Éducation Nationale Française · CE2
La symétrie axiale
I
La symétrie axiale
Définition — Axe de symétrie d'une figure
Une droite est un axe de symétrie d'une figure lorsque, en pliant la figure le long de cette droite, les deux parties se superposent exactement. On dit alors que la figure est symétrique par rapport à cette droite. Exemple
Sur le dessin ci-dessous, les deux triangles sont symétriques l'un de l'autre. La droite verticale est l'axe de symétrie de la figure formée par les deux triangles. 
Compétences à pratiquer
- Tracer l'axe de symétrie
II
Vérifier un axe : plier ou décalquer
Tom dessine un rectangle et sa diagonale. Il dit : « Cette droite coupe le rectangle en deux moitiés qui ont exactement la même forme, c'est donc un axe de symétrie. » A-t-il raison ? 
Tom a tort, et le pliage dit pourquoi. Si l'on découpe le rectangle et qu'on le plie le long de la diagonale, les deux moitiés ne tombent pas l'une sur l'autre — il en dépasse de chaque côté. Elles ont bien la même forme, mais il faudrait tourner l'une pour la poser sur l'autre, et non la retourner. Un axe de symétrie demande le retournement. (Attention : dans un carré, qui est aussi un rectangle, les diagonales sont des axes.)
Méthode — Vérifier un axe : plier ou décalquer
Une droite tracée est un axe de symétrie d'une figure si les deux parties tombent exactement l'une sur l'autre quand on retourne la figure par-dessus cette droite. Deux façons de le vérifier, avec les mains : - Le pliage. Plier la feuille le long de la droite. Si les deux parties de la figure se recouvrent exactement — aucun coin qui dépasse, aucun vide — la droite est un axe. Si quelque chose dépasse, elle n'en est pas un.
- Le papier calque. Décalquer la figure et la droite, avec deux repères sur la droite. Retourner le calque. Reposer la droite décalquée sur la droite, les deux repères sur les deux repères. Si la figure décalquée tombe exactement sur la figure, la droite est un axe.
Le piège : une droite qui coupe une figure en deux parties de même forme n'est pas toujours un axe. La diagonale d'un rectangle qui n'est pas un carré le coupe en deux triangles identiques, et pourtant le pliage ne les fait pas coïncider.
Exemple — Plier un cœur et un cerf-volant
Ce cœur a-t-il un axe de symétrie ? Et ce cerf-volant ? 
Le cœur : on le plie par le milieu, de la pointe du bas au creux du haut — les deux bosses tombent l'une sur l'autre. Il a un axe, le vertical. Le cerf-volant : on le plie le long de sa grande diagonale, de la pointe du haut à celle du bas — les deux côtés se rejoignent. Un axe aussi. Aucun des deux n'a d'axe horizontal. Pour le cerf-volant, il faut regarder de près : le pli en travers du milieu amène bien la pointe du haut sur la pointe du bas — mais les deux coins latéraux, qui sont à la même hauteur, tombent au-dessous d'eux-mêmes et ne rencontrent rien. Qu'une paire se corresponde ne suffit pas : il faut que tout se corresponde.
Proposition — Axes de symétrie des figures usuelles
Une figure peut avoir un axe de symétrie, plusieurs, ou aucun. Les compter est une autre façon de distinguer les figures usuelles. - Un carré a 4 axes de symétrie.
- Un rectangle qui n'est pas un carré a 2 axes — ses diagonales n'en sont pas.
- Un losange qui n'est pas un carré a 2 axes — ses deux diagonales.
- Un triangle qui a deux côtés de même longueur (un triangle isocèle) a 1 axe, sauf si ses trois côtés sont égaux (un triangle équilatéral) : il en a alors 3.
- Un cercle en a une infinité : toute droite passant par son centre en est un.
- Un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes n'a aucun axe : de quelque façon qu'on le plie, les deux moitiés ne se superposent jamais.
Plier pour compléter une figure
Le pliage ne sert pas qu'à vérifier : il sert aussi à construire. Pour compléter une figure afin qu'elle devienne symétrique par rapport à une droite donnée, plier la feuille le long de cette droite et la regarder à contre-jour : la partie déjà dessinée se voit par transparence du côté vide. Tracer ce qu'on voit, déplier, et la figure est complète.
Sur du papier quadrillé, le pliage peut se compter au lieu de se faire : un point situé à trois carreaux à gauche de l'axe a son symétrique à trois carreaux à droite, sur la même ligne.
Sur du papier quadrillé, le pliage peut se compter au lieu de se faire : un point situé à trois carreaux à gauche de l'axe a son symétrique à trois carreaux à droite, sur la même ligne.
Compétences à pratiquer
- Vérifier une symétrie
- Reconnaître les axes des objets usuels
- Tracer l'axe de symétrie diagonal
- Trouver tous les axes
III
Compléter une figure pour la rendre symétrique
Méthode — Compléter une figure pour la rendre symétrique
La figure est sur papier quadrillé, l'axe est horizontal ou vertical, et la moitié seulement du contour est tracée : elle part de l'axe et y revient. La compléter, c'est ajouter la moitié manquante pour que la figure entière devienne symétrique. - Regarder les sommets déjà tracés. Ceux qui sont sur l'axe ne bougent pas : ils sont leur propre symétrique, et c'est là que les deux moitiés se rejoignent.
- Placer le symétrique des autres. Pour chacun, compter les carreaux jusqu'à l'axe, puis placer son symétrique à la même distance de l'autre côté — sans quitter sa ligne si l'axe est vertical, sans quitter sa colonne s'il est horizontal.
- Relier les nouveaux points dans le même ordre que ceux déjà tracés, et fermer la figure sur les sommets posés sur l'axe.
Exemple
Compléter la figure pour qu'elle devienne symétrique par rapport à l'axe. Les deux sommets marqués d'un point sont sur l'axe. 
Les deux sommets marqués ne bougent pas. Les autres sont à \(2\), \(2\) et \(1\) carreaux de l'axe : leurs symétriques se placent donc à \(2\), \(2\) et \(1\) carreaux de l'autre côté. En les reliant dans le même ordre, la figure se ferme : 
Exemple
Compléter la figure pour qu'elle devienne symétrique. Ici l'axe est horizontal. 
La méthode ne change pas : les deux sommets posés sur l'axe restent, et les autres se reflètent en comptant les carreaux — vers le haut cette fois, au lieu d'aller sur le côté. 
Compétences à pratiquer
- Compléter sur papier quadrillé
- Vérifier une figure complétée
- Compléter sur papier pointé
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Mesurer des miroirs et trouver des axes
- Problèmes
- Quiz
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