Éducation Nationale Française · Seconde

Les ensembles de nombres

⌚ ~66 min ▢ 6 blocs ✓ 25 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Le langage des ensembles

I Des entiers naturels à la droite réelle

Les ensembles de nombres sont des collections de nombres définies par des propriétés communes et constituent un fondement des mathématiques. On commence par les entiers naturels ($\N$), utilisés pour compter. En ajoutant les nombres négatifs, on obtient les entiers relatifs ($\Z$). En autorisant les quotients d’entiers (avec un dénominateur non nul), on définit les nombres rationnels ($\Q$). Parmi les nombres réels ($\R$), on trouve aussi des nombres irrationnels (comme $\sqrt{2}$ et $\pi$) qui, avec les rationnels, remplissent toute la droite numérique. Chacun de ces ensembles contient les précédents.

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Définition — Ensembles de nombres

Les nombres entiers naturels, notés $\N$, sont les nombres utilisés pour compter, en commençant par zéro :$$\N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$$
Les nombres entiers relatifs, notés $\Z$, sont les entiers naturels et leurs opposés (négatifs, zéro, positifs) :$$\Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$
Les nombres décimaux, notés $\mathbb{D}$, sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 :$$\mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} \mid a \in \Z,\, n \in \N \right\}$$
Les nombres rationnels, notés $\Q$, sont tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction $\frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers, $q \neq 0$ :$$\Q = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in \Z,\, q \neq 0 \right\}$$
Les nombres réels, notés $\R$, comprennent tous les points de la droite numérique. Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ : les réels sont les rationnels et les irrationnels.

Exemple

$1\in \N, 1\in \Z, 1\in \mathbb{D},1\in \Q, 1\in\R$
$-5 \in \Z$, $-5 \notin \N$
$0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \in \mathbb{D}$ (et aussi dans $\Q$ et $\R$)
$\frac{1}{3} \in \Q$ mais $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$
$\sqrt{2} \in \R$ mais $\sqrt{2} \notin \Q$ (irrationnel)

Proposition — Développement décimal fini

Un nombre est décimal si, et seulement si, son développement décimal est fini.

Exemple

$\frac{3}{4} = 0{,}75$ (développement fini, donc décimal).
$\frac{1}{3} = 0{,}3333\dots$ (développement infini, donc non décimal — démontré ci-dessous).

Proposition — Développement décimal périodique

Un nombre rationnel admet un développement décimal périodique à partir d'un certain rang.

Exemple

$\frac{1}{7} = 0{,}142857142857\dots$ (la séquence 142857 se répète).

Proposition — Relations entre les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres sont emboîtés comme suit :$$\N \subset \Z \subset \mathbb{D} \subset \Q \subset \R$$ Cela signifie : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, tout nombre décimal est un nombre rationnel, et tout nombre rationnel est un nombre réel.

Compétences à pratiquer

Tester l'appartenance aux ensembles de nombres
Placer les nombres dans les bons ensembles

II Les nombres décimaux

Proposition — Caractérisation des nombres décimaux

Un nombre est décimal si, et seulement si, il peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\frac{a}{2^m \times 5^p}$ avec $a \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{N}$ : le dénominateur de sa forme irréductible n'a pas d'autre facteur premier que $2$ et $5$.

Preuve

$\Rightarrow$ Si $x$ est un nombre décimal, par définition $x = \frac{a}{10^n}$. Comme $10 = 2 \times 5$, on a $10^n = 2^n \times 5^n$. Ainsi $x = \frac{a}{2^n \times 5^n}$. Simplifier cette fraction jusqu'à sa forme irréductible divise son dénominateur par un diviseur commun de $a$ et de $2^n \times 5^n$, qui n'est fait que de $2$ et de $5$ : le dénominateur de la forme irréductible est encore de la forme $2^m \times 5^p$.
$\Leftarrow$ Réciproquement, on suppose que $x = \frac{a}{2^m \times 5^p}$. Soit $n = \max(m, p)$ le plus grand des deux exposants. On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par des puissances de 2 ou de 5 pour que les exposants soient égaux à $n$.
$$ x = \frac{a \times 2^{n-m} \times 5^{n-p}}{2^n \times 5^n} = \frac{A}{10^n}, $$ où $A = a \times 2^{n-m} \times 5^{n-p}$ est un entier. Puisque le dénominateur est une puissance de 10, $x$ est un nombre décimal.

Exemple

On considère le nombre $\frac{7}{40}$.

On décompose le dénominateur : $40 = 8 \times 5 = 2^3 \times 5^1$.
Puisque les facteurs premiers sont uniquement 2 et 5, c'est un nombre décimal.
Pour l'écrire avec un dénominateur $10^n$ (ici $n=3$ est le plus grand exposant), on multiplie le numérateur et le dénominateur par $5^2$ : $$\frac{7}{40} = \frac{7}{2^3 \times 5^1} = \frac{7 \times 5^2}{2^3 \times 5^1 \times 5^2} = \frac{7 \times 25}{2^3 \times 5^3} = \frac{175}{10^3} = 0{,}175$$

Proposition — Un tiers n'est pas un nombre décimal

Le nombre rationnel $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal : aucune fraction $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier n'est égale à $\dfrac{1}{3}$.

Preuve

On raisonne par l'absurde : on suppose que $\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal. Alors il existe un entier $a$ et un entier naturel $n$ tels que $$\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}.$$ En multipliant les deux membres par $3 \times 10^n$ : $$10^n = 3\,a.$$ Le nombre $10^n$ serait donc un multiple de $3$. Or la somme des chiffres de $10^n = 1\underbrace{0\cdots0}_{n}$ vaut $1$, qui n'est pas divisible par $3$ : par le critère de divisibilité, $10^n$ n'est pas un multiple de $3$. Cette contradiction montre que la supposition était fausse : $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

Compétences à pratiquer

Simplifier des fractions et reconnaître les décimaux

III Encadrer un nombre réel

Définition — Encadrement d'un nombre réel

Encadrer un nombre réel $x$, c'est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leq x \leq b$. La différence $b-a$ est appelée l'amplitude de l'encadrement. Lorsque $a$ et $b$ sont des nombres décimaux, on parle d'encadrement décimal.

Exemple

Pour $\pi \approx 3{,}14159...$ :

Encadrement d'amplitude 1 : $3 \leq \pi \leq 4$
Encadrement d'amplitude 0,1 : $3{,}1 \leq \pi \leq 3{,}2$
Encadrement d'amplitude $10^{-2}$ : $3{,}14 \leq \pi \leq 3{,}15$

Méthode — Encadrer un réel par balayage

Pour trouver un encadrement décimal d'un nombre $x$ (par exemple $x = \sqrt{2}$, défini par $x \geq 0$ et $x^2 = 2$) à $10^{-n}$ près :

Balayer : en partant d'une borne inférieure connue $a$ (par exemple la borne inférieure de l'encadrement précédent), parcourir $a, \ a + 10^{-n}, \ a + 2 \times 10^{-n}, \dots$, tant que le carré reste inférieur ou égal à $2$.
S'arrêter : le premier décimal dont le carré dépasse $2$ donne la borne supérieure ; le précédent donne la borne inférieure.
Conclure : $a \leq \sqrt{2} < a + 10^{-n}$, un encadrement d'amplitude $10^{-n}$.

Ce balayage est exactement ce que réalise la fonction Python suivante (les round servent seulement à nettoyer l'affichage flottant) :

def balayage(n, a):
    while a**2 <= 2:
        a = a + 10**(-n)
    return round(a - 10**(-n), n), round(a, n)

Exemple

À l'aide de la méthode par balayage, donner un encadrement de $\sqrt{2}$ à $10^{-1}$ près, puis à $10^{-2}$ près.

Correction

À $10^{-1}$ près. On balaie $1{,}0$ ; $1{,}1$ ; $1{,}2$ ; … et on compare les carrés à $2$ : $$1{,}4^2 = 1{,}96 \leq 2 \quad \text{et} \quad 1{,}5^2 = 2{,}25 > 2,$$ donc $$1{,}4 \leq \sqrt{2} < 1{,}5.$$ À $10^{-2}$ près. On balaie $1{,}40$ ; $1{,}41$ ; $1{,}42$ ; … : $$1{,}41^2 = 1{,}9881 \leq 2 \quad \text{et} \quad 1{,}42^2 = 2{,}0164 > 2,$$ donc $$1{,}41 \leq \sqrt{2} < 1{,}42.$$ L'appel balayage(1, 1) renvoie $(1{,}4 ; 1{,}5)$ ; en repartant de la borne inférieure trouvée, balayage(2, 1.4) renvoie $(1{,}41 ; 1{,}42)$.

Compétences à pratiquer

Encadrer par balayage

IV Arrondir et chiffres significatifs

Découverte

Le 23 septembre 1999, la NASA perd Mars Climate Orbiter : la sonde, partie d'une mission à $327$ millions de dollars avec son atterrisseur jumeau, se consume dans l'atmosphère martienne au lieu de se mettre en orbite. L'enquête trouve la cause. Un logiciel transmettait les impulsions des propulseurs en livres-force secondes, tandis que le système de navigation lisait ces nombres en newtons secondes — or $1$ livre-force seconde $\approx 4{,}45$ newtons secondes. Toutes les valeurs transmises étaient donc $4{,}45$ fois trop petites.

Le système de navigation utilisait la valeur $1$ là où la valeur réelle était $4{,}45$. Calculer le pourcentage d'erreur $\left|\frac{1 - 4{,}45}{4{,}45}\right| \times 100\pourcent$ commis à chaque allumage des propulseurs.
De minuscules erreurs sont souvent sans gravité. Celle-ci était-elle minuscule ? Quelle habitude simple — vérifier l'ordre de grandeur d'un résultat — aurait pu détecter le problème des mois avant la perte de la sonde ?

Bien approcher, c'est exactement cette habitude : arrondir consciemment, quantifier l'erreur d'une approximation, et donner l'intervalle où se trouve une valeur exacte inconnue.

Définition — Règles d'arrondi

On peut arrondir les nombres de deux manières principales :

Décimales : le nombre de chiffres conservés après la virgule.
Chiffres significatifs (c.s.) : le nombre de chiffres conservés à partir du premier chiffre non nul.

Règle d'arrondi (au plus proche) : on regarde le premier chiffre supprimé. S'il vaut $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ou $4$, on garde le dernier chiffre conservé tel quel (arrondi à l'inférieur) ; s'il vaut $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ou $9$, on augmente le dernier chiffre conservé de $1$ (arrondi au supérieur).

Exemple

On considère le nombre $N = 1204{,}5678$.

Arrondi à 2 décimales : $1204{,}57$ (la 3e décimale est $7$, donc on arrondit au supérieur).
Arrondi à 3 chiffres significatifs (3 c.s.) : $1{,}20 \times 10^3$ (le chiffre suivant est $4$, donc on arrondit à l'inférieur).
(On peut écrire $1200$, mais $1{,}20\times 10^3$ explicite clairement les « 3 c.s. ».)

Compétences à pratiquer

Arrondir

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
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