Éducation Nationale Française · Troisième
Puissances
I
La puissance d'un nombre
Les puissances sont un moyen efficace d'exprimer une multiplication répétée. Elles aident à travailler plus facilement avec de grands nombres.
Définition — Puissance
Une puissance est l'écriture d'une multiplication répétée d'un nombre par lui-même : Pour un nombre \(a\) et un entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\), $$ a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}. $$
Définition — Vocabulaire
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Valeur} & \text{Multiplication répétée} & \text{Puissance} & \text{À l'oral} \\
\hline 2 & 2 & 2^1 & 2\ \text{ou}\ 2\ \text{puissance}\ 1 \\
4 & 2 \times 2 & 2^2 & 2\ \text{au carré ou}\ 2\ \text{puissance}\ 2 \\
8 & 2 \times 2 \times 2 & 2^3 & 2\ \text{au cube ou}\ 2\ \text{puissance}\ 3 \\
16 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^4 & 2\ \text{puissance}\ 4 \\
32 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^5 & 2\ \text{puissance}\ 5 \\
\hline \end{array} $$ Proposition — Signe d'une puissance
Pour tout entier \(n \geq 1\) : une puissance d'un nombre négatif est le produit de \(n\) facteurs négatifs. Par la règle du signe d'un produit : - si \(n\) est pair, la puissance est positive ;
- si \(n\) est impair, la puissance est négative.
Exemple
Donner le signe, puis la valeur, de \((-2)^5\) et de \((-10)^4\).
$$\begin{aligned} (-2)^5 &: \text{ l'exposant } 5 \text{ est impair, la puissance est négative} ;\quad 2^5 = 32, \text{ donc } (-2)^5 = \textcolor{colorprop}{-32.}\\
(-10)^4 &: \text{ l'exposant } 4 \text{ est pair, la puissance est positive} ;\quad 10^4 = 10\,000, \text{ donc } (-10)^4 = \textcolor{colordef}{+10\,000.} \end{aligned}$$ 
Compétences à pratiquer
- Calculer des puissances
- Déterminer le signe et la valeur d'une puissance
II
Les exposants négatifs
Pour comprendre les exposants négatifs, on regarde le schéma de la multiplication par \(2\) : 
À partir de ce schéma, on observe : 
On constate alors :
- \(2^1 = 2\)
- \(2^2 = 2 \times 2\)
- \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\)
- \(2^0 = 1\)
- \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\)
- \(2^{-2} = \dfrac{1}{2 \times 2}\)
- \(2^{-3} = \dfrac{1}{2 \times 2 \times 2}\)
Définition — Exposants négatifs et exposant nul
Pour un nombre non nul \(a\) et un entier positif non nul \(n\), on prolonge la définition de la puissance aux exposants négatifs en posant : $$\begin{aligned}[t] a^{-n} &= \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}} \\
&= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \qquad \text{et} \qquad a^0 = 1 \quad (a \neq 0).$$ En particulier, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\). Un exposant négatif signifie donc que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante. Exemple
Écrire \(3^{-2}\) sous forme de fraction.
$$\begin{aligned}[t] 3^{-2} &= \dfrac{1}{3 \times 3} \\
&= \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Écrire les exposants négatifs sous forme de fractions
- Écrire les fractions sous forme d'exposants négatifs
- Calculer avec l'exposant zéro
- Base négative, opposé d'une puissance, exposant négatif
III
Enchaîner les opérations
L'ordre des opérations est un ensemble de règles qui indique quelles opérations faire en premier dans une expression mathématique.
Définition — Ordre des opérations
Dans une expression, on effectue les calculs dans cet ordre des opérations : - d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures ;
- puis les puissances ;
- puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
- enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple
Calculer \((1+2) \times 2^3 + 4\).
$$ \begin{aligned}[t] (1+2) \times 2^3 + 4 &= \textcolor{colordef}{3} \times 2^3 + 4 && (\text{parenthèses : } 1+2 = 3) \\
&= 3 \times \textcolor{colordef}{8} + 4 && (\text{puissance : } 2^3 = 8) \\
&= \textcolor{colordef}{24} + 4 && (\text{multiplication : } 3 \times 8 = 24) \\
&= \textcolor{colordef}{28} && (\text{addition : } 24 + 4 = 28) \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer des expressions avec des puissances en deux étapes
- Combiner exposants négatifs et opérations
IV
Multiplier des puissances d'un même nombre
Peut-on écrire \(7^3 \times 7^2\) sous la forme d'une seule puissance de \(7\) ? On développe : $$\begin{aligned} \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}} \times \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}} &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}\,\text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\
&= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\
&= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}} \end{aligned}$$ De manière générale, lorsque l’on multiplie un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\) par ce même nombre élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c’est-à-dire $$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}},$$ le résultat est égal à \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la somme des exposants : $$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}.$$
Proposition — Loi des exposants 1
Pour \(a\neq 0\) et pour des entiers \(m\) et \(n\), $$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}$$
$$\begin{aligned} \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} &= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}\ \text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\
&= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\
&= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}} \end{aligned}$$ Ici \(m\) et \(n\) sont des entiers strictement positifs ; la formule s'étend à tous les entiers grâce à la définition des exposants négatifs (admis).
Exemple
Simplifier \(5^2\times 5^4\).
$$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}} \times \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{4}} &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{olive}{4}} && \text{(même base, on ajoute les exposants)} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{6}. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Simplifier des produits de puissances
- Identifier les bonnes écritures avec des puissances
V
Diviser des puissances d'un même nombre
Voici un exemple : $$\begin{aligned} \dfrac{\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{5}}}{\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}}} &= \dfrac{\overbrace{\cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{5}\,\text{facteurs}}} {\underbrace{\cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \cancel{\textcolor{colordef}{7}}}_{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}}}\\
&= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{5} - \textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}}\\
&= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{5} - \textcolor{olive}{2}} \end{aligned}$$ De manière générale, lorsqu'on divise un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\) par ce même nombre élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire : $$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}},$$ le résultat est \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la différence des exposants : $$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}.$$
Proposition — Loi des exposants 2
Pour \(a\neq 0\) et pour des entiers \(m\) et \(n\), $$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}$$ Exemple
Simplifier \(\dfrac{5^7}{5^3}\).
$$\begin{aligned} \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7}}}{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{3}}} &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7} - \textcolor{olive}{3}} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{4} \end{aligned}$$
Exemple
Simplifier \(\dfrac{7^{3}}{7^{5}}\), puis écrire le résultat sous forme de fraction.
Par la loi des exposants 2, $$\dfrac{7^{3}}{7^{5}} = 7^{3-5} = 7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$$ Diviser des puissances peut produire un exposant négatif : la loi et la définition des exposants négatifs travaillent ensemble.
Compétences à pratiquer
- Simplifier des fractions de puissances
- Simplifier avec des exposants négatifs
VI
Élever une puissance à une puissance
Voici un exemple : $$\begin{aligned} \left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{3}} &= (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}})^{\textcolor{olive}{3}} \\
&= \overbrace{(\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}}) \times (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}}) \times (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}})}^{\textcolor{olive}{3}\,\text{facteurs}} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} + \textcolor{colorprop}{2} +\textcolor{colorprop}{2}}\\
&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{olive}{3}} \end{aligned}$$ De manière générale, lorsqu'on élève un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\), puis qu'on élève ce résultat à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire $$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}},$$ le résultat est \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé au produit des exposants : $$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}.$$
Proposition — Loi des exposants 3
Pour \(a\neq 0\) et pour des entiers \(m\) et \(n\), $$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}$$ Exemple
Simplifier \(\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}}\).
$$\begin{aligned}[t] \left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}} &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{olive}{5}} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{10} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Simplifier des puissances de puissances
VII
Multiplier des puissances de même exposant
Peut-on écrire \((3 \times 5)^2\) avec une puissance de chaque facteur ? On développe : $$\begin{aligned} (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{2}} &= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \times (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\
&= \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \\
&= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colordef}{3}) \times (\textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\
&= \textcolor{colordef}{3}^{\textcolor{olive}{2}} \times \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{2}} \end{aligned}$$ De manière générale, lorsqu'on multiplie deux nombres \(\textcolor{colordef}{a}\) et \(\textcolor{colorprop}{b}\), puis qu'on élève le produit à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire : $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}},$$ le résultat est que chaque facteur est élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\) : $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}.$$
Proposition — Loi des exposants 4
Pour des nombres non nuls \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\), $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}$$ Exemple
Écrire \((\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}}\) avec une puissance de chaque facteur.
$$(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}} = \textcolor{colordef}{2}^{\textcolor{olive}{3}} \times \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{3}}$$
Compétences à pratiquer
- Simplifier les puissances d'un produit
- Écrire un produit sous la forme d'une seule puissance
VIII
La puissance d'un quotient
Voici un exemple : $$\begin{aligned} \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}} &= \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right) \times \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right) \\
&= \dfrac{\textcolor{colordef}{5} \times \textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3} \times \textcolor{colorprop}{3}} \\
&= \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}} \end{aligned}$$ De manière générale, lorsqu'un quotient \(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\) est élevé à une puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire : $$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}},$$ le résultat est le numérateur élevé à cette puissance divisé par le dénominateur élevé à cette puissance : $$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}{\textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}}.$$
Proposition — Loi des exposants 5
Pour des nombres non nuls \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\), $$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}{\textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}}$$ Exemple
Calculer \(\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}\).
$$\begin{aligned}[t] \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}} &= \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}} \\
&= \dfrac{25}{9} \end{aligned}$$
Proposition — Loi des exposants 6
Pour des nombres \(a\) et \(b\) non nuls, et tout entier \(n\), $$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{-n}} = \left(\dfrac{\textcolor{colorprop}{b}}{\textcolor{colordef}{a}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}$$ et en particulier, $$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{-1}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{b}}{\textcolor{colordef}{a}}.$$ Exemple
Calculer \(\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{7}}\right)^{-2}\).
$$\begin{aligned}\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{7}}\right)^{-2} &= \left(\dfrac{\textcolor{colorprop}{7}}{\textcolor{colordef}{2}}\right)^{2} \\
&= \dfrac{7^2}{2^2}\\
&= \dfrac{49}{4} \\
\end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Simplifier des puissances de fractions
- Exprimer une puissance négative sous forme de fraction
IX
La notation scientifique
Puissances de dix
Le système de numération est en base dix : les puissances de dix sont les premières à connaître. Un exposant positif compte les zéros après le \(1\) ; un exposant négatif compte les chiffres après la virgule, le chiffre \(1\) étant le dernier : $$10^3 = 1\,000, \qquad 10^2 = 100, \qquad 10^1 = 10, \qquad 10^0 = 1, \qquad 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1, \qquad 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01, \qquad 10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001.$$ En général, pour un entier naturel \(n \geq 1\), \(10^n\) s'écrit \(1\) suivi de \(n\) zéros, et \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\) s'écrit \(0{,}0\ldots01\) avec \(n\) chiffres après la virgule. Multiplier un nombre par \(10^n\) décale sa virgule de \(n\) rangs vers la droite, et le multiplier par \(10^{-n}\) décale sa virgule de \(n\) rangs vers la gauche : \(2{,}45 \times 10^{3} = 2\,450\) et \(2{,}45 \times 10^{-3} = 0{,}002\,45\).
Exemple
Écrire \(10^4\) et \(10^{-3}\) en écriture décimale, puis écrire \(1\,000\,000\) et \(0{,}000\,01\) sous forme de puissances de dix.
\(10^4 = 10\,000\) (\(1\) suivi de quatre zéros) et \(10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001\) (trois chiffres après la virgule). Réciproquement, \(1\,000\,000\) est \(1\) suivi de six zéros, donc \(1\,000\,000 = 10^6\) ; et \(0{,}000\,01\) a cinq chiffres après la virgule, donc \(0{,}000\,01 = \dfrac{1}{100\,000} = 10^{-5}\).
Travailler avec des nombres très grands ou très petits peut être difficile. Les puissances de dix permettent de réécrire ces nombres sous une forme plus courte, plus facile à manipuler : cette écriture s’appelle la notation scientifique, et elle est très utilisée en sciences.
Définition — Notation scientifique
Un nombre décimal non nul est exprimé en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme :
Remarque
Quand \(n \geq 1\), le nombre est grand : sa valeur absolue est supérieure ou égale à \(10\). Quand \(n = 0\), sa valeur absolue est comprise entre \(1\) (inclus) et \(10\) (exclu). Quand \(n\) est strictement négatif, le nombre est très petit : sa valeur absolue est inférieure à \(1\), sans que le nombre soit nul.
Exemple
Écrire \(245\) en notation scientifique.
$$\begin{aligned}[t]245 &= 2{,}45 \times 100 \\
&= 2{,}45 \times 10^2\end{aligned}$$ Ainsi, \(245\) s'écrit en notation scientifique : \(2{,}45 \times 10^2\).
Exemple
Écrire \(0{,}002\,45\) en notation scientifique.
Le coefficient doit être compris entre \(1\) et \(10\) : les chiffres \(2\), \(4\), \(5\) donnent \(a = 2{,}45\). Pour passer de \(2{,}45\) à \(0{,}002\,45\), la virgule se décale de \(3\) rangs vers la gauche, ce qui est une multiplication par \(10^{-3}\) : $$0{,}002\,45 = 2{,}45 \times 0{,}001 = 2{,}45 \times 10^{-3}.$$ Un nombre strictement compris entre \(0\) et \(1\) a toujours un exposant négatif en notation scientifique.
Les préfixes de nano à giga
En sciences, les puissances de dix se cachent dans des préfixes placés devant une unité. Du plus petit au plus grand :
Ainsi \(1\) kilomètre vaut \(10^3\) mètres, \(1\) milligramme vaut \(10^{-3}\) gramme et \(1\) nanomètre vaut \(10^{-9}\) mètre. Le préfixe transforme une mesure très grande ou très petite en un petit nombre : une distance de \(7\,000\,000\) m est \(7\) Mm, un volume de \(0{,}000\,003\) L est \(3\) \(\mu\)L.
| préfixe | symbole | puissance de dix |
| nano | n | \(10^{-9}\) |
| micro | \(\mu\) | \(10^{-6}\) |
| milli | m | \(10^{-3}\) |
| kilo | k | \(10^{3}\) |
| méga | M | \(10^{6}\) |
| giga | G | \(10^{9}\) |
Exemple
Exprimer \(3\) \(\mu\)L en litres et \(7\) MW (mégawatts) en watts, en notation scientifique. Puis écrire \(5 \times 10^{-3}\) g avec un préfixe.
Le préfixe micro signifie \(10^{-6}\), donc \(3\) \(\mu\)L \(= 3 \times 10^{-6}\) L \(= 0{,}000\,003\) L. Le préfixe méga signifie \(10^{6}\), donc \(7\) MW \(= 7 \times 10^{6}\) W \(= 7\,000\,000\) W. Réciproquement, \(10^{-3}\) est le préfixe milli : \(5 \times 10^{-3}\) g \(= 5\) mg.
Méthode — Calculer avec la notation scientifique
Pour multiplier ou diviser deux nombres écrits en notation scientifique : - Regrouper : on multiplie (ou on divise) les coefficients entre eux, et les puissances de dix entre elles — avec les lois des exposants, \(10^m \times 10^n = 10^{m+n}\) et \(\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\).
- Remettre en notation scientifique : si le coefficient obtenu, au signe près, n'est pas compris entre \(1\) (inclus) et \(10\) (exclu), on déplace sa virgule et on ajuste l'exposant. Décaler la virgule d'un rang vers la gauche ajoute \(1\) à l'exposant : \(15 \times 10^{2} = 1{,}5 \times 10^{3}\). La décaler d'un rang vers la droite soustrait \(1\) de l'exposant : \(0{,}5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4}\).
Exemple
Écrire en notation scientifique : \(A = (3 \times 10^{4}) \times (5 \times 10^{-2})\) et \(B = \dfrac{3 \times 10^{2}}{6 \times 10^{5}}\).
$$\begin{aligned}[t] A &= (3 \times 5) \times (10^{4} \times 10^{-2}) \\
&= 15 \times 10^{2} && (10^{4 + (-2)} = 10^{2}) \\
&= 1{,}5 \times 10^{1} \times 10^{2} && (15 = 1{,}5 \times 10) \\
&= \textcolor{colordef}{1{,}5 \times 10^{3}} \end{aligned}$$ Le coefficient \(15\) n'était pas compris entre \(1\) et \(10\) : la virgule recule d'un rang, donc l'exposant augmente d'une unité. $$\begin{aligned}[t] B &= \dfrac{3}{6} \times \dfrac{10^{2}}{10^{5}} && \text{(on regroupe)} \\
&= 0{,}5 \times 10^{-3} && (10^{2 - 5} = 10^{-3}) \\
&= 5 \times 10^{-1} \times 10^{-3} && (0{,}5 = 5 \times 10^{-1}) \\
&= \textcolor{colordef}{5 \times 10^{-4}} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Écrire des nombres sous forme de puissances de 10
- Exprimer en notation scientifique
- Exprimer en écriture décimale
- Exprimer des grandeurs du monde réel en notation scientifique
- Convertir avec les préfixes de nano à giga
- Comparer des nombres écrits avec des puissances de dix
- Calculer avec la notation scientifique
X
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Type brevet
- Quiz
Contrôle du chapitre
4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
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