Deux équipes qui s'annulent : analyse didactique d'une progression d'enseignement des nombres relatifs
Article en anglais : Two teams that cancel: a didactic analysis of a teaching progression for signed numbers from Grade 5 to Grade 7
Vincent Tariel-Adam · prépublication [math.HO] · 29 octobre 2026 · CC BY 4.0
En attendant arXiv : la version préparée pour son dépôt. Son identifiant arXiv paraîtra sur cette page.
Résumé
Les nombres relatifs obligent les élèves à réviser ce que signifiaient l'addition, la soustraction et le signe moins pour les nombres entiers. Cet article présente les choix de conception et une analyse critique d'une progression source en trois niveaux sur les nombres relatifs (niveaux 5 à 7, âges nominaux de 10 à 13 ans), à partir de laquelle sont assemblés les chapitres du programme français et du Baccalauréat International publiés sur https://commeunjeu.org. Une seule représentation est présentée d'abord et reprise tout au long : un entier se dessine comme une collection d'unités positives et négatives, une unité positive et une unité négative formant une paire nulle qui ne laisse rien. Un entier a donc plusieurs dessins, ce qui rend visible la construction des entiers relatifs comme classes de couples d'entiers naturels. L'hypothèse de conception est que le geste que les élèves font avec les unités, insérer un zéro sous la forme a + (-a), est commun à la soustraction d'un nombre négatif, aux exemples qui accompagnent le programme français de 2026 et à l'obtention du signe d'un produit de deux négatifs par la distributivité ; la progression ne modélise pas ce produit, elle le déduit de la paire nulle, une déduction qui ne vaut que si l'on garde la distributivité. La droite graduée porte la position, l'ordre et la distance ; les situations fournissent des applications. Ces choix sont rapportés aux obstacles épistémologiques décrits par Glaeser, à des études des modèles de jetons et de droite graduée, dont une comparaison en classe où un modèle de déplacement a donné de meilleurs résultats que les jetons, immédiatement et cinq semaines plus tard, et aux programmes français et de l'IB. Un audit bloc par bloc des documents sources datés a trouvé la représentation absente du premier niveau, aucun exercice demandant aux élèves de dessiner, et la soustraction décisive jamais dessinée ; les révisions faites après l'audit sont consignées. Aucune évaluation empirique n'est rapportée ; des hypothèses pour en mener une sont formulées.
Mots-clés : nombres relatifs ; entiers relatifs ; nombres négatifs ; paire nulle ; modèle des jetons ; droite graduée ; règle des signes ; didactique des mathématiques ; conception de programme
Pour la classe
Le guide Comment enseigner les nombres relatifs tire de l'article ce qui sert en classe : quoi montrer, quels exercices donner, quelles erreurs surveiller.
Les chapitres étudiés
L'article analyse la progression d'où sont tirés ces chapitres du programme français :
Citer l'article
Tariel-Adam, V. (2026). Two teams that cancel: a didactic analysis of a teaching progression for signed numbers from Grade 5 to Grade 7. Preprint. https://commeunjeu.org/enseignants/nombres-relatifs-article/
@misc{tarieladam2026signed,
author = {Tariel-Adam, Vincent},
title = {Two teams that cancel: a didactic analysis of a teaching progression for signed numbers from Grade 5 to Grade 7},
year = {2026},
note = {Preprint},
url = {https://commeunjeu.org/enseignants/nombres-relatifs-article/}
}