\circ}$
Angle plat	Un demi-tour	Exactement $180^{\circ}$

Compétences à pratiquer

Identifier des types d'angles
Construire avec l'équerre

IV Sommes, multiples et moitiés d'angles

Découverte

Sans aucun instrument de mesure, comment fabriquer un angle exactement deux fois plus grand qu'un angle donné ? Avec du papier calque : décalquer l'angle, puis poser la copie bord à bord contre l'original — même sommet, un côté partagé. Les deux angles ensemble font un seul angle plus grand : le double.

Méthode — Construire une somme ou un multiple d'angles

Pour construire la somme de deux angles, sans mesurer :

Décalquer le premier angle sur du papier calque.
Poser le deuxième angle bord à bord contre lui : même sommet, un côté partagé, les deux angles côte à côte sans chevauchement.
L'angle total obtenu est la somme des deux.

Pour un multiple, reporter le même angle plusieurs fois bord à bord. Ici, le total reste plus petit qu'un demi-tour ($180^\circ$) ; au-delà, l'angle est rentrant (plus loin). Quand les mesures sont connues, prédire le résultat en degrés et contrôler : deux angles de $45^\circ$ bord à bord font $45 + 45 = 90^\circ$ — l'équerre confirme un angle droit.

Méthode — Plier la moitié d'un angle

Pour construire la moitié d'un angle, sans mesurer :

Décalquer l'angle sur du papier calque.
Plier le papier en passant par le sommet, pour qu'un côté retombe exactement sur l'autre.
La ligne de pli partage l'angle en deux moitiés égales.

En pliant un angle droit, on obtient deux angles de $90 \div 2 = \mathbf{45}^\circ$.

Exemple

Le premier angle ci-dessous mesure $60^\circ$ (le sixième d'un tour complet) et le second $30^\circ$. Prédire la mesure de leur somme, la construire bord à bord au papier calque, puis dire comment contrôler le résultat sans rapporteur.

Correction

Compétences à pratiquer

Prédire des sommes en degrés
Construire des sommes et des multiples
Plier la moitié

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz