Éducation Nationale Française · Troisième

Racine carrée

⌚ ~122 min ▢ 13 blocs ✓ 59 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Puissances

I Les racines carrées

Découverte

Le carré d'un nombre est le résultat de ce nombre multiplié par lui-même. Par exemple, $3$ au carré est $3 \times 3$, ce qui s'écrit $3^2$.
$3^2 = 9$. L'aire d'un carré de côté $3$ est $9$ unités d'aire.
La racine carrée est l'opération inverse : elle « défait » le carré (pour des nombres positifs ou nuls). Elle permet de calculer la longueur du côté d'un carré à partir de son aire. Si un carré a une aire de $9$, quelle est la longueur de son côté ?
La longueur du côté est $\sqrt{9} = 3$, car $3 \times 3 = 9$.

Définition — Racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif ou nul $a$ (c'est-à-dire $a \ge 0$), notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne $a$. $$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$

Remarque

Le symbole de la racine carrée $\sqrt{\quad}$ désigne toujours la racine positive ou nulle. Par exemple, $\sqrt{25} = 5$. C'est une erreur courante de penser que $\sqrt{25}$ vaut $\pm 5$ (lire : plus ou moins $5$).
Bien qu'il soit vrai que $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$, le symbole $\sqrt{25}$ ne désigne que la valeur positive, qui est $5$.
Pourquoi ne peut-on pas calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif ?
On considère $\sqrt{-9}$. Pour déterminer cette valeur, il faudrait un nombre qui, multiplié par lui-même, donne $-9$.
- Un nombre positif au carré est positif ($3 \times 3 = 9$).
- Un nombre négatif au carré est aussi positif ($(-3) \times (-3) = 9$).
Aucun nombre, positif ou négatif, ne donne un résultat strictement négatif quand on l'élève au carré. On en déduit qu'aucun nombre n'a $-9$ pour carré : $\sqrt{-9}$ n'existe pas.

Signaler une erreur

Définition — Carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un entier. La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier.

Exemple

Les carrés parfaits des entiers de $0$ à $12$ sont : $$ 0\,;\,1\,;\,4\,;\,9\,;\,16\,;\,25\,;\,36\,;\,49\,;\,64\,;\,81\,;\,100\,;\,121\,;\,144. $$ Leurs racines carrées sont ces entiers eux-mêmes : $$ \sqrt{0} = 0\,; \quad \sqrt{1} = 1\,; \quad \sqrt{4} = 2\,; \quad \sqrt{9} = 3\,; \quad \sqrt{16} = 4\,; \quad \dots $$ $$ \sqrt{81} = 9\,; \quad \sqrt{100} = 10\,; \quad \sqrt{121} = 11\,; \quad \sqrt{144} = 12. $$

Exemple

La définition s'applique aussi aux fractions : $$\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \quad \text{car} \quad \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}, \qquad \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4} \quad \text{car} \quad \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}.$$

Exemple

La définition s'applique aussi aux nombres décimaux : $$\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \quad \text{car} \quad 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04,$$ $$\sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \quad \text{car} \quad 1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44.$$ On peut aussi lire un nombre décimal comme une fraction : $0{,}04 = \dfrac{4}{100}$, et $\dfrac{2}{10} \times \dfrac{2}{10} = \dfrac{4}{100}$, donc $\sqrt{0{,}04} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$. Attention : pour un nombre compris entre $0$ et $1$, la racine carrée est plus grande que le nombre — $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ et $0{,}2 > 0{,}04$ — alors que pour un nombre plus grand que $1$ elle est plus petite : $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ et $1{,}2 < 1{,}44$.

Compétences à pratiquer

Identifier les carrés parfaits et les racines carrées
Calculer les racines carrées des carrés parfaits
Calculer les racines carrées de fractions
Calculer les racines carrées de nombres décimaux

II Encadrer et calculer

Alors que les racines carrées des carrés parfaits sont faciles à calculer, la plupart des nombres ne sont pas des carrés parfaits. On peut estimer leurs racines carrées ou utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur plus précise.

Signaler une erreur

Méthode — Encadrer une racine carrée

Quand un nombre positif n'est pas un carré parfait, sa racine carrée n'est pas entière, mais on peut la situer entre deux entiers consécutifs. Comme une aire plus grande donne un côté plus long, la racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs.

Encadrer le nombre par les deux carrés parfaits consécutifs qui l'entourent.
Prendre les racines carrées : la racine carrée est encadrée par deux entiers consécutifs.

Connaître les carrés parfaits jusqu'à $12^2 = 144$ rend la première étape immédiate tant que le nombre ne dépasse pas $144$ ; au-delà, on cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui l'encadrent en essayant des entiers plus grands. Pour affiner l'encadrement au dixième, tester de la même façon les carrés des nombres à une décimale compris entre les deux entiers.

Exemple

Encadrer $\sqrt{13}$ par deux entiers consécutifs.

Correction

$13$ n'est pas un carré parfait. $$\begin{aligned}[t] 9 &< 13 < 16 && \text{($9 = 3^2$ et $16 = 4^2$ sont des carrés parfaits consécutifs)}\\ \sqrt{9} &< \sqrt{13} < \sqrt{16} && \text{(la racine carrée conserve l'ordre)}\\ 3 &< \sqrt{13} < 4. \end{aligned}$$

Méthode — Utiliser une calculatrice

Sur la plupart des calculatrices, on peut calculer une racine carrée en utilisant la touche $\boxed{\sqrt{\;}}$.

Exemple

Utiliser une calculatrice pour calculer $\sqrt{7}$, arrondi à $2$ chiffres après la virgule.

Correction

En entrant $\sqrt{7}$ dans une calculatrice, on obtient environ $2{,}645751\ldots$
Arrondi à $2$ chiffres après la virgule, $\sqrt{7} \approx 2{,}65$.

Un carré d'aire $2$ a bien un côté : on peut dessiner ce carré. Mais quelle est sa longueur ? L'encadrement donne $$1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2,$$ $$\text{puis} \qquad 1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2,$$ donc le côté est compris entre $1{,}41$ et $1{,}42$. Une décimale de plus, et il est compris entre $1{,}414$ et $1{,}415$ ($1{,}414^2 = 1{,}999396$ et $1{,}415^2 = 2{,}002225$). On peut continuer indéfiniment sans jamais tomber sur $2$ : aucun nombre décimal n'a $2$ pour carré — un fait que l'on peut démontrer, et pas seulement constater. Un nombre qui n'est pas non plus le quotient de deux entiers est appelé nombre irrationnel, et $\sqrt{2}$ en est un. Attention : un développement décimal qui ne s'arrête jamais ne suffit pas à être irrationnel — $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais et est pourtant une fraction. Ainsi le côté d'un carré d'aire $2$ est une longueur que l'on peut dessiner mais que l'on ne peut pas écrire exactement avec des décimales : seul $\sqrt{2}$ la nomme exactement.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Encadrer une racine carrée
Utiliser une calculatrice
Déterminer le côté d'un carré

III Résoudre l'équation $x^2 \equal a$

Découverte

Déterminer tous les nombres dont le carré est $25$.
En élevant $5$ au carré, on obtient $5^2 = 25$. Mais en élevant $-5$ au carré, on obtient aussi $(-5)^2 = 25$. Il y a donc deux nombres dont le carré est $25$ : les nombres $5$ et $-5$.
Le symbole $\sqrt{25}$ ne désigne que le nombre positif : $\sqrt{25} = 5$. L'équation $x^2 = 25$ pose une question plus large, et ses solutions sont $5$ et $-5$.

Proposition — Solutions de $x^2 \equal a$

Soit $a$ un nombre. Les solutions de l'équation $x^2 = a$ dépendent du signe de $a$ :

si $a > 0$, l'équation a deux solutions : $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$ ;
si $a = 0$, l'équation a une seule solution : $x = 0$ ;
si $a < 0$, l'équation n'a aucune solution : le carré d'un nombre n'est jamais strictement négatif.

Exemple

Résoudre chaque équation :

$x^2 = 49$
$x^2 = 7$
$x^2 = -9$

Correction

$49 > 0$ : deux solutions, $x = \sqrt{49} = 7$ et $x = -\sqrt{49} = -7$.
$7 > 0$ : deux solutions, $x = \sqrt{7}$ et $x = -\sqrt{7}$. Ce sont les valeurs exactes ; une calculatrice donne $\sqrt{7} \approx 2{,}65$.
$-9 < 0$ : aucune solution, car le carré d'un nombre n'est jamais strictement négatif.

La parabole $y \equal x^2$

Tous les points $(x\,;\,y)$ dont les coordonnées vérifient $y = x^2$ forment une courbe appelée la parabole d'équation $y = x^2$. Elle passe par $(0\,;\,0)$, $(1\,;\,1)$, $(2\,;\,4)$, $(3\,;\,9)$, et elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car $(-x)^2 = x^2$.

Signaler une erreur

Méthode — Résoudre $x^2 \equal a$ graphiquement

Pour résoudre graphiquement l'équation $x^2 = a$ :

Sur la parabole $y = x^2$ fournie, tracer la droite horizontale $y = a$.
Lire les abscisses de leurs points d'intersection. Lorsqu'elles semblent tomber sur des graduations, les vérifier par le calcul : ce sont alors les solutions ; sinon la lecture n'en donne qu'une valeur approchée — les solutions exactes sont alors $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.

La droite coupe la parabole en deux points si $a > 0$, la touche en un seul point (l'origine) si $a = 0$, et ne la rencontre pas si $a < 0$.

Exemple

Résoudre graphiquement l'équation $x^2 = 4$, puis vérifier les solutions par le calcul.

Correction

Sur la figure de la méthode, la droite $y = 4$ coupe la parabole $y = x^2$ en deux points, dont les abscisses sont $-2$ et $2$.
Vérification : $$\begin{aligned}[t] 2^2 &= 4 && \text{($2$ est une solution)}\\ (-2)^2 &= 4 && \text{($-2$ est une solution)} \end{aligned}$$ Les solutions de $x^2 = 4$ sont $-2$ et $2$.

Exemple

Résoudre graphiquement l'équation $x^2 = 5$ sur la parabole ci-dessus, puis donner les solutions exactes.

Correction

La droite $y = 5$ coupe la parabole en deux points :

Leurs abscisses ne tombent pas sur des graduations : la figure ne donne qu'un encadrement, $-3 < x < -2$ pour l'une et $2 < x < 3$ pour l'autre, un peu au-delà de $2$. La lecture n'en donne donc qu'une valeur approchée. Les solutions exactes sont $$x = -\sqrt{5} \quad \text{et} \quad x = \sqrt{5},$$ et une calculatrice donne $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, ce qui s'accorde avec l'encadrement lu sur le graphique. Le graphique situe les solutions ; seul le calcul les donne exactement.

Résoudre une équation donne tous les nombres qui la vérifient. Dans un problème concret, la situation sélectionne ensuite les solutions qui ont un sens : une longueur ou une durée est positive.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Résoudre $x^2 \equal a$ par le calcul
Résoudre les équations du type $x^2 \equal k$
Résoudre $x^2 \equal a$ graphiquement
Résoudre des problèmes avec $x^2 \equal a$

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Type brevet
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.