Comment enseigner les nombres relatifs

Ce guide s'adresse aux enseignants qui utilisent CommeUnJeu avec une classe de 5e ou de 4e. Un seul dessin porte tout le parcours : un nombre relatif est une équipe d'unités, positives ou négatives, et une unité positive et une unité négative s'annulent : ensemble, elles forment une paire nulle. Le guide montre ce dessin tel que les cours le montrent, le suit classe par classe avec les figures et les vidéos des chapitres, et dit où il s'arrête. Dans chaque chapitre, vous trouvez :

• des sections qui s'ouvrent le plus souvent sur une courte vidéo, en français et en anglais (le guide les reprend aussi, en tête des passages qu'elles concernent) ;
• le cours : définitions, méthodes et exemples rédigés, à projeter ou à imprimer (le PDF du cours et celui des corrections sont en haut de la page du chapitre) ;
• sous chaque section, les compétences à pratiquer : des groupes d'exercices corrigés aussitôt, chaque réponse suivie de sa correction rédigée ;
• certains exercices se rédigent sur papier ou à l'ardoise : l'élève dessine les unités, puis écrit le calcul, et envoie la photo de sa copie pour la faire corriger.

Concret. Les chapitres s'ouvrent sur un monde de particules : des positives et des négatives, chacune représentant une unité. En classe, les élèves les dessinent : des petits ronds avec un plus pour les unités positives, des petits ronds avec un moins pour les unités négatives. Des particules du même type unissent leurs forces ; une particule positive et une particule négative s'annulent et ne laissent rien : c'est une paire nulle. Imagé. Le signe écrit devant un nombre indique le type d'unités que contient le groupe, une fois toutes les paires nulles annulées. Chaque rencontre se dessine comme une égalité entre dessins, et le calcul s'écrit sous le dessin, chaque nombre sous son groupe : trois positives rencontrent une négative, une paire nulle disparaît (l'éclat), il reste deux positives. Abstrait. La définition suit : les entiers relatifs sont les entiers naturels et leurs opposés. Deux entiers sont opposés si, dessinés sans paire nulle, ils ont le même nombre d'unités avec des signes contraires : réunis, ils ne laissent rien, et \((+2)+(-2)=0\). Zéro est à la fois positif et négatif ; il n'est ni strictement positif ni strictement négatif, et il est son propre opposé. Il se dessine sans aucune unité, ou avec des paires nulles seulement. L'idée clé de tout le parcours : un nombre a plusieurs dessins. Trois positives et une négative font \(+2\), exactement comme deux positives ; ajouter une paire nulle à un dessin ne change pas le nombre. Demandez-le dès la première leçon (dessiner \(-2\) de deux façons, dessiner \(0\) de deux façons) : la soustraction d'un nombre négatif, puis la règle des signes du produit, reposent dessus.

Pour additionner, on réunit les unités des deux nombres, on écarte les paires nulles (les cours dessinent chacune par un éclat), et on compte ce qui reste. Donc \((+1)+(-2)=-1\). Les règles se lisent ensuite sur les dessins et se disent avec la distance à zéro, pour qu'elles marchent encore quand on ne dessine plus les unités : deux nombres de même signe, on ajoute les distances à zéro et on garde le signe ; deux nombres de signes contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance ; si les distances à zéro sont égales, la somme est nulle. $$\textcolor{colorprop}{(-2)}+\textcolor{colordef}{(+5)}=\textcolor{colordef}{+3} \quad \text{car }5-2=3$$

Pour soustraire, on retire les unités : les cours barrent les unités retirées. Le problème d'ouverture compare \((+3)-(+2)\) et \((+3)+(-2)\) : les deux opérations laissent les mêmes unités. Le cas décisif est \((+4)-(-2)\) : il n'y a pas d'unité négative à retirer. On insère d'abord deux paires nulles (encadrées dans le cours) : elles ne laissent rien, donc le nombre est toujours \(+4\), et l'on peut maintenant retirer deux unités négatives. Il reste six unités positives. Écrit avec des nombres, le zéro inséré est \((+2)+(-2)\) : $$(+4)-(-2)=(+4)+(+2)+(-2)-(-2)=(+4)+(+2)=+6.$$ C'est le geste des exemples qui accompagnent le programme de 2026, avec un décimal : \(3{,}1-(-2)=3{,}1+2+(-2)-(-2)=5{,}1\). Retirer \((-2)\) a donné le même résultat qu'ajouter \((+2)\) : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé, même quand il n'y a rien à retirer. C'est le geste à faire faire à la main, parce qu'il revient pour le produit de deux nombres négatifs.

Un entier naturel fois un nombre relatif est une addition répétée d'équipes : Un produit comme \((-3)\times(-2)\) n'est pas une répétition : « \(-3\) fois » ne veut rien dire. On ne demande pas aux unités de le montrer. Le cours prend la paire nulle \((+3)+(-3)=0\) et dit ce qu'il veut : que la distributivité reste vraie avec les nombres relatifs. $$\begin{aligned} \bigl((+3)+(-3)\bigr)\times(-2)&=0\\ (+3)\times(-2)+(-3)\times(-2)&=0\\ -6+(-3)\times(-2)&=0\\ (-3)\times(-2)&=+6 \end{aligned}$$ Le nombre qui, ajouté à \(-6\), donne \(0\) est l'opposé de \(-6\) : un négatif multiplié par un négatif donne un positif, et c'est le seul signe qui garde la distributivité vraie. Dites-le ainsi en classe : la règle ne se découvre pas sur un dessin, elle est imposée par la décision de garder les lois du calcul. Le zéro est le même que dans la soustraction : on l'ajoute à un nombre pour soustraire, on le multiplie pour trouver le produit.

Chaque chapitre reprend le dessin où l'année précédente l'a laissé, puis va un pas plus loin. Le tableau donne ce pas et le lien vers le chapitre.

Classe	Chapitre	Ce qui est nouveau
5e	Nombres relatifs	les unités et la paire nulle ; signe et opposé ; les nombres négatifs en situation ; la droite graduée et la distance à zéro ; comparer et ranger ; additionner ; soustraire, avec le cas décisif ; les décimaux relatifs ; enchaîner additions et soustractions
4e	Nombres relatifs : multiplication et division	la 5e reprise ; multiplier, par la distributivité ; diviser ; les décimaux ; enchaîner les opérations ; nommer une expression ; la calculatrice

Les situations viennent après les unités : un thermomètre, un plongeur, un parking. C'est là qu'on rencontre les nombres négatifs. Une température de \(-4\,^\circ\)C est une position, quatre degrés en dessous de zéro, et non une baisse de quatre degrés ; chaque pas de l'échelle est une unité. La méthode « lire un nombre relatif dans une situation » l'écrit dans un tableau, avec une ligne d'unités sous les lignes de situations.

situation	zéro	\(3\) au-dessus de zéro	\(3\) en dessous de zéro
température	\(0\,^\circ\)C	\(\textcolor{colordef}{3}\,^\circ\)C	\(\textcolor{colorprop}{-3}\,^\circ\)C
altitude	niveau de la mer	\(\textcolor{colordef}{3}\) m	\(\textcolor{colorprop}{-3}\) m
immeuble	rez-de-chaussée	niveau \(\textcolor{colordef}{3}\)	niveau \(\textcolor{colorprop}{-3}\)
unités	aucune unité

Les unités ne montrent pas que \(-5<-2\) : la droite graduée, si. Avec un pas de \(1\), le nombre de pas à partir de zéro est le nombre d'unités ; la distance à zéro est le nombre d'unités qui restent quand on a annulé toutes les paires nulles. On compare sur la droite : de deux nombres négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand. Gardez l'ordre sur la droite et ne laissez pas les élèves comparer des collections d'unités (« plus d'unités négatives » ne veut pas dire « plus grand »).

Tout nombre, entier ou décimal, peut être un nombre relatif, et tout ce qui a été construit pour les entiers relatifs s'applique sans changement : opposé, distance à zéro, comparaison, addition et soustraction. Seul le dessin change : on ne dessine plus les unités ; on garde les règles trouvées avec elles, dites avec la distance à zéro. La droite graduée reste utilisable, avec des subdivisions. Dites aux élèves que le dessin a fait son travail : on ne l'abandonne pas parce qu'il était faux, mais parce que les règles tiennent maintenant toutes seules.

Les deux équipes reviennent au niveau d'un calcul : dans une somme, on regroupe les positifs, puis les négatifs, et on les fait se rencontrer. $$(+16) + (-11) + (+4) + (-9) = (16 + 4) + (-11 - 9) = (+20) + (-20) = 0.$$

En 4e, la règle des signes est démontrée par la distributivité, avec la paire nulle (voir « Le même zéro pour le produit de deux négatifs »). La vidéo de régularité ci-dessus n'est pas dans le chapitre de 4e ; elle peut servir de complément : le premier facteur baisse de \(1\) à chaque ligne, et le produit monte de \(2\), ce qui suggère \((-1)\times(-2)=+2\). Rappelez qu'une régularité suggère une règle, elle ne la démontre pas. La division se lit ensuite sur la multiplication, son opération inverse, le diviseur étant non nul : puisque \((-3)\times(-2)=+6\), \((+6)\div(-3)=-2\). Pour un produit de plusieurs facteurs, le signe ne dépend que du nombre de facteurs négatifs : pair, le produit est positif ; impair, il est négatif ; cette règle de parité suppose tous les facteurs non nuls, sinon le produit est nul. Attention aux puissances : sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur \(3\), \(-3^2=-9\), alors que \((-3)^2=9\).

Les dernières sections ne dessinent plus : l'ordre des opérations avec des nombres relatifs, le vocabulaire des expressions (somme, différence, produit, quotient) et la calculatrice. Sur la calculatrice, dans un produit ou un quotient tapé avec les touches \(\times\) et \(\div\), les parenthèses autour d'un seul nombre négatif sont inutiles, car la touche de signe rend le nombre négatif ; partout ailleurs, on les garde.

Tout calcul avec les unités se fait en deux temps. D'abord le dessin, comme une égalité entre dessins, ligne sous ligne ; ensuite le calcul avec les nombres, sous le dessin. Voici l'ordre à suivre en classe, avec \((-3)+(+2)\) :

1. dessiner trois petits ronds avec un moins, puis deux petits ronds avec un plus ;
2. entourer chaque paire nulle : sur papier, le rond entouré est l'éclat des cours ;
3. compter ce qui reste : une unité négative ;
4. écrire le calcul : \((-3)+(+2)=-1\).

Dans une soustraction, une unité retirée se barre, elle ne s'entoure jamais : les deux gestes se rencontrent dans le même dessin dès qu'on insère des paires nulles, et une photo doit les distinguer. Les exercices rédigés demandent exactement cela : dessiner les unités de chaque nombre, entourer les paires nulles, barrer les unités retirées, puis écrire la suite d'égalités. Ils se corrigent sur la photo de la copie ou à l'ardoise. Leurs critères acceptent toute disposition, et un dessin d'une seule couleur si chaque signe est lisible ; ils pénalisent les paires formées de deux unités de même signe, les unités retirées qui n'ont jamais été dessinées, et les paires qui changent le nombre de départ. Les corrigés dessinent les paires comme les cours, par des éclats, comme dans la figure ci-dessus.

« Moins et moins donnent plus », appliqué à l'addition : \((-5)+(-3)=+8\). Le dessin n'a aucune paire à écarter : huit unités négatives, \(-8\). Ajouter, c'est toujours agrandir. C'est le signe du nombre ajouté qui décide, pas l'opération : \((+2)+(-6)=-4\), plus petit que \(+2\). Retirer plus qu'on n'a : \((+2)-(+5)\) jugé impossible, ou lu \(3\). On insère au moins trois paires nulles, puis on retire cinq unités positives : il reste trois unités négatives, \((+2)-(+5)=-3\). Comparer des négatifs comme des entiers naturels : \(-5>-2\). Revenir à la droite : \(-5\) est plus à gauche, donc plus petit. Deux signes côte à côte : \(3+-5\). Pour distinguer l'opération du signe du nombre, on écrit \(3+(-5)\), puis on simplifie en \(3-5\). Tout signe moins lu « négatif ». Le signe moins a trois sens : le signe d'un nombre, la soustraction, l'opposé. \(-a\) n'est pas toujours négatif : si \(a=-3\), alors \(-a=3\). Le carré d'un nombre négatif : \(-3^2\) lu comme \((-3)^2\). Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur \(3\) : \(-3^2=-9\), alors que \((-3)^2=9\). Une température lue comme une variation : \(-4\,^\circ\)C lu « elle a baissé de \(4\) ». C'est une position, quatre degrés en dessous de zéro ; les variations viennent ensuite, comme des différences entre deux positions. Une procédure sans signification : insérer des paires nulles parce qu'on l'a dit. Demander pourquoi le nombre ne change pas, et demander une prévision sans dessiner (voir la tâche décortiquée ci-dessous).

L'exercice rédigé demande : calculer deux fois \((+4)-(-2)\) avec des unités, d'abord en ajoutant deux paires nulles, puis trois ; barrer les unités retirées et entourer les paires nulles qui restent ; expliquer pourquoi le nombre de départ reste \(+4\) et pourquoi les deux calculs donnent le même résultat ; vérifier en ajoutant \((-2)\) au résultat ; sans dessiner, prévoir le résultat avec quatre paires nulles, et justifier. Avec deux paires, le dessin est celui du cours : Avec trois paires, on dessine sept unités positives et trois unités négatives ; une fois les deux unités négatives barrées, il reste une paire nulle, qui ne laisse rien : encore \(+6\). Ce qu'on peut attendre sur les photos :

• deux unités retirées de quatre unités positives, le signe oublié : \(+2\) ; l'élève n'a inséré aucune paire ;
• les paires insérées, les unités négatives barrées, \(+6\) : la stratégie enseignée ;
• « moins moins donne plus » et \(+6\) sans dessin : le résultat est juste, l'explication manque ;
• la prévision avec quatre paires : demander une justification sans nouveau dessin, et accepter toute formulation expliquant que les paires ajoutées ont une somme nulle.

La vérification \((+6)+(-2)=+4\) redonne le nombre de départ. Une prévision juste ne prouve pas à elle seule que l'élève a compris pourquoi le nombre ne change pas : écoutez la justification.

• Dessiner avant toute règle. Petits nombres, petits ronds : les élèves dessinent, barrent, entourent, puis écrivent. Les règles avec la distance à zéro viennent après, lues sur les dessins.
• Demander plusieurs dessins d'un même nombre, zéro compris, dès la première leçon : c'est l'idée dont la soustraction a besoin.
• Faire du cas décisif le centre de la leçon sur la soustraction : \((+4)-(-2)\), avec deux paires, puis trois.
• Garder l'ordre sur la droite et les situations pour les positions ; ne pas comparer des collections d'unités.
• Arrêter de dessiner au bon moment : avec les décimaux et les longs calculs, les règles portent le travail ; le dire aux élèves.
• Pour le produit de deux négatifs, dire ce qu'on choisit : on garde la distributivité, et le signe s'en déduit.

La difficulté du produit de deux négatifs a une longue histoire. Les synthèses de l'étude de Georges Glaeser sur la règle des signes (Recherches en didactique des mathématiques, 1981) relèvent, parmi d'autres obstacles, le désir d'étendre à la multiplication un modèle fait pour l'addition, où il ne s'applique pas. L'article de l'IREM d'Aquitaine Enseigner les nombres relatifs au collège (Repères-IREM n\textsuperscript{o} 73, 2008) en donne un exemple de classe : un élève maintient que \((-3)\times(-5)=-15\), parce que « descendre de \(5\), trois fois » mène à \(-15\) ; les auteurs concluent qu'une image forte de montée et de descente devient un obstacle à la multiplication. La ressource d'accompagnement du cycle 4 de 2016 sur les nombres relatifs met en garde contre un modèle unique et justifie la règle des signes par la distributivité ; les exemples qui accompagnent le programme de 2026 suivent la même route, en nombres. Une comparaison en classe de Julie Nurnberger-Haag (2015) a obtenu de meilleurs résultats avec un modèle de déplacements sur la droite qu'avec des jetons, notamment sur un ensemble de soustractions et de multiplications qui demandent d'insérer des paires nulles. Cette comparaison n'évalue pas le dispositif de ce guide ; demander aux élèves d'expliquer le geste, et pas seulement de l'exécuter, est une recommandation, non un résultat de cette étude.