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Éducation Nationale Française · CE2

Les solides

⌚ ~138 min ▢ 15 blocs ✓ 53 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Le repérage dans le temps et les durées, La géométrie plane
I Les solides et leur vocabulaire
Définition — Face
Une face est une surface plate d’un solide.
Définition — Arête
Une arête est un segment où deux faces se rencontrent.
Définition — Sommet
Un sommet est un coin d’un solide. C’est un point où plusieurs arêtes se rencontrent.
Exemple
Ce solide en forme de boîte a plusieurs faces, arêtes et sommets. Un exemple de chaque est indiqué.
Illustration
Définition — Classification
On peut classer les solides en comptant leurs faces, arêtes et sommets. Quelques exemples sont donnés dans le tableau ci-dessous.
Nom Forme Faces Arêtes Sommets
Cube Illustration 6 (faces planes) 12 8
Pavé droit Illustration 6 (faces planes) 12 8
Boule Illustration 0 face plane (1 surface courbe) 0 0
Pyramide à base carrée Illustration 5 (faces planes) 8 5
Cylindre Illustration 2 faces planes (1 surface courbe) 0 0
La boule n’a ni arête ni sommet. Le cylindre non plus : ses deux faces planes ne se rencontrent pas.
Définition — Les solides usuels et leurs faces
Compter les faces ne suffit pas : un cube et un pavé en ont \(6\) tous les deux. Ce qui distingue les solides, c'est la forme de leurs faces.
Solide Nom Ses faces
Illustration le cube \(6\) faces, toutes des carrés
Illustration le pavé (ou pavé droit) \(6\) rectangles (parfois deux d'entre eux sont des carrés)
Illustration la pyramide à base carrée \(1\) carré et \(4\) triangles jusqu'à la pointe
Illustration le cylindre \(2\) disques plats (des ronds) et \(1\) partie arrondie
Illustration le cône \(1\) disque plat et \(1\) partie arrondie vers la pointe
Illustration la boule aucune face plate : arrondie partout
Exemple
Voici une pyramide à base carrée. Sur le dessin, les traits en pointillés sont les arêtes cachées, derrière le solide : on les compte aussi. Écrire sa carte d'identité : ses faces et leur forme, ses arêtes, ses sommets.
Illustration

  • Les faces : la base, dessous, est un carré ; les \(4\) faces qui montent vers la pointe sont des triangles. En tout \(1 + 4 = 5\) faces.
  • Les arêtes : \(4\) arêtes autour de la base carrée, et \(4\) arêtes qui montent vers la pointe : \(4 + 4 = 8\) arêtes.
  • Les sommets : les \(4\) coins de la base, et la pointe en haut : \(4 + 1 = 5\) sommets.
La pyramide à base carrée : \(5\) faces (\(1\) carré et \(4\) triangles), \(8\) arêtes, \(5\) sommets.

Compétences à pratiquer
  • Compter les faces
  • Compter les arêtes
  • Compter les sommets
  • Retrouver les solides
II Justifier la nature d'un solide
Méthode — Justifier la nature d'un solide
Nommer un solide ne suffit pas : on dit pourquoi. On donne trois choses, toujours dans le même ordre :
  1. le nombre et la nature de ses faces — combien, et quelle forme elles ont ;
  2. le nombre de ses sommets — les coins où les arêtes se rejoignent ;
  3. le nombre de ses arêtes — les segments où deux faces se touchent.
Solide Faces Sommets Arêtes
Cube \(6\) carrés \(8\) \(12\)
Pavé \(6\) rectangles \(8\) \(12\)
Un cube et un pavé ont tous deux \(6\) faces, \(8\) sommets et \(12\) arêtes : ce qui les distingue est la nature des faces. Un cube a ses \(6\) faces carrées ; un pavé qui n'est pas un cube a au moins une face plus longue que large.
Exemple
Justifier la nature de chaque solide.
Illustration    Illustration

Le premier solide a \(6\) faces, et elles sont toutes carrées ; il a \(8\) sommets et \(12\) arêtes : c'est un cube. Le second a lui aussi \(6\) faces, mais ce sont des rectangles ; il a \(8\) sommets et \(12\) arêtes : c'est un pavé.

Compétences à pratiquer
  • Justifier la nature d'un solide
III La pyramide

Tom a trois solides pointus. Leur face du bas est différente : un triangle pour le premier, un carré pour le deuxième, un pentagone pour le troisième. Il dit : « Leurs bases ne sont pas les mêmes, ce ne sont donc pas trois pyramides. » A-t-il raison ?
Illustration  Illustration  Illustration

Tom a tort. Regardons les autres faces : sur les trois solides ce sont des triangles, et tous ces triangles se rejoignent en un même point, en haut. Seule la face du bas change. Les trois sont des pyramides : ce qui fait une pyramide, ce sont les triangles qui se rejoignent en un point, pas la forme de sa base — c'est d'ailleurs elle qui lui donne son nom.


Définition — Les faces d'une pyramide
Dans une pyramide, toutes les faces sont des triangles qui ont un sommet commun — appelé le sommet de la pyramide — à l'exception éventuelle d'une face, la base, qui est un polygone ayant trois côtés ou plus.
La pyramide porte le nom de sa base : une pyramide à base carrée, à base pentagonale…
Base Faces Sommets Arêtes
Triangle \(4\) (\(4\) triangles) \(4\) \(6\)
Carré \(5\) (\(4\) triangles \(+ 1\) carré) \(5\) \(8\)
Pentagone \(6\) (\(5\) triangles \(+ 1\) pentagone) \(6\) \(10\)
Quand la base est un triangle, toutes les faces sont des triangles — mais la base reste la face qui ne passe pas par le sommet.
Exemple — Justifier la nature d'une pyramide
Justifier la nature de ce solide, puis compter ses sommets et ses arêtes.
Illustration

Sa base est un carré. Les quatre autres faces sont des triangles qui se rejoignent en un sommet commun : c'est une pyramide à base carrée. Ses sommets : les \(4\) coins du carré et le sommet de la pyramide, donc \(5\). Ses arêtes : les \(4\) côtés du carré et les \(4\) segments qui montent au sommet, donc \(8\).

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître une pyramide
  • Compter sur une pyramide
  • Justifier la nature d'une pyramide
IV Lire une perspective
Méthode — Arêtes visibles et arêtes cachées
Quand on dessine un solide sur une feuille, on ne le voit que d’un seul point de vue : certaines de ses arêtes sont derrière le solide et on ne les voit pas. On appelle ces arêtes des arêtes cachées. Pour montrer qu’une arête est cachée mais qu’elle fait toujours partie du solide, on la dessine en pointillés. Les lignes pleines montrent les arêtes que l’on voit.
Illustration
Exemple — Identifier un solide vu en perspective
Quel solide est dessiné ici ? Les traits en pointillés sont les arêtes cachées.
Illustration

On compte sur le dessin, arêtes cachées comprises : \(6\) faces, \(8\) sommets, \(12\) arêtes. La face de devant est plus longue que haute : ce n'est pas un carré, donc le solide n'est pas un cube. C'est un pavé. Trois arêtes sont en pointillés : elles passent derrière le solide, et elles se rejoignent au sommet caché — celui qu'on ne verrait pas si la boîte était en bois.

Compétences à pratiquer
  • Compter les arêtes visibles et cachées
  • Identifier un solide vu en perspective
V Le patron du cube

Nour déplie un cube en carton et l'étale à plat sur la table. Que voit-elle ?
Illustration

Elle voit \(6\) carrés, tous de la même taille, reliés par leurs côtés. Chaque carré était une face du cube. Replié le long des jointures, la figure plane redonne le cube.


Définition — Patron
Un patron d’un solide est une figure plane que l’on peut plier, ou enrouler, pour obtenir ce solide. Quand le solide n’a que des faces planes et aucune surface courbe — un cube, un pavé droit, une pyramide, un prisme —, on plie le long des arêtes : les plis sont les lignes à l’intérieur du patron. Un cylindre et un cône ont eux aussi un patron, mais leur surface courbe doit être enroulée et non pliée. Une boule, elle, n’a pas de patron du tout : aucune feuille plane ne peut l’envelopper sans se froisser.
Illustration
Méthode — Reconnaître un patron du cube
Pour dire si un assemblage plan de polygones est un patron du cube, trois vérifications, dans cet ordre :
  1. Compter les faces : il en faut exactement \(6\).
  2. Vérifier leur nature et leur taille : les \(6\) doivent être des carrés, et tous de la même taille — un cube a des faces égales.
  3. Plier par la pensée : chaque carré doit tomber sur une face différente, sans que deux carrés tombent sur la même, et les \(6\) faces doivent toutes être couvertes.
Un cas fréquent : quand l'assemblage contient une bande de \(4\) carrés à la suite, cette bande fait le tour du cube et les \(2\) carrés restants ferment le dessus et le dessous — à condition qu'il y en ait un de chaque côté de la bande (deux du même côté tombent sur la même face). Mais un patron n'a pas forcément une telle bande — l'escalier de trois marches de \(2\) carrés en est un aussi, qu'on plie marche après marche. Tout escalier n'en est pas un pour autant : le plier en pensée, carré après carré. Si un carré n'a plus de face libre où se poser, l'assemblage n'est pas un patron. Le dernier mot revient à un vrai pliage : on découpe l'assemblage et on le plie.
Exemple
Cet assemblage est-il un patron du cube ?
Illustration

Six faces : oui. Six carrés de la même taille : oui. Pliage : il n'y a pas ici de bande de \(4\) carrés, on plie donc marche après marche. On part du carré d'en bas à gauche et on le pose comme plancher ; chaque carré suivant de l'escalier se rabat sur une face encore libre, et après le sixième les \(6\) faces sont couvertes, sans que deux carrés tombent sur la même. C'est un patron du cube. Un patron n'a pas forcément la forme d'une croix.

Exemple
Et celui-ci ?
Illustration

Six faces : oui. Six carrés égaux : oui — les deux premières vérifications passent. Mais regardons les quatre carrés qui forment un bloc \(2 \times 2\), en bas à gauche. En pliant un tel bloc, deux de ses carrés tombent sur la même face du cube. Ce n'est pas un patron : la position des faces compte autant que leur nombre.

Compétences à pratiquer
  • Patron ou pas patron ?
  • Argumenter sur un patron
VI Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Compter sur de nouveaux solides
  • Tracer les arêtes cachées
  • Problèmes
  • Quiz