Éducation Nationale Française · CM1
Les aires
I
Qu'est-ce que l'aire ?
Définition — Aire
L’aire d’une figure, c’est la quantité d’espace qu’elle occupe sur une surface plane. On mesure l’aire en comptant combien d’unités d’aire la recouvrent exactement, sans trou ni chevauchement.
Pour trouver l’aire d’une figure, on peut la placer sur un quadrillage et compter le nombre total de carreaux qu’elle couvre.
On peut imaginer que l'on carrelle un sol : l’aire est le nombre total de carreaux que l'on utilise.
On peut imaginer que l'on carrelle un sol : l’aire est le nombre total de carreaux que l'on utilise.
Exemple
Trouver l’aire de la figure rouge. Chaque carreau du quadrillage représente 1 unité d’aire. 
Pour trouver l’aire, on compte chaque carreau à l’intérieur de la figure. 
Il y a 4 carreaux à l’intérieur de la figure.
L’aire est donc de 4 unités d’aire.
L’aire est donc de 4 unités d’aire.
Compétences à pratiquer
- Calculer l'aire d'une forme
- Compter les carreaux à l'intérieur
II
Comparer des aires sans mesurer
Hugo et Léa posent chacun une serviette sur la table. Quelle serviette couvre le plus la table ? 
Regarder ne suffit pas : la serviette A est plus large, mais la serviette B est plus haute. On tourne la serviette A pour la poser debout sur la serviette B : elle tient entièrement dedans, et une partie de B reste découverte. La serviette B couvre le plus la table.
Méthode — Comparer des aires sans mesurer
Pour comparer les aires de deux figures sans mesurer : - Superposer : poser une figure sur l'autre (on a le droit de la tourner). Si elle tient dedans et qu'une partie de l'autre figure reste découverte, elle a la plus petite aire ; si les deux figures coïncident exactement, les aires sont égales.
- Découper et recomposer : si aucune ne tient dans l'autre, découper une figure en morceaux et poser tous les morceaux sur l'autre figure, sans chevauchement — déplacer des morceaux ne change pas l'aire. S'ils la couvrent exactement, les aires sont égales ; si une partie de l'autre figure reste découverte, c'est elle qui a la plus grande aire.
Exemple
Quand la petite carte est posée sur la grande carte, elle tient entièrement dedans. Comparer leurs aires. 
La carte A tient entièrement dans la carte B, et une partie de B reste découverte : l'aire de A est plus petite que l'aire de B.
Exemple
Comparer les aires de la figure en L (A) et du carré B. 
On découpe la figure en L le long des pointillés, puis on pose les deux morceaux sur le carré B — le morceau 2 est tourné debout : 
Les deux morceaux couvrent exactement le carré B, sans trou et sans chevauchement. Déplacer des morceaux ne change pas l'aire : les deux figures ont la même aire.
Compétences à pratiquer
- Comparer en superposant et en découpant
- Expliquer la comparaison
III
Unités d'aire
Quand on mesure une aire, il est important d’utiliser des unités usuelles pour que tout le monde obtienne la même mesure. D’autres unités, comme des livres ou des carreaux de tailles différentes, peuvent donner des réponses différentes, car elles n’ont pas toutes la même taille. Pour l’aire, on utilise des unités usuelles comme le centimètre carré et le mètre carré.
Définition — Unités d’aire
- Centimètre carré \(\left(\mathrm{cm}^2\right)\) : L’aire d’un carré de 1 cm de côté. C’est à peu près la taille de l’ongle du pouce. On l’écrit \(1\;\text{cm}^2\).
- Mètre carré \(\left(\mathrm{m}^2\right)\) : L’aire d’un carré de 1 m de côté. C’est à peu près la surface d’une petite table carrée. On l’écrit \(1\;\text{m}^2\).
Compétences à pratiquer
- Choisir des unités pour l’aire
- Calculer l'aire d'une forme
IV
Aire et périmètre
Une figure plane a deux mesures différentes.
Son périmètre est la distance tout autour de son bord — une longueur, mesurée par exemple en cm.
Son aire est la quantité d'espace qu'elle couvre à l'intérieur — mesurée en unités d'aire, par exemple en cm\(^2\).
Le périmètre et l'aire répondent à deux questions différentes et utilisent deux unités différentes.
Son périmètre est la distance tout autour de son bord — une longueur, mesurée par exemple en cm.
Son aire est la quantité d'espace qu'elle couvre à l'intérieur — mesurée en unités d'aire, par exemple en cm\(^2\).
Le périmètre et l'aire répondent à deux questions différentes et utilisent deux unités différentes.
Exemple
Trouver à la fois le périmètre et l'aire de ce rectangle. 
Le rectangle mesure \(4\) cm de long et \(3\) cm de large.
Périmètre — on fait le tour du bord, côté après côté : $$\begin{aligned}[t] P &= 4 + 3 + 4 + 3 && \text{(les quatre côtés)} \\ &= 14 \ \text{cm.} \end{aligned}$$ Aire — on couvre l'intérieur : \(3\) rangées de \(4\) carreaux de \(1\ \text{cm}^2\) : $$\begin{aligned}[t] A &= 4 \times 3 && \text{(3 rangées de 4 carreaux)} \\ &= 12 \ \text{cm}^2. \end{aligned}$$ Le périmètre est de \(14\) cm (une longueur) ; l'aire est de \(12\ \text{cm}^2\) (une surface couverte). Le même rectangle a deux mesures différentes, avec deux unités différentes.
Périmètre — on fait le tour du bord, côté après côté : $$\begin{aligned}[t] P &= 4 + 3 + 4 + 3 && \text{(les quatre côtés)} \\ &= 14 \ \text{cm.} \end{aligned}$$ Aire — on couvre l'intérieur : \(3\) rangées de \(4\) carreaux de \(1\ \text{cm}^2\) : $$\begin{aligned}[t] A &= 4 \times 3 && \text{(3 rangées de 4 carreaux)} \\ &= 12 \ \text{cm}^2. \end{aligned}$$ Le périmètre est de \(14\) cm (une longueur) ; l'aire est de \(12\ \text{cm}^2\) (une surface couverte). Le même rectangle a deux mesures différentes, avec deux unités différentes.
Méthode — Distinguer périmètre et aire
Pour une même figure, deux questions différentes : - Périmètre — on fait le tour du bord et on additionne les longueurs des côtés. La réponse est une longueur, par exemple en cm.
- Aire — on couvre l'intérieur : on compte les unités d'aire (pour un rectangle, on multiplie le nombre de rangées par le nombre de carreaux d'une rangée). La réponse est un nombre d'unités d'aire, par exemple de cm\(^2\).
Exemple
Ces deux rectangles ont tous les deux un périmètre de \(12\) cm. Ont-ils la même aire ? 
On calcule le périmètre et l'aire de chaque rectangle. $$\begin{aligned}[t] \text{A } (5\times1):\quad P &= 5+1+5+1 = 12 \ \text{cm}, & \text{aire} &= 5\times1 = 5 \ \text{cm}^2 && \text{(1 rangée de 5 carreaux)} \\
\text{B } (3\times3):\quad P &= 3+3+3+3 = 12 \ \text{cm}, & \text{aire} &= 3\times3 = 9 \ \text{cm}^2 && \text{(3 rangées de 3 carreaux)} \end{aligned}$$ Les deux ont le même périmètre (\(12\) cm), mais leurs aires sont différentes (\(5\ \text{cm}^2\) et \(9\ \text{cm}^2\)). Connaître le périmètre ne donne pas l'aire.
Compétences à pratiquer
- Choisir la bonne unité
- Comparer périmètre et aire
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes à plusieurs questions
- Quiz
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