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Éducation Nationale Française · CM1

Comparer, ranger, encadrer et intercaler

⌚ ~106 min ▢ 11 blocs ✓ 44 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les nombres entiers
I Comparer et ranger jusqu'à 10 000
Définition — Les mots de la comparaison
Comparer deux nombres, c'est dire s'ils sont égaux ou lequel est le plus grand. Chaque symbole a ses mots :
Symbole On dit Exemple
\(=\) est égal à \(4\,635 = 4\,635\)
\(<\) est inférieur à \(6\,234 < 6\,243\)
\(>\) est supérieur à \(6\,300 > 5\,229\)
La petite pointe du symbole montre le plus petit nombre. Un nombre est compris entre deux autres quand il est supérieur au premier et inférieur au second : \(6\,239\) est compris entre \(6\,234\) et \(6\,243\), ce qui s'écrit \(6\,234 < 6\,239 < 6\,243\).
Méthode — Comparer deux nombres entiers
Pour comparer deux nombres entiers :
  1. Compter les chiffres : le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand.
  2. Si les deux nombres ont le même nombre de chiffres, comparer les chiffres de gauche à droite, place par place : le premier chiffre différent décide.
Pour ranger plusieurs nombres, les comparer et les écrire du plus petit au plus grand (ordre croissant) ou du plus grand au plus petit (ordre décroissant).
Exemple
Ranger les cinq nombres \(6\,234\), \(6\,243\), \(6\,239\), \(6\,300\) et \(5\,229\) du plus petit au plus grand, puis du plus grand au plus petit.

Les cinq nombres ont quatre chiffres. On cherche le plus petit, on l'écrit, et on recommence avec les autres.
  • Milliers : \(5\,229\) est le seul avec \(5\) milliers, c'est donc le plus petit. Écrit en premier.
  • Les quatre autres commencent par \(6\). Chiffre des centaines : \(3\) pour \(6\,300\), \(2\) pour les autres : \(6\,300\) est le plus grand de tous, il viendra en dernier.
  • Parmi \(6\,234\), \(6\,243\) et \(6\,239\) : chiffres des dizaines \(3\), \(4\), \(3\). Donc \(6\,243\) est le plus grand des trois. Entre \(6\,234\) et \(6\,239\), les unités décident : \(4 < 9\).
Ordre croissant : \(5\,229 < 6\,234 < 6\,239 < 6\,243 < 6\,300\). L'ordre décroissant est la même liste lue à l'envers : \(6\,300 > 6\,243 > 6\,239 > 6\,234 > 5\,229\).

Méthode — Encadrer un nombre
Pour encadrer un nombre entre deux unités de numération consécutives, lire le nombre d'unités entières qu'il contient : le nombre est compris entre ce nombre d'unités et une de plus. Un même nombre est encadré plus ou moins serré selon l'unité choisie.
Encadré par Unités entières qu'il contient Écriture
les milliers \(4\) milliers \(4\,000 < 4\,635 < 5\,000\)
les centaines \(46\) centaines \(4\,600 < 4\,635 < 4\,700\)
les dizaines \(463\) dizaines \(4\,630 < 4\,635 < 4\,640\)
les voisins — \(4\,634 < 4\,635 < 4\,636\)
Plus l'unité est petite, plus l'encadrement est serré ; le plus serré de tous est celui des deux voisins, le nombre juste avant et le nombre juste après.
Cela ne marche que si le nombre n'est pas exactement un nombre de milliers (ou de centaines, ou de dizaines, pour ces marques-là). \(4\,000\), c'est exactement \(4\) milliers : il est sur la marque, et non entre deux marques.
Ne pas confondre le chiffre et le nombre. Le chiffre des centaines de \(4\,635\) est \(6\), mais \(4\,635\) contient \(46\) centaines : le chiffre dit ce qui est à cette place, le nombre dit combien il y en a en tout.
Méthode — Intercaler un nombre
Intercaler, c'est la question dans l'autre sens : au lieu de chercher les deux bornes, on cherche un nombre qui se place entre deux bornes données.
  • Entre \(246\) et \(249\). Les nombres qui conviennent sont \(247\) et \(248\) : ils sont plus grands que \(246\) et plus petits que \(249\).
  • Quand les bornes sont voisines, rien ne s'intercale. Entre \(246\) et \(247\), il n'y a aucun nombre entier : \(246\) et \(247\) se suivent.
  • Sur une bande qui compte de un en un, chaque case vide contient le nombre qui suit celui d'avant.
\(471\) \(472\) \(473\) \(\phantom{474}\) \(\phantom{475}\) \(476\) \(477\) \(478\)
Les deux cases vides contiennent \(474\) et \(475\).
Compétences à pratiquer
  • Comparer deux nombres
  • Employer les mots de la comparaison
  • Ranger cinq nombres
  • Ranger dans les deux sens
  • Encadrer un nombre
  • Intercaler un nombre
II Comparer et ranger jusqu'à 999 999
Exemple
Comparer les nombres avec \(<\) ou \(>\) :
  1. \(98\,765\) et \(123\,456\)
  2. \(214\,365\) et \(214\,635\)

  1. \(98\,765\) a \(5\) chiffres et \(123\,456\) a \(6\) chiffres. Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand : $$98\,765 < 123\,456.$$
  2. Les deux nombres ont \(6\) chiffres. En comparant les chiffres de gauche à droite : les chiffres des centaines de milliers sont les mêmes (\(2\)), ceux des dizaines de milliers aussi (\(1\)), ceux des milliers aussi (\(4\)), mais les chiffres des centaines diffèrent : \(3 < 6\). Donc : $$214\,365 < 214\,635.$$

Exemple
Encadrer \(214\,365\) entre deux centaines de milliers consécutives.

\(214\,365\) contient \(2\) centaines de milliers entières, donc il est compris entre \(2\) et \(3\) centaines de milliers : $$200\,000 < 214\,365 < 300\,000.$$

Compétences à pratiquer
  • Comparer deux nombres
  • Trouver un nombre compris entre deux nombres
  • Encadrer un nombre
  • Ranger des nombres
III Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Problèmes
  • Quiz