Éducation Nationale Française · BCPST 2
Séries réelles
Additionner un nombre fini de nombres produit toujours un nombre. Ce chapitre demande ce qui se passe lorsqu'on tente d'additionner une infinité de termes d'une suite \(u_N, u_{N+1}, u_{N+2}, \dots\) à la suite. L'idée est simple : on ajoute les termes un par un, en notant le total courant \(S_n = u_N + \dots + u_n\) après chaque étape, et on observe ce que fait cette suite de sommes partielles quand \(n\) grandit. Une série est exactement cette suite de sommes partielles ; dire que la série converge signifie simplement que les sommes partielles convergent, au sens étudié dans Suites : limites et convergence. Tout ce que l'on sait sur les limites de suites — le théorème de la limite monotone, la comparaison et le théorème des gendarmes, les opérations sur les limites, les équivalents et les croissances comparées — est rappelé librement et jamais redémontré. Sur cette base on construit les outils véritablement nouveaux du chapitre : un test rapide de divergence, la comparaison et les équivalents pour les séries dont les termes gardent un signe, la notion de convergence absolue, et un court catalogue de séries de référence (Riemann, géométrique, exponentielle) dont la nature et la somme sont connues une fois pour toutes. Partout, \(\sum u_n\) désigne la série, et \(\sum_{n=N}^{+\infty} u_n\) sa somme totale lorsqu'elle converge.
I
Séries et leurs sommes
I.1
Définition et nature d'une série
On transforme le « total courant » informel en un objet précis. À partir d'une suite \((u_n)_{n \ge N}\), la somme partielle \(S_n\) rassemble les premiers termes jusqu'au rang \(n\) ; la série est la suite \((S_n)\) de ces sommes partielles, et son comportement quand \(n \to +\infty\) est ce que l'on appelle sa nature.
Définition — Série et somme totale
Soit \((u_n)_{n \ge N}\) une suite réelle. Pour \(n \ge N\), la somme partielle d'ordre \(n\) est $$S_n = \sum_{k=N}^{n} u_k = u_N + u_{N+1} + \dots + u_n.$$ La série de terme général \(u_n\), notée \(\sum u_n\) (ou \(\sum_{n \ge N} u_n\)), est la suite \((S_n)_{n \ge N}\) de ses sommes partielles. La série converge quand la suite \((S_n)\) converge, et diverge sinon ; c'est sa nature. En cas de convergence, la limite de \((S_n)\) est la somme totale $$\sum_{n=N}^{+\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} S_n.$$ Exemple
Prenons \(u_n = \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\) pour \(n \ge 0\). Avec la forme close d'une somme géométrique, $$S_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\tfrac{1}{2}\right)^k = \frac{1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \tfrac{1}{2}} = 2\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) = 2 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.$$ Comme \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^n \to 0\), on obtient \(S_n \to 2\) : la série converge, de somme totale \(\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 2\). Les sommes partielles montent vers le plafond \(2\) sans jamais l'atteindre : 
Exemple
Prenons \(u_n = 1\) pour \(n \ge 0\). Alors \(S_n = \sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1 \to +\infty\), donc la série \(\sum 1\) diverge. Ajouter une quantité positive fixe à chaque étape fait croître le total courant sans borne.
Ne pas confondre la nature de la suite \((u_n)\) avec celle de la série \(\sum u_n\) : ce sont deux questions différentes. Pour \(u_n = 1\), la suite \((u_n)\) est constante, donc converge vers \(1\) ; pourtant la série \(\sum u_n\) diverge, comme on vient de le voir. La convergence de la série porte sur les sommes partielles \((S_n)\), non sur \((u_n)\).
Compétences à pratiquer
- Calculer sommes partielles et sommes totales
I.2
Premières propriétés
Trois propriétés permettent de simplifier une série avant de l'étudier : changer l'indice de départ de la sommation, modifier un nombre fini de termes, et combiner deux séries linéairement. Chacune se ramène directement à un énoncé sur les suites de sommes partielles, de sorte que les démonstrations n'utilisent que ce que l'on sait déjà sur les suites.
Proposition — Indépendance vis-à-vis de l'indice de départ
Soit \((u_n)_{n \ge N}\) une suite et \(M \ge N\) un entier. Les séries \(\sum_{n \ge N} u_n\) et \(\sum_{n \ge M} u_n\) ont la même nature. La nature d'une série ne dépend donc pas de ses premiers termes.
Pour tout \(n \ge M\), on coupe la somme partielle au rang \(M\) : $$\begin{aligned} \sum_{k=N}^{n} u_k &= \sum_{k=N}^{M-1} u_k + \sum_{k=M}^{n} u_k && \text{(on coupe la somme en } M \text{)} \\
&= C + \sum_{k=M}^{n} u_k, && \text{(} C = \textstyle\sum_{k=N}^{M-1} u_k \text{ est constant en } n \text{)} \end{aligned}$$ où \(C\) est un nombre fixe, indépendant de \(n\). Ajouter la constante \(C\) ne change pas la convergence d'une suite, donc \(\left(\sum_{k=N}^{n} u_k\right)\) converge si et seulement si \(\left(\sum_{k=M}^{n} u_k\right)\) converge. Les deux séries ont la même nature.
Proposition — Modification d'un nombre fini de termes
Si deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) ne diffèrent que d'un nombre fini de termes, alors les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont la même nature.
Comme les termes ne diffèrent qu'en un nombre fini d'indices, il existe un rang \(M\) au-delà duquel \(u_n = v_n\) pour tout \(n \ge M\). Les deux séries restantes \(\sum_{n \ge M} u_n\) et \(\sum_{n \ge M} v_n\) sont alors identiques, donc de même nature. D'après la Proposition précédente, \(\sum_{n \ge N} u_n\) a la nature de \(\sum_{n \ge M} u_n\), et de même pour \(v\) ; les deux séries de départ ont donc la même nature.
Proposition — Combinaisons linéaires de séries
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries indexées à partir du même rang \(N\), et \(\lambda\) un réel. - Si \(\sum u_n\) converge, alors \(\sum \lambda u_n\) converge et \(\sum_{n=N}^{+\infty} \lambda u_n = \lambda \sum_{n=N}^{+\infty} u_n\).
- Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent toutes deux, alors \(\sum (u_n + v_n)\) converge et \(\sum_{n=N}^{+\infty} (u_n + v_n) = \sum_{n=N}^{+\infty} u_n + \sum_{n=N}^{+\infty} v_n\).
- Si \(\sum u_n\) converge et \(\sum v_n\) diverge, alors \(\sum (u_n + v_n)\) diverge.
Notons les sommes partielles \(S_n = \sum_{k=N}^{n} u_k\) et \(T_n = \sum_{k=N}^{n} v_k\). Par linéarité des sommes finies, \(\sum_{k=N}^{n} \lambda u_k = \lambda S_n\) et \(\sum_{k=N}^{n} (u_k + v_k) = S_n + T_n\). Les deux premiers points découlent alors des opérations sur les limites rappelées de Suites : limites et convergence : si \(S_n \to S\) alors \(\lambda S_n \to \lambda S\), et si \(S_n \to S\) et \(T_n \to T\) alors \(S_n + T_n \to S + T\).
- Pour le troisième point, on raisonne par l'absurde : si \(\sum (u_n + v_n)\) convergeait, alors \(\sum v_n = \sum \big((u_n + v_n) - u_n\big)\) convergerait comme différence de deux séries convergentes (deuxième point appliqué à \(u_n + v_n\) et \(-u_n\)), contredisant l'hypothèse que \(\sum v_n\) diverge.
Méthode — Calculer une somme totale par télescopage
Lorsque le terme général s'écrit comme une différence \(u_n = a_{n+1} - a_n\) (ou \(a_n - a_{n+1}\)), la somme partielle se réduit : \(\sum_{k=N}^{n}(a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_N\). On prend la limite de cette expression courte pour obtenir à la fois la nature et la somme totale. L'étape délicate est de reconnaître le bon \(a_n\) ; une décomposition en éléments simples comme \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\) en est la source typique. Exemple
Déterminer la nature et la somme totale de \(\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n(n+1)}\).
On décompose en éléments simples : \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\). La somme partielle se télescope : $$\begin{aligned} S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &= \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) && \text{(éléments simples)} \\
&= 1 - \frac{1}{n+1} && \text{(télescopage)} \\
&\to 1. && \text{(} \tfrac{1}{n+1} \to 0 \text{)} \end{aligned}$$ La série converge, de somme totale \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\).
Compétences à pratiquer
- Sommer par télescopage et combinaison linéaire
II
Critères de convergence
II.1
Le test de divergence grossière
Avant tout outil sophistiqué, une vérification peu coûteuse règle souvent la divergence d'un coup : si le terme général ne tend pas vers \(0\), la série ne peut pas converger. Cela donne une condition nécessaire de convergence — utile sous sa forme contraposée comme test de divergence.
Proposition — Condition nécessaire de convergence
Si la série \(\sum u_n\) converge, alors son terme général tend vers \(0\) : \(u_n \to 0\).
Supposons \(\sum u_n\) convergente, et notons \(S\) sa somme totale et \(S_n\) sa somme partielle d'ordre \(n\). Pour \(n \ge N+1\), le terme général est une différence de sommes partielles consécutives : $$\begin{aligned} u_n &= S_n - S_{n-1} && \text{(définition des sommes partielles)} \\
&\to S - S = 0. && \text{(} S_n \to S \text{ et } S_{n-1} \to S \text{)} \end{aligned}$$
Définition — Divergence grossière
Lorsque le terme général \(u_n\) ne tend pas vers \(0\) (il tend vers une limite non nulle, ou n'a aucune limite), on dit que la série \(\sum u_n\) diverge grossièrement. Exemple
La série \(\sum \frac{n}{2n+1}\) diverge grossièrement : son terme général tend vers \(\frac{1}{2} \ne 0\). La série \(\sum \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\) diverge grossièrement aussi : les termes parcourent les valeurs \(-1, 0, 1\) sans se stabiliser, donc \(\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\) n'a pas de limite, en particulier il ne tend pas vers \(0\). Méthode — Appliquer le test de divergence
On commence toujours par calculer \(\lim u_n\). Si elle est non nulle ou n'existe pas, on conclut immédiatement que \(\sum u_n\) diverge grossièrement. La condition \(u_n \to 0\) est nécessaire mais non suffisante : elle ne prouve pas la convergence. La série \(\sum \frac{1}{n}\) vérifie \(\frac{1}{n} \to 0\) et pourtant diverge (démontré dans la section sur les séries de référence). Ainsi \(u_n \to 0\) permet seulement de passer à un critère plus fin. Compétences à pratiquer
- Appliquer le test de divergence
II.2
Séries à termes positifs
Lorsque tous les termes sont positifs, les sommes partielles ne peuvent que croître, donc le théorème de la limite monotone de Suites s'applique directement : une telle série se stabilise à un total fini ou file vers \(+\infty\), sans rien entre les deux. Cela rend les séries à termes positifs particulièrement faciles à comparer. On énonce le critère de comparaison et celui des équivalents, les deux outils quotidiens pour décider de la nature d'une série positive.
Proposition — Sommes partielles croissantes d'une série positive
Supposons \(u_n \ge 0\) à partir d'un certain rang. Alors la suite des sommes partielles \((S_n)\) est croissante à partir de ce rang, donc \(\sum u_n\) converge si et seulement si \((S_n)\) est majorée. Si \((S_n)\) n'est pas majorée, alors \(S_n \to +\infty\).
Pour \(n\) au-delà du rang où \(u_n \ge 0\), la différence \(S_{n+1} - S_n = u_{n+1} \ge 0\), donc \((S_n)\) est croissante. Par le théorème de la limite monotone rappelé de Suites : limites et convergence, une suite croissante converge si elle est majorée, et tend vers \(+\infty\) sinon. D'où la dichotomie annoncée.
Théorème — Comparaison des séries à termes positifs
Supposons qu'à partir d'un certain rang, \(0 \le u_n \le v_n\). Alors : - si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge ;
- si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge.
Les deux séries sont à termes positifs à partir d'un certain rang \(n_0\), donc leurs sommes partielles \(S_n = \sum_{k=N}^{n} u_k\) et \(T_n = \sum_{k=N}^{n} v_k\) sont croissantes à partir de ce rang. Supposons \(\sum v_n\) convergente. Comme \(v_k \ge 0\) pour \(k \ge n_0\), la queue \(V = \sum_{k=n_0}^{+\infty} v_k\) est un nombre fini. Pour \(n \ge n_0\), $$\begin{aligned} S_n &= S_{n_0 - 1} + \sum_{k=n_0}^{n} u_k && \text{(on coupe en } n_0 \text{)} \\
&\le S_{n_0 - 1} + \sum_{k=n_0}^{n} v_k && \text{(} u_k \le v_k \text{ pour } k \ge n_0 \text{)} \\
&\le S_{n_0 - 1} + V, && \text{(queue majorée par son total } V \text{)} \end{aligned}$$ donc \((S_n)\) est croissante et majorée, donc converge : \(\sum u_n\) converge. Le second point est la contraposée du premier. Enfin, si \(0 \le u_n \le v_n\) pour tout \(n \ge N\), alors \(S_n \le T_n\) pour tout \(n\), et le passage à la limite donne \(\sum_{n=N}^{+\infty} u_n \le \sum_{n=N}^{+\infty} v_n\).
Théorème — Les équivalents préservent la nature
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites avec \(u_n \sim v_n\), et supposons que \(u_n\) garde un signe constant à partir d'un certain rang (alors \(v_n\) aussi). Alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont la même nature.
Traitons d'abord le cas où \(u_n, v_n > 0\) à partir d'un certain rang. Comme \(u_n \sim v_n\), le rapport \(\frac{u_n}{v_n} \to 1\), donc à partir d'un certain rang \(\frac{1}{2} \le \frac{u_n}{v_n} \le \frac{3}{2}\), soit $$\tfrac{1}{2} v_n \le u_n \le \tfrac{3}{2} v_n.$$ Si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum \frac{3}{2} v_n\) converge, et \(u_n \le \frac{3}{2} v_n\) donne la convergence de \(\sum u_n\) par comparaison. Si \(\sum v_n\) diverge, alors \(\frac{1}{2} v_n \le u_n\) force \(\sum u_n\) à diverger par comparaison. Les deux séries ont donc la même nature. Si au contraire les termes sont négatifs à partir d'un certain rang, on applique le cas positif à \(-u_n \sim -v_n\) ; cela ne change la nature d'aucune des deux séries.
Méthode — Trouver la nature d'une série à termes positifs
Pour une série à termes positifs, deux réflexes. Comparaison : on majore \(u_n\) par le terme d'une série convergente connue (pour prouver la convergence) ou on le minore par le terme d'une série divergente connue (pour prouver la divergence). Équivalents : on remplace \(u_n\) par un équivalent plus simple \(v_n\) de même signe, puis on lit la nature de \(\sum v_n\). On utilise la comparaison quand une inégalité nette est visible, les équivalents quand \(u_n\) se simplifie asymptotiquement. Exemple
Montrer que \(\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2 + n + 1}\) converge.
Les termes sont positifs. On compare avec la série de référence télescopée de la section précédente : $$\begin{aligned} n^2 + n + 1 &\ge n^2 + n = n(n+1) > 0 && \text{(on enlève le } +1 \text{ en faveur du dénominateur)} \\
0 \le \frac{1}{n^2 + n + 1} &\le \frac{1}{n(n+1)}. && \text{(on inverse une plus grande quantité positive)} \end{aligned}$$ Comme \(\sum \frac{1}{n(n+1)}\) converge (somme totale \(1\)), le théorème de comparaison donne la convergence de \(\sum \frac{1}{n^2 + n + 1}\). Les deux termes généraux sont représentés ci-dessous : celui étudié reste sous celui de référence à chaque rang. 
Exemple
Montrer que \(\sum_{n \ge 1} \ln\!\left(1 + \frac{1}{n(n+1)}\right)\) converge.
Posons \(u_n = \ln\!\left(1 + \frac{1}{n(n+1)}\right)\). Les termes sont positifs, et \(\frac{1}{n(n+1)} \to 0\), donc en utilisant \(\ln(1 + x) \sim x\) quand \(x \to 0\), $$u_n = \ln\!\left(1 + \frac{1}{n(n+1)}\right) \sim \frac{1}{n(n+1)} > 0.$$ La série de référence \(\sum \frac{1}{n(n+1)}\) converge, et les deux termes sont des équivalents positifs, donc par le théorème des équivalents \(\sum u_n\) converge également.
Compétences à pratiquer
- Déterminer la nature d'une série positive
II.3
Convergence absolue
Les outils pour termes positifs ne s'appliquent pas lorsque le signe de \(u_n\) change. Une issue robuste est d'étudier la série des valeurs absolues \(\sum |u_n|\), qui est positive : si elle converge, la série initiale converge aussi. Cette condition suffisante — la convergence absolue — est la voie standard pour des termes de signe fluctuant.
Définition — Série absolument convergente
Une série \(\sum u_n\) est absolument convergente quand la série des valeurs absolues \(\sum |u_n|\) converge. Proposition — La convergence absolue implique la convergence
Si \(\sum u_n\) est absolument convergente, alors \(\sum u_n\) converge.
On définit les parties positive et négative \(u_n^{+} = \max(u_n, 0)\) et \(u_n^{-} = \max(-u_n, 0)\). Elles vérifient $$0 \le u_n^{+} \le |u_n|, \qquad 0 \le u_n^{-} \le |u_n|, \qquad u_n = u_n^{+} - u_n^{-}.$$ Comme \(\sum |u_n|\) converge, la comparaison des séries positives donne que \(\sum u_n^{+}\) et \(\sum u_n^{-}\) convergent toutes deux. Par la propriété de combinaison linéaire, \(\sum u_n = \sum (u_n^{+} - u_n^{-})\) converge comme différence de deux séries convergentes.
Théorème — Réordonner une série absolument convergente
Si \(\sum u_n\) est absolument convergente, alors sa somme totale ne dépend pas de l'ordre d'énumération de ses termes : les sommer dans n'importe quel autre ordre donne une série de même somme totale.
Ce résultat est admis ; sa démonstration dépasse le cadre de ce cours. C'est lui qui rend la convergence absolue si confortable dans les chapitres de probabilités, où l'on réarrange couramment les sommes.
La réciproque est fausse : une série convergente n'est pas nécessairement absolument convergente. Construire une telle série demande des termes de signe alterné et dépasse ce cours, on n'en exhibera donc pas. En pratique, pour prouver qu'une série de signe quelconque converge, on prouve qu'elle converge absolument.
Méthode — Traiter un terme de signe quelconque
Lorsque \(u_n\) change de signe (typiquement un facteur \(\cos n\), \(\sin n\) ou \((-1)^n\)), on n'applique pas les critères des séries positives à \(u_n\) directement. On majore plutôt \(|u_n|\) par le terme d'une série positive convergente connue ; si \(\sum |u_n|\) converge, alors \(\sum u_n\) converge absolument, donc converge. Compétences à pratiquer
- Démontrer la convergence par convergence absolue
III
Séries de référence
III.1
Séries de Riemann
Deux séries de référence ancrent toute comparaison : la série harmonique \(\sum \frac{1}{n}\), qui diverge, et \(\sum \frac{1}{n^2}\), qui converge. À partir d'elles on lit la nature de \(\sum \frac{1}{n^\alpha}\) pour les exposants retenus par le programme. Les sommes partielles de la série harmonique croissent sans borne, mais extrêmement lentement, ce qui explique que la divergence ne saute pas aux yeux sur quelques termes.
Proposition — La série harmonique diverge
La série \(\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n}\) diverge.
Notons \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\). On compare le bloc du rang \(n+1\) à \(2n\) avec son plus petit terme : $$\begin{aligned} S_{2n} - S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} &\ge \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n} && \text{(chaque } \tfrac{1}{k} \ge \tfrac{1}{2n} \text{ pour } k \le 2n \text{)} \\
&= n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}. && \text{(} n \text{ termes égaux)} \end{aligned}$$ Si \((S_n)\) convergeait vers une limite \(S\), alors \(S_{2n} - S_n \to S - S = 0\), contredisant \(S_{2n} - S_n \ge \frac{1}{2}\). Donc \((S_n)\) diverge ; étant croissante, elle tend vers \(+\infty\).
Proposition — La série des inverses des carrés converge
La série \(\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}\) converge.
Pour \(n \ge 2\), l'inégalité \(n^2 \ge n(n-1) > 0\) donne, par inversion, $$0 \le \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n(n-1)}.$$ La série \(\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n(n-1)}\) converge par télescopage, puisque \(\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\) donne des sommes partielles \(1 - \frac{1}{n} \to 1\). Par comparaison des séries positives, \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge.
Proposition — Séries de Riemann
Soit \(\alpha\) un réel. La série de Riemann \(\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^\alpha}\) converge lorsque \(\alpha \ge 2\) et diverge lorsque \(\alpha \le 1\).
Les termes sont positifs. Si \(\alpha \ge 2\), alors \(n^\alpha \ge n^2\) pour \(n \ge 1\), donc \(0 \le \frac{1}{n^\alpha} \le \frac{1}{n^2}\) ; comme \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge, la comparaison donne la convergence. Si \(\alpha \le 1\), alors \(n^\alpha \le n\), donc \(\frac{1}{n^\alpha} \ge \frac{1}{n} \ge 0\) ; comme \(\sum \frac{1}{n}\) diverge, la comparaison donne la divergence. Le cas restant \(1 < \alpha < 2\) dépasse le cadre de ce cours.
Exemple
Déterminer la nature de \(\sum_{n \ge 1}\left(\mathrm{e}^{2/n^2} - 1\right)\).
Posons \(u_n = \mathrm{e}^{2/n^2} - 1\). Comme \(\frac{2}{n^2} \to 0\) et \(\mathrm{e}^{x} - 1 \sim x\) quand \(x \to 0\), $$u_n = \mathrm{e}^{2/n^2} - 1 \sim \frac{2}{n^2} > 0.$$ La série \(\sum \frac{2}{n^2} = 2 \sum \frac{1}{n^2}\) converge (combinaison linéaire d'une série convergente). Les termes \(u_n\) sont positifs et équivalents à ceux d'une série convergente, donc \(\sum u_n\) converge par le théorème des équivalents.
Compétences à pratiquer
- Utiliser les séries de Riemann de référence
III.2
Séries géométrique et dérivées
La série géométrique est la série convergente la plus utile, et « dériver » sa forme close (un moyen mnémotechnique, non un théorème sur les séries) produit deux compagnes dont on note aussi les sommes. Les trois convergent sous la même condition \(|q| < 1\), et leurs sommes totales sont explicites. L'indice de départ compte pour la valeur de la somme, on énonce donc chacune avec sa borne inférieure précise.
Théorème — Série géométrique
Soit \(q\) un réel. La série géométrique \(\sum_{n \ge 0} q^n\) converge si et seulement si \(|q| < 1\), et alors $$\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}.$$
Si \(|q| \ge 1\), alors \(|q^n| \ge 1\), donc \(q^n\) ne tend pas vers \(0\) et la série diverge grossièrement. Si \(|q| < 1\), la somme partielle a la forme close $$\begin{aligned} S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k &= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} && \text{(formule de la somme géométrique)} \\
&\to \frac{1}{1 - q}, && \text{(} q^{n+1} \to 0 \text{ car } |q| < 1 \text{)} \end{aligned}$$ ce qui donne à la fois la convergence et la somme totale.
Théorème — Série géométrique dérivée
Soit \(q\) un réel. La série \(\sum_{n \ge 1} n\, q^{n-1}\) converge si et seulement si \(|q| < 1\), et alors $$\sum_{n=1}^{+\infty} n\, q^{n-1} = \frac{1}{(1 - q)^2}.$$
Si \(|q| \ge 1\), alors \(n|q|^{n-1} \ge 1\) ne tend pas vers \(0\), donc la série diverge grossièrement. Supposons \(|q| < 1\) et posons \(S_n' = \sum_{k=1}^{n} k\, q^{k-1}\). On multiplie par \(1 - q\) et on réindexe la seconde somme : $$\begin{aligned} (1 - q) S_n' &= \sum_{k=1}^{n} k\, q^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} k\, q^{k} && \text{(on développe le produit)} \\
&= \sum_{k=1}^{n} k\, q^{k-1} - \sum_{k=2}^{n+1} (k-1)\, q^{k-1} && \text{(on décale l'indice dans la seconde somme)} \\
&= \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} - n\, q^{n} && \text{(} k - (k-1) = 1 \text{; terme de bord } -n q^n \text{)} \\
&= \frac{1 - q^{n}}{1 - q} - n\, q^{n}. && \text{(somme géométrique)} \end{aligned}$$ Quand \(n \to +\infty\), \(q^n \to 0\) et \(n\, q^n \to 0\) par croissances comparées (la géométrique l'emporte sur la polynomiale, rappelé de Suites). Ainsi \((1-q) S_n' \to \frac{1}{1-q}\), donc \(S_n' \to \frac{1}{(1-q)^2}\).
Proposition — Série dérivée seconde
Soit \(q\) un réel. La série \(\sum_{n \ge 2} n(n-1)\, q^{n-2}\) converge si et seulement si \(|q| < 1\), et alors $$\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)\, q^{n-2} = \frac{2}{(1 - q)^3}.$$
Si \(|q| \ge 1\), alors \(n(n-1)|q|^{n-2} \ge 2\) pour \(n \ge 2\), donc le terme ne tend pas vers \(0\) et la série diverge grossièrement. Supposons \(|q| < 1\) et posons \(S_n'' = \sum_{k=2}^{n} k(k-1)\, q^{k-2}\). On multiplie par \(1 - q\) et on réindexe la seconde somme, exactement comme pour la série dérivée : $$\begin{aligned} (1 - q) S_n'' &= \sum_{k=2}^{n} k(k-1)\, q^{k-2} - \sum_{k=3}^{n+1} (k-1)(k-2)\, q^{k-2} && \text{(on décale l'indice dans la seconde somme)} \\
&= 2 \sum_{k=2}^{n} (k-1)\, q^{k-2} - n(n-1)\, q^{n-1} && \text{(} k(k-1) - (k-1)(k-2) = 2(k-1) \text{)} \\
&= 2\, S_{n-1}' - n(n-1)\, q^{n-1}. && \text{(reindexation } j = k-1 \text{)} \end{aligned}$$ Ici, après la reindexation \(j = k-1\), \(S_{n-1}' = \sum_{j=1}^{n-1} j\, q^{j-1}\) est la somme partielle de la série dérivée, qui tend vers \(\frac{1}{(1-q)^2}\). Comme \(n(n-1)\, q^{n-1} \to 0\) par croissances comparées, \((1-q) S_n'' \to \frac{2}{(1-q)^2}\), donc \(S_n'' \to \frac{2}{(1-q)^3}\).
Méthode — Reconnaître et sommer une série géométrique ou dérivée
On identifie la raison \(q\) et on vérifie \(|q| < 1\) pour la convergence. On reconnaît le terme général parmi les trois motifs \(q^n\), \(n q^{n-1}\), \(n(n-1) q^{n-2}\), en ajustant l'indice de départ par mise en facteur de puissances de \(q\) si besoin, puis on applique la somme close correspondante \(\frac{1}{1-q}\), \(\frac{1}{(1-q)^2}\), \(\frac{2}{(1-q)^3}\). Exemple
Calculer \(\sum_{n \ge 1} \frac{n}{2^n}\).
On factorise pour faire apparaître une série géométrique dérivée de raison \(q = \frac{1}{2}\) : $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n} &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} n \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1} && \text{(on factorise } \tfrac{1}{2} \text{ pour exposer } q^{n-1} \text{)} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(1 - \tfrac{1}{2}\right)^2} && \text{(série dérivée de raison } q = \tfrac{1}{2} \text{)} \\
&= \frac{1}{2} \cdot 4 = 2. \end{aligned}$$ La série converge (car \(\left|\tfrac{1}{2}\right| < 1\)) de somme totale \(2\).
Compétences à pratiquer
- Sommer séries géométrique et dérivées
III.3
La série exponentielle
Une dernière série de référence relie les factorielles à l'exponentielle : sommer \(\frac{x^n}{n!}\) sur tous les \(n\) reproduit \(\mathrm{e}^x\). C'est la série qui donne à l'exponentielle son sens analytique, et elle converge pour tout réel \(x\).
Proposition — Série exponentielle
Pour tout réel \(x\), la série \(\sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{n!}\) converge, et $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = \mathrm{e}^{x}.$$
Ce résultat est admis : la démonstration est hors programme. Il vaut la peine d'être mémorisé dans les cas particuliers \(x = 1\) et \(x = 2\) ci-dessous.
Exemple
Pour \(x = 1\) on obtient \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = \mathrm{e}\), et pour \(x = 2\) on obtient \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!} = \mathrm{e}^{2}\). Ces deux valeurs reviennent constamment dans les chapitres de probabilités, à travers la loi de Poisson.
Pour aller plus loin
Les séries reviendront tout au long de l'année. Les intégrales généralisées en sont l'analogue continu : les critères de convergence là-bas — comparaison et équivalents pour les fonctions positives — reflètent exactement ceux construits ici. En probabilités, l'espérance d'une variable aléatoire discrète est la somme totale d'une série absolument convergente, et la loi de Poisson se construit directement sur la série exponentielle. Les séries géométrique et dérivée réapparaissent dans le calcul de l'espérance et de la variance de la loi géométrique.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la série exponentielle
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