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Éducation Nationale Française · CM1

Multiples et diviseurs

⌚ ~82 min ▢ 8 blocs ✓ 32 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les nombres entiers
I Multiples

Une boulangère range ses biscuits par paquets de \(5\).
  • Avec \(35\) biscuits, peut-elle remplir des paquets sans qu'il en reste ?
  • Avec \(36\) biscuits, le peut-elle ?
Avec \(35\) biscuits, elle remplit exactement \(7\) paquets, car \(7 \times 5 = 35\) : il n'en reste aucun. Avec \(36\) biscuits, elle remplit \(7\) paquets et il reste \(1\) biscuit : \(36\) n'est pas dans la table de \(5\). On dit que \(35\) est un multiple de \(5\), et que \(36\) n'en est pas un.

Définition — Multiple
Un multiple d'un nombre est un résultat de sa table de multiplication — et la table peut se poursuivre aussi loin que l'on veut. Par exemple, les multiples de \(5\) sont : $$5\,;\,\; 10\,;\,\; 15\,;\,\; 20\,;\,\; 25\,;\,\; 30\,;\,\; 35\,;\,\; 40\,;\,\; 45\,;\,\; 50\,;\,\; 55\,;\,\; 60\,;\,\; \dots$$
Exemple
  1. \(63\) est-il un multiple de \(7\) ?
  2. \(52\) est-il un multiple de \(8\) ?

  1. Dans la table de \(7\) : \(9 \times 7 = 63\). Donc \(63\) est un multiple de \(7\).
  2. Dans la table de \(8\) : \(6 \times 8 = 48\) et \(7 \times 8 = 56\). Le nombre \(52\) est entre les deux, donc il n'est pas dans la table : \(52\) n'est pas un multiple de \(8\).

Exemple
La table de \(7\) apprise par cœur s'arrête à \(10 \times 7 = 70\), mais les multiples de \(7\) continuent.
  1. \(98\) est-il un multiple de \(7\) ?
  2. \(100\) est-il un multiple de \(7\) ?

Au-delà de la table, on met à part un multiple connu, \(70 = 10 \times 7\), et on regarde ce qui reste.
  1. \(98 - 70 = 28\), et \(28 = 4 \times 7\) est dans la table de \(7\). Donc $$\begin{aligned}[t] 98 &= 70 + 28 && \text{(on met à part } 70\text{)}\\ &= 10 \times 7 + 4 \times 7 && \text{(}70 = 10 \times 7 \text{ et } 28 = 4 \times 7\text{)}\\ &= 14 \times 7. \end{aligned}$$ \(10\) fois \(7\) et encore \(4\) fois \(7\) font \(14\) fois \(7\) : \(98\) est un multiple de \(7\).
  2. \(100 - 70 = 30\), et \(30\) n'est pas dans la table de \(7\) : il est entre \(28 = 4 \times 7\) et \(35 = 5 \times 7\). Donc \(100\) est entre \(70 + 28 = 98\) et \(70 + 35 = 105\), les deux multiples de \(7\) les plus proches : $$98 = 14 \times 7 \quad < \quad 100 \quad < \quad 105 = 15 \times 7.$$ \(100\) n'est pas un multiple de \(7\) : il vaut \(2\) de plus que \(98\).

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître des multiples
  • Produire des multiples
  • Décider au-delà des tables
II Diviseurs

Une boulangère a \(24\) biscuits. Peut-elle les partager en paquets égaux, sans qu'il en reste ?
Oui, de plusieurs façons : \(4\) paquets de \(6\), car \(24 = 4 \times 6\) ; ou \(6\) paquets de \(4\) ; ou \(3\) paquets de \(8\) ; ou \(2\) paquets de \(12\). Les tailles qui marchent — comme \(6\) ; \(4\) ; \(8\) et \(12\) — s'appellent les diviseurs de \(24\).

Définition — Diviseur
Quand un nombre s'écrit comme une multiplication de deux nombres entiers, les deux facteurs sont des diviseurs de ce nombre. Par exemple : $$24 = 4 \times 6,$$ donc \(4\) et \(6\) sont des diviseurs de \(24\) — et \(24\) est un multiple de \(4\) et un multiple de \(6\). Multiples et diviseurs sont deux lectures de la même égalité.
Exemple
Parmi les nombres de \(1\) à \(10\), trouver tous les diviseurs de \(18\).

On cherche les tables qui donnent \(18\) exactement : $$\begin{aligned}[t] 18 &= 1 \times 18 && \text{(\(1\) est un diviseur)}\\ 18 &= 2 \times 9 && \text{(\(2\) et \(9\) sont des diviseurs)}\\ 18 &= 3 \times 6 && \text{(\(3\) et \(6\) sont des diviseurs)} \end{aligned}$$ Les tables de \(4\) ; \(5\) ; \(7\) ; \(8\) et \(10\) sautent par-dessus \(18\). Donc les diviseurs de \(18\) compris entre \(1\) et \(10\) sont : \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(6\) et \(9\).

Compétences à pratiquer
  • Décider si un nombre est un diviseur
  • Compléter des produits
III Multiples de 2, 5 et 10
Méthode — Reconnaître les multiples de 2, 5 et 10
Pour reconnaître ces multiples, regarder seulement le chiffre des unités :
  • un nombre est un multiple de \(2\) quand il se termine par \(0\) ; \(2\) ; \(4\) ; \(6\) ou \(8\) (c'est un nombre pair) ;
  • un nombre est un multiple de \(5\) quand il se termine par \(0\) ou \(5\) ;
  • un nombre est un multiple de \(10\) quand il se termine par \(0\).
Cela marche car chaque dizaine est un multiple de \(2\), de \(5\) et de \(10\) : seul le chiffre des unités décide.
Exemple
Parmi les nombres \(130\) ; \(85\) ; \(74\) et \(203\), lesquels sont des multiples de \(2\) ? de \(5\) ? de \(10\) ?

On regarde les chiffres des unités : \(0\) ; \(5\) ; \(4\) et \(3\).
  • \(130\) se termine par \(0\) : c'est un multiple de \(2\), de \(5\) et de \(10\).
  • \(85\) se termine par \(5\) : c'est un multiple de \(5\) seulement.
  • \(74\) se termine par \(4\) : c'est un multiple de \(2\) seulement.
  • \(203\) se termine par \(3\) : ce n'est un multiple d'aucun des trois.

Compétences à pratiquer
  • Trier avec le chiffre des unités
  • Expliquer avec le chiffre des unités
IV Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Résoudre des problèmes avec les multiples et les diviseurs
  • Quiz