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Équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 49 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Équations différentielles linéaires

Les équations différentielles linéaires d'ordres $1$ et $2$ rencontrées en première année, avec leurs recettes à coefficients constants, se poursuivent ici par l'étude de l'équation d'ordre 2 $y'' + a(t)\, y' + b(t)\, y = c(t)$ à coefficients continus variables $a, b, c$ sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$. Le chapitre est court et ciblé : énoncer le théorème de Cauchy linéaire (existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy sur $I$ tout entier), décrire l'ensemble des solutions — une solution particulière plus le $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension deux des solutions homogènes, le principe de superposition reliant les deux — et terminer sur les deux outils pratiques de résolution prévus à ce niveau, tous deux guidés par des indications : la réduction de l'ordre à partir d'une solution homogène connue ne s'annulant pas, et la recherche de solutions sous forme de série entière. Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point.

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I L'équation différentielle scalaire linéaire d'ordre 2

On fixe une fois pour toutes l'objet d'étude et son vocabulaire. En divisant par le coefficient dominant (supposé ne pas s'annuler), on peut toujours supposer que le coefficient de $y''$ vaut $1$ — la forme normalisée ci-dessous.

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Définition — Équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2

Soit $a, b, c \colon I \to \mathbb{K}$ continues. L'équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 normalisée est $$ (E) \colon \quad y'' + a(t)\, y' + b(t)\, y = c(t). $$ Une solution sur $I$ est une fonction $y \colon I \to \mathbb{K}$ de classe $\mathcal{C}^2$ (les dérivées sont prises d'un seul côté en une extrémité de $I$) telle que $y''(t) + a(t)\, y'(t) + b(t)\, y(t) = c(t)$ pour tout $t \in I$. La fonction $c$ est le second membre ; l'équation $$ (E_0) \colon \quad y'' + a(t)\, y' + b(t)\, y = 0 $$ obtenue lorsque $c$ est identiquement nulle est l'équation homogène associée, et $(E)$ est dite complète (ou avec second membre) par opposition à $(E_0)$.

Exemple — Lire les coefficients

Pour $t\, y'' + y' + t\, y = 1$ sur $I = \,]0, +\infty[$, le coefficient dominant $t$ ne s'annule pas sur $I$, donc la division par $t$ donne la forme normalisée $y'' + \tfrac{1}{t}\, y' + y = \tfrac{1}{t}$, avec $a(t) = \tfrac1t$, $b(t) = 1$, $c(t) = \tfrac1t$, toutes continues sur $I$. L'équation homogène est $y'' + \tfrac1t y' + y = 0$.

Compétences à pratiquer

Identifier l'équation et sa forme normalisée

II Le théorème de Cauchy linéaire

Théorème — Théorème de Cauchy linéaire

Soit $a, b, c \colon I \to \mathbb{K}$ continues, $t_0 \in I$ et $(y_0, y_1) \in \mathbb{K}^2$. Le problème de Cauchy $$ \begin{cases} y'' + a(t)\, y' + b(t)\, y = c(t), \\ y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = y_1, \end{cases} $$ admet une et une seule solution, et cette solution est définie sur l'intervalle $I$ tout entier.

La démonstration est hors programme et le théorème est admis à ce niveau. Deux points méritent d'être soulignés. D'abord, la solution est globale : elle vit sur $I$ tout entier, sans intervalle maximal plus petit à surveiller — une particularité du cas linéaire (une équation non linéaire générale peut avoir des solutions qui explosent avant d'atteindre les extrémités de $I$). Ensuite, une solution est déterminée par exactement deux données scalaires, la valeur $y(t_0)$ et la dérivée $y'(t_0)$ ; ces « deux degrés de liberté » sont le germe du résultat de dimension $2$ de la section suivante.

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Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Cauchy linéaire

III Structure de l'ensemble des solutions

III.1 Structure affine : une solution particulière plus les solutions homogènes

Notons $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation complète $(E)$ sur $I$, et $\mathcal{S}_0$ l'ensemble des solutions de l'équation homogène $(E_0)$. La linéarité de l'opérateur $y \mapsto y'' + a y' + b y$ donne aussitôt la structure.

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Proposition — Structure affine de l'ensemble des solutions

Par le théorème de Cauchy linéaire $(E)$ admet toujours des solutions sur $I$ ; fixons-en une, $y_p$ (une solution particulière). Alors l'ensemble des solutions de $(E)$ est $$ \mathcal{S} = y_p + \mathcal{S}_0 = \{\, y_p + y_h \ : \ y_h \in \mathcal{S}_0 \,\}. $$ Autrement dit : la solution générale de l'équation complète est une solution particulière plus la solution générale de l'équation homogène.

Preuve

Posons $L(y) = y'' + a y' + b y$ ; cette application est $\mathbb{K}$-linéaire en $y$. Si $y \in \mathcal{S}$ alors $L(y - y_p) = L(y) - L(y_p) = c - c = 0$, donc $y - y_p \in \mathcal{S}_0$ et $y = y_p + (y - y_p) \in y_p + \mathcal{S}_0$. Réciproquement, pour $y_h \in \mathcal{S}_0$, $L(y_p + y_h) = L(y_p) + L(y_h) = c + 0 = c$, donc $y_p + y_h \in \mathcal{S}$.

Proposition — Principe de superposition

Soit $L(y) = y'' + a y' + b y$ et soit $c_1, c_2 \colon I \to \mathbb{K}$ continues. Si $y_1$ est solution sur $I$ de $L(y) = c_1$ et $y_2$ solution de $L(y) = c_2$, alors pour tous scalaires $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ la fonction $\alpha\, y_1 + \beta\, y_2$ est solution de $$ L(y) = \alpha\, c_1 + \beta\, c_2. $$ En particulier, lorsque le second membre $c$ se décompose en une somme $c = c_1 + c_2 + \dots + c_p$, on obtient une solution particulière de $(E)$ en sommant une solution particulière de $L(y) = c_k$ pour chaque $k$.

Preuve

L'opérateur $L \colon y \mapsto y'' + a y' + b y$ est $\mathbb{K}$-linéaire. Donc, à partir de $L(y_1) = c_1$ et $L(y_2) = c_2$, $$ L(\alpha\, y_1 + \beta\, y_2) = \alpha\, L(y_1) + \beta\, L(y_2) = \alpha\, c_1 + \beta\, c_2. $$ L'énoncé de « décomposition » est le cas où chaque morceau porte le coefficient $1$, appliqué de proche en proche.

Exemple — Décomposer un second membre à deux termes

Le principe de superposition vaut pour des coefficients continus quelconques ; on l'illustre ici sur le cas le plus simple, une équation à coefficients constants dont les morceaux se résolvent aussitôt. Résoudre $y'' - y = \mathrm{e}^{2t} + 4$ sur $\mathbb{R}$ par superposition, en décomposant le second membre en $c_1(t) = \mathrm{e}^{2t}$ et $c_2(t) = 4$.

Pour $y'' - y = \mathrm{e}^{2t}$, essayer $y_1 = \gamma\, \mathrm{e}^{2t}$ : alors $y_1'' - y_1 = (4\gamma - \gamma)\mathrm{e}^{2t} = 3\gamma\, \mathrm{e}^{2t}$, donc $\gamma = \tfrac13$ et $y_1 = \tfrac13\, \mathrm{e}^{2t}$.
Pour $y'' - y = 4$, essayer une constante $y_2 = k$ : alors $-k = 4$, donc $y_2 = -4$.

Par superposition $y_p = y_1 + y_2 = \tfrac13\, \mathrm{e}^{2t} - 4$ résout l'équation complète, et la solution générale est $y = \tfrac13\, \mathrm{e}^{2t} - 4 + \lambda\, \mathrm{e}^{t} + \mu\, \mathrm{e}^{-t}$.

Exemple — Lire la structure sur une équation à coefficients constants

Pour $y'' + y = 1$ sur $\mathbb{R}$, la constante $y_p = 1$ est une solution particulière et l'équation homogène $y'' + y = 0$ a pour solutions $y_h = \lambda \cos t + \mu \sin t$. La solution générale est donc $y = 1 + \lambda \cos t + \mu \sin t$, avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ pour les solutions réelles (prendre $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ pour les solutions à valeurs complexes).

Compétences à pratiquer

Décomposer la solution générale en une particulière plus une homogène
Appliquer le principe de superposition

III.2 L'espace vectoriel des solutions homogènes

Théorème — Dimension de l'espace des solutions homogènes

L'ensemble $\mathcal{S}_0$ des solutions sur $I$ de l'équation homogène $(E_0)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^2(I, \mathbb{K})$ de dimension exactement $2$. Plus précisément, pour tout $t_0 \in I$ fixé l'application d'évaluation $$ \varphi \colon \mathcal{S}_0 \longrightarrow \mathbb{K}^2, \qquad y \longmapsto \bigl(y(t_0),\, y'(t_0)\bigr) $$ est un isomorphisme de $\mathbb{K}$-espaces vectoriels.

Preuve

$\mathcal{S}_0$ est le noyau de l'application linéaire $L \colon y \mapsto y'' + a y' + b y$, donc un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^2(I, \mathbb{K})$. L'application $\varphi$ est linéaire (l'évaluation et la dérivation le sont). Elle est injective : si $\varphi(y) = (0, 0)$ alors $y$ résout le problème de Cauchy de données $y(t_0) = 0$, $y'(t_0) = 0$ ; la fonction nulle en est une solution, donc par unicité dans le théorème de Cauchy linéaire $y = 0$. Elle est surjective : étant donné $(y_0, y_1) \in \mathbb{K}^2$, la partie existence du même théorème fournit une solution $y \in \mathcal{S}_0$ avec $\varphi(y) = (y_0, y_1)$. Ainsi $\varphi$ est un isomorphisme et $\dim \mathcal{S}_0 = \dim \mathbb{K}^2 = 2$.

Définition — Système fondamental et wronskien

Un système fondamental de solutions de $(E_0)$ est une base $(y_1, y_2)$ de $\mathcal{S}_0$ ; la solution homogène générale est alors $y_h = \lambda y_1 + \mu y_2$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$. Le wronskien de deux solutions $y_1, y_2 \in \mathcal{S}_0$ est $$ W(t) = \begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t) \\ y_1'(t) & y_2'(t) \end{vmatrix} = y_1(t)\, y_2'(t) - y_1'(t)\, y_2(t). $$ Deux solutions $(y_1, y_2)$ forment un système fondamental si et seulement si $W(t_0) \ne 0$ pour un (de manière équivalente, pour tout) $t_0 \in I$.

L'équivalence « $W(t_0) \ne 0$ pour un $t_0$ » $\iff$ « pour tout $t_0$ » traduit l'isomorphisme $\varphi$ : $(y_1, y_2)$ est une base de $\mathcal{S}_0$ ssi $\bigl(\varphi(y_1), \varphi(y_2)\bigr)$ est une base de $\mathbb{K}^2$, et le déterminant de ce couple en $t_0$ est exactement $W(t_0)$.

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Exemple — Un système fondamental pour $y'' - y \equal 0$

Sur $\mathbb{R}$, $y_1 = \mathrm{e}^{t}$ et $y_2 = \mathrm{e}^{-t}$ résolvent toutes deux $y'' - y = 0$. Leur wronskien vaut $$ W(t) = \mathrm{e}^{t}\cdot(-\mathrm{e}^{-t}) - \mathrm{e}^{t}\cdot \mathrm{e}^{-t} = -2 \ne 0, $$ donc $(\mathrm{e}^{t}, \mathrm{e}^{-t})$ est un système fondamental et la solution générale est $y_h = \lambda\, \mathrm{e}^{t} + \mu\, \mathrm{e}^{-t}$.

Compétences à pratiquer

Construire un système fondamental et calculer le wronskien

IV Méthodes de résolution

IV.1 Résolution explicite avec indications

À coefficients variables il n'existe pas de formule explicite générale : une résolution explicite est donc toujours guidée par des indications — une solution de départ, une substitution ou un changement d'inconnue est fourni. La technique guidée la plus courante est la réduction de l'ordre à partir d'une solution homogène connue.

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Méthode — Réduction de l'ordre à partir d'une solution connue

Supposons connue une solution $y_1$ de $(E_0)$, et plaçons-nous sur un sous-intervalle où $y_1$ ne s'annule pas. Posons $y = z\, y_1$ avec $z$ une nouvelle fonction inconnue. En reportant dans $(E_0)$ et en utilisant $L(y_1) = 0$, les termes en $z$ (non dérivée) se simplifient et il reste, avec $w = z'$, une équation linéaire du premier ordre $$ y_1\, w' + \bigl(2 y_1' + a\, y_1\bigr) w = 0. $$ En choisissant une solution $w$ ne s'annulant pas (une solution non triviale de cette équation linéaire du premier ordre ne s'annule jamais), puis une primitive $z$ non constante de $w$, on obtient une deuxième solution $y_2 = z\, y_1$ indépendante de $y_1$ ; on vérifie que $(y_1, y_2)$ est un système fondamental sur ce sous-intervalle via le wronskien.

Exemple — Réduction de l'ordre pour $t^2 y'' - 2 y \equal 0$

Sur $I = \,]0, +\infty[$ la fonction $y_1 = t^2$ résout $t^2 y'' - 2 y = 0$. Posons $y = z\, t^2$. Alors $y' = z' t^2 + 2 t z$ et $y'' = z'' t^2 + 4 t z' + 2 z$, donc $$ t^2 y'' - 2 y = t^2\bigl(z'' t^2 + 4 t z' + 2 z\bigr) - 2 z t^2 = t^4 z'' + 4 t^3 z' = t^3\bigl(t z'' + 4 z'\bigr). $$ Ainsi $t z'' + 4 z' = 0$ ; en posant $w = z'$ c'est l'équation linéaire du premier ordre $t w' + 4 w = 0$ sur $\,]0, +\infty[$, dont les solutions non nulles sont $w = K t^{-4}$ avec $K \ne 0$. En intégrant, $z = -\tfrac{K}{3} t^{-3} + C$ ; en prenant $K = -3$, $C = 0$ on obtient le $z = t^{-3}$ non constant et $y_2 = z\, t^2 = t^{-1}$. La solution générale sur $I$ est $y = \lambda\, t^2 + \mu\, t^{-1}$.

Compétences à pratiquer

Appliquer la réduction de l'ordre à partir d'une solution connue

IV.2 Recherche de solutions sous forme de série entière

Lorsque les coefficients $a, b, c$ sont eux-mêmes sommes de séries entières au voisinage de $0$, on peut chercher une solution de la même forme $y(t) = \sum_{n \ge 0} a_n t^n$. En reportant, en regroupant par puissances de $t$ et en identifiant les coefficients, on obtient une récurrence sur les $a_n$ ; on détermine ensuite le rayon de convergence et l'on vérifie que la fonction obtenue est bien une solution. La technique se rattache directement au chapitre Séries entières.

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Méthode — Recherche de solutions sous forme de série entière

Posons $y(t) = \sum_{n \ge 0} a_n t^n$ à coefficients inconnus et de rayon strictement positif à confirmer. On dérive terme à terme, $y' = \sum_{n \ge 1} n a_n t^{n-1}$ et $y'' = \sum_{n \ge 2} n(n-1) a_n t^{n-2}$, on ré-indexe pour que chaque série porte $t^n$, on reporte dans l'équation homogène $(E_0)$ et l'on identifie à $0$ le coefficient de chaque $t^n$ (pour une équation complète, on identifie plutôt aux coefficients de $c$). On obtient une récurrence reliant $a_{n+2}$ aux coefficients d'indice inférieur (les $a_n$ sont ici les coefficients inconnus de $y$, à ne pas confondre avec le coefficient $a$) ; les données libres $a_0, a_1$ reproduisent les deux degrés de liberté de $\mathcal{S}_0$. On détermine enfin le rayon de convergence — en pratique par la règle de d'Alembert sur la récurrence, ou par une majoration directe des $a_n$ — et l'on vérifie qu'il est strictement positif. La série définit alors une vraie solution sur l'intervalle de convergence commun des séries de $y$ et des coefficients $a, b, c$, où la dérivation terme à terme et les produits sont légitimes.

Exemple — Retrouver $\cos$ et $\sin$ à partir de $y'' + y \equal 0$

Cherchons $y = \sum_{n \ge 0} a_n t^n$ solution de $y'' + y = 0$. Alors $y'' = \sum_{n \ge 0} (n+2)(n+1) a_{n+2} t^n$, donc $y'' + y = 0$ donne, pour tout $n$, $$ (n+2)(n+1)\, a_{n+2} + a_n = 0, \qquad \text{soit} \qquad a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}. $$ À partir de $a_0$ et $a_1$, les termes pairs donnent $a_{2k} = \dfrac{(-1)^k}{(2k)!} a_0$ et les termes impairs $a_{2k+1} = \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} a_1$. D'où $y = a_0 \cos t + a_1 \sin t$ — ce sont les séries entières usuelles de $\cos$ et $\sin$, dont le rayon de convergence est infini. La méthode retrouve le système fondamental connu $(\cos, \sin)$, avec $a_0 = y(0)$ et $a_1 = y'(0)$.

Compétences à pratiquer

Identifier les coefficients par récurrence

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Équations d'Euler et variation des constantes

VI Problèmes de synthèse

Compétences à pratiquer

Résolutions de niveau concours