Éducation Nationale Française · CE2
La géométrie plane
I
Les figures
I.1
Points, segments et angles
Définition — Côté
Un côté est un bord droit d’une figure. 
Définition — Sommet
Un sommet est un point où deux côtés se rencontrent. C'est le mot de la géométrie pour le coin. 
Définition — Segment et milieu
Un segment est le trait droit tracé entre deux points, de l'un à l'autre. Le milieu d'un segment est le point qui le coupe en deux parties de la même longueur. 
Définition — Angle droit
Parmi tous les angles, il y en a un particulier : l'angle droit. C'est l'angle du coin d'une feuille de papier — le coin de la table, le coin d'un livre, le coin d'une fenêtre. Pour le reconnaître, on pose sur l'angle un gabarit (un coin découpé dans du carton) ou le coin d'une équerre : - les deux côtés suivent les deux bords du coin : l'angle est un angle droit ;
- ils ne les suivent pas : l'angle n'est pas un angle droit.
Proposition — Le code de l'angle droit
Sur une figure, un angle droit se montre par un petit carré tracé dans le coin : c'est le code de l'angle droit. Quand le petit carré est là, l'angle est un angle droit — il n'y a pas besoin de le vérifier de nouveau à l'équerre. 
Définition — Angle aigu et angle obtus
Chaque angle se compare à l'angle droit : - un angle plus fermé qu'un angle droit est un angle aigu ;
- un angle plus ouvert qu'un angle droit, sans que ses deux côtés forment une ligne droite, est un angle obtus.
Méthode — Vérifier un angle à l'équerre
D'abord estimer à l'œil : l'angle semble-t-il plus fermé ou plus ouvert qu'un angle droit ? Ensuite vérifier à l'équerre : poser son coin sur le sommet, un bord le long d'un côté de l'angle. - L'autre côté coïncide avec le bord de l'équerre : l'angle est droit.
- L'autre côté reste à l'intérieur du coin : l'angle est aigu.
- L'autre côté dépasse le coin, sans prolonger le premier côté en ligne droite : l'angle est obtus.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un milieu
- Placer le milieu sur le quadrillage
- Aigu, droit ou obtus ?
- Tracer et vérifier à l'équerre
I.2
Les polygones
Définition — Polygone
Un polygone est une forme plate fermée, formée uniquement de côtés droits qui ne se croisent pas. Exemple
Regarder les formes ci-dessous. Décider si chacune est un polygone. 
\(\quad\)
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\(\quad\)
\(\quad\)
\(\quad\)
Définition — Classification des polygones
Un polygone est nommé selon le nombre de côtés qu’il possède. Voici quelques polygones courants :  |  |  |  |
| Triangle | Quadrilatère | Pentagone | Hexagone |
| 3 côtés | 4 côtés | 5 côtés | 6 côtés |
Définition — Polygone régulier
Un polygone régulier a tous ses côtés de la même longueur et tous ses angles égaux. 
\(\quad\)
\(\quad\)
Définition — Quadrilatère
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés (et donc quatre sommets et quatre angles). Compétences à pratiquer
- Marquer les sommets et les côtés
- Reconnaître les polygones
- Nommer les polygones
- Tracer des polygones sur le quadrillage
I.3
Le carré, le rectangle et le triangle rectangle
Proposition — Le carré et le rectangle
Deux figures à \(4\) côtés se reconnaissent à leurs angles et aux longueurs de leurs côtés : - un rectangle a \(4\) côtés, \(4\) sommets et \(4\) angles droits ; ses côtés opposés ont la même longueur ;
- un carré a \(4\) côtés, \(4\) sommets, \(4\) angles droits, et ses \(4\) côtés ont la même longueur.
Définition — Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Pour le vérifier, poser l'angle droit de l'équerre sur un coin du triangle : si les deux côtés sont alignés avec ses deux bords, ce coin est un angle droit et le triangle est rectangle. Sur une figure, cet angle droit est marqué par son petit carré, le code de l'angle droit. 
Compétences à pratiquer
- Justifier avec les propriétés
- Vérifier et justifier par écrit
I.4
Rectangle, losange et diagonales
Définition — Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère (polygone à 4 côtés) avec quatre angles droits. Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux en longueur. 
Définition — Losange
Un losange est un quadrilatère avec quatre côtés égaux. 
Le carré est les deux à la fois
Un rectangle a quatre angles droits, et ses côtés opposés ont la même longueur. Quand ils ne sont pas tous égaux, les deux plus longs donnent sa longueur et les deux plus courts sa largeur. Sur un dessin, de petits traits identiques en travers de deux côtés disent que ces deux côtés ont la même longueur — la section « Coder une figure » y revient.
Un losange a quatre côtés de la même longueur.
Un carré a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur : c'est donc un rectangle et un losange à la fois — un rectangle dont la longueur est égale à la largeur. Dire d'un carré « c'est un rectangle » n'est pas une erreur ; dire « c'est un carré » en dit seulement davantage.
Un losange a quatre côtés de la même longueur.
Un carré a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur : c'est donc un rectangle et un losange à la fois — un rectangle dont la longueur est égale à la largeur. Dire d'un carré « c'est un rectangle » n'est pas une erreur ; dire « c'est un carré » en dit seulement davantage.
Définition — Diagonale
Une diagonale d'un polygone est un segment qui relie deux sommets non voisins — deux coins qui ne sont pas déjà reliés par un côté. Un quadrilatère a deux diagonales. 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un rectangle ou un losange
- Tracer les diagonales d'un rectangle ou d'un losange
II
Coder et nommer
II.1
Coder une figure
Exemple — Pourquoi coder une figure ?
Léa a ajouté des signes sur son rectangle pour qu'un camarade sache, sans mesurer, que ses quatre angles sont droits et que ses côtés opposés sont égaux. Que dit chaque signe ? 
Elle ajoute les codes. Un petit carré dans un coin dit : cet angle est un angle droit — il y en a quatre. De petits traits identiques sur deux côtés disent : ces deux côtés ont la même longueur. Les deux grands côtés portent un trait chacun, les deux petits en portent deux : même nombre de traits veut dire même longueur, nombre différent ne dit rien.
Méthode — Coder une figure
Coder une figure, c'est écrire sur le dessin ce qui est vrai, pour que personne n'ait besoin de mesurer : - L'angle droit se code par un petit carré placé dans le coin. C'est le code déjà employé pour les angles droits.
- L'égalité des longueurs se code par de petits traits identiques tracés en travers des côtés. Les côtés qui portent le même nombre de traits ont la même longueur.
Exemple — Coder un carré et un losange
Lire le codage de ce carré, puis de ce losange : que dit chaque signe ? 
Le carré : quatre petits carrés pour les quatre angles droits, et un trait sur chacun des quatre côtés, parce qu'ils ont tous la même longueur. Le losange : un trait sur chacun des quatre côtés, et aucun petit carré — ses angles ne sont pas droits, en coder un dirait une chose fausse.
Compétences à pratiquer
- Lire une figure codée
- Coder une figure
II.2
Nommer une figure, et dire qu'elle n'en est pas une
Exemple
Tom regarde ce quadrilatère et dit : « Il a quatre côtés de la même longueur, c'est donc un carré. » A-t-il raison ?
Ce que dit Tom est vrai : les quatre côtés ont bien la même longueur. Cela suffit pour dire losange — un losange ne demande rien de plus. Mais ce n'est pas suffisant pour un carré, qui exige en plus quatre angles droits : en posant l'équerre sur un coin, on voit que celui-ci n'est pas droit. Une propriété vraie ne prouve que ce dont elle suffit.
Méthode — Nommer, ou dire que ce n'en est pas un
Deux travaux différents, et ils ne coûtent pas le même prix : - Pour nommer une figure, vérifier toutes les propriétés que le nom exige : le nombre de côtés, leurs longueurs, les angles droits. « Elle a quatre côtés, tous de la même longueur, et ses quatre angles sont droits : c'est un carré. »
- Pour dire que ce n'en est pas un, une seule propriété suffit — une que le nom exige et que la figure n'a pas. « Ce n'est pas un carré, car l'un de ses angles n'est pas un angle droit. Or un carré a ses quatre angles droits. »
Exemple
Nommer cette figure, en donnant ses arguments.
Elle a quatre côtés, c'est donc un quadrilatère. Ses quatre angles sont droits — les quatre petits carrés le disent. Les traits disent que les côtés opposés sont égaux deux à deux. C'est un rectangle. Est-ce un carré ? Le codage ne répond pas : des traits différents ne disent rien. Il faut mesurer : les grands côtés sont nettement plus longs que les petits, ce n'est donc pas un carré.
Exemple
Dire pourquoi cette figure n'est pas un rectangle. 
Ce n'est pas un rectangle, car aucun de ses angles n'est un angle droit. Or un rectangle a ses quatre angles droits. Une ligne suffit : il n'y a pas besoin de parler de ses côtés.
Compétences à pratiquer
- Nommer en donnant ses arguments
- Dire que ce n'en est pas un
III
Construire
III.1
Le cercle et les tracés
Définition — Cercle et centre
Un cercle est la courbe dessinée par tous les points qui sont à la même distance d'un point. Ce point est le centre du cercle. La surface qu'il entoure est le disque. 
Définition — Disque
Un cercle n'est que la courbe — la ligne du bord elle-même. Un disque est toute la région plate que le cercle entoure : le cercle et tous les points à l'intérieur. 
Méthode — Tracer un cercle au compas
Le compas est l'instrument qui garde une distance en tournant. Pour tracer le cercle de centre \(O\) passant par le point \(A\) : - Ouvrir le compas : on pose sa pointe sur \(O\) et son crayon exactement sur \(A\).
- Garder l'écartement : on ne touche plus au compas — l'écartement est la distance de \(O\) à \(A\).
- Tourner : on appuie la pointe sur \(O\) et on fait tourner le crayon tout autour, d'un seul geste.
Méthode — Tracer un rectangle sur papier uni
Sans carreaux à compter, la règle et l'équerre font le travail : - Un côté à la règle : tracer le premier côté et marquer ses deux extrémités.
- Deux angles droits à l'équerre : poser le coin de l'équerre sur une extrémité, un bord le long du côté, puis tracer le côté suivant ; faire de même à l'autre extrémité.
- La même longueur sur les deux : à la règle, reporter la même longueur sur les deux côtés qu'on vient de tracer — sinon la figure se ferme en biais et ce n'est pas un rectangle.
- Fermer la figure : relier les deux extrémités à la règle et coder les quatre angles droits.
Méthode — Reproduire une forme sur papier quadrillé
Pour reproduire cette forme sur du papier quadrillé : 
- Placer les sommets : Choisir un sommet de la figure comme point de départ. Dessiner ce sommet au même endroit sur la grille. Puis compter les carreaux vers la droite/gauche et vers le haut/bas pour placer les autres sommets, en gardant les mêmes déplacements que sur la figure de départ.
- Dessiner les côtés : Utiliser une règle pour relier les sommets par des traits droits, dans le même ordre que sur la forme d'origine.
Compétences à pratiquer
- Tracer un cercle au compas
- Comprendre le compas
- Tracer des formes simples
- Reproduire une figure sur le quadrillage
III.2
Rayon, diamètre et constructions
Définition — Rayon et diamètre
Le rayon d'un cercle est un segment qui relie le centre à un point du cercle ; c'est aussi sa longueur, l'écartement du compas. Le diamètre est un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre ; c'est aussi sa longueur. 
Proposition — Règle du diamètre et du rayon
- Le diamètre est le double du rayon.
- Le rayon est la moitié du diamètre.
Méthode — Construire un triangle rectangle à l'équerre
Pour construire un triangle rectangle quand les deux côtés de l'angle droit sont donnés (\(10\) cm et \(4\) cm, par exemple), sur papier uni : - Tracer le premier côté à la règle graduée : un segment de \(10\) cm. Nommer une de ses extrémités.
- Poser l'équerre de façon que le coin de son angle droit soit sur cette extrémité et qu'un de ses bords suive le segment.
- Tracer le long de l'autre bord de l'équerre, puis mesurer \(4\) cm sur cette nouvelle ligne depuis la même extrémité.
- Fermer le triangle : joindre les deux extrémités libres à la règle, et coder l'angle droit par son petit carré.
Exemple
Construire un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent \(4\) cm et \(3\) cm, et coder l'angle droit. 
Tracer un segment de \(4\) cm. Poser le coin de l'équerre sur son extrémité gauche, un bord le long du segment, et tracer vers le haut. Mesurer \(3\) cm sur cette ligne. Joindre les deux extrémités libres. Le petit carré dans le coin montre l'angle droit.
Compétences à pratiquer
- Construire à la règle, à l'équerre et au compas
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes de polygones plus difficiles
- Résoudre des problèmes à plusieurs questions
- Quiz
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