Éducation Nationale Française · Troisième
Calcul littéral
I
Réduire
Définition — Notation du produit
On peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est suivi d'une variable ou d'une parenthèse. Exemple
- \(2 \times x = 2x\)
- \(2 \times (L+l) = 2(L+l)\)
Définition — Multiplication itérée
Pour un entier \(n \geq 1\) : $$\overbrace{x \times x \times \ldots \times x}^{n\text{ facteurs}} = x^n$$ Exemple
Pour un cercle :
, simplifier la formule de l'aire \(A = \pi \times r \times r\).
$$\begin{aligned}A &= \pi \times r \times r \\
&= \pi r^2\end{aligned}$$
Méthode — Simplifier en regroupant les termes semblables
Simplifier une expression en regroupant les termes semblables consiste à regrouper des termes qui ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances. - Identifier les termes semblables : Les termes semblables ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances. Par exemple, \(3x\) et \(5x\) sont semblables, mais \(3x\) et \(3x^2\) ne le sont pas.
- Regrouper les termes semblables : Ajouter ou soustraire les coefficients (partie numérique) des termes semblables. La partie variable reste la même.
Exemple
Simplifier l'expression : \(2x + 4 + x - 2\)
$$\begin{aligned}[t]2x + 4 + x - 2 &= \textcolor{colordef}{2x} \textcolor{colorprop}{+4} \textcolor{colordef}{+x} \textcolor{colorprop}{-2} &&(\text{identifier les termes semblables}) \\
&= \textcolor{colordef}{(2+1)x} + \textcolor{colorprop}{4-2} &&(\text{regrouper les termes semblables}) \\
&= \textcolor{colordef}{3x} + \textcolor{colorprop}{2} &&(\text{simplifier})\end{aligned}$$
Proposition — Réduire un produit
Pour multiplier des termes comme \(3x\) et \(2x\), on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles — l'ordre des facteurs ne compte pas : $$3x \times 2x = (3 \times 2) \times (x \times x) = 6x^2.$$ En particulier, \(x \times x = x^2\). Quand on réduit une somme, les termes semblables se regroupent : les termes en \(x^2\) entre eux, les termes en \(x\) entre eux. Compétences à pratiquer
- Réduire des produits de termes
- Réduire avec des carrés
II
Développer avec un facteur
Le grand rectangle ci-dessous est divisé en deux rectangles plus petits. Exprimer l'aire totale du grand rectangle de deux manières différentes. 
- Méthode 1 : Somme des parties
L'aire totale est la somme des aires des deux rectangles plus petits. $$\text{Aire totale} = \textcolor{colordef}{\text{Aire 1}} + \textcolor{colorprop}{\text{Aire 2}} = \textcolor{colordef}{ab} + \textcolor{colorprop}{ac}$$
- Méthode 2 : Aire du tout
La longueur totale de la base est \(b+c\) et la hauteur est \(a\). $$\text{Aire totale} = \textcolor{olive}{a(b+c)}$$
Proposition — Distributivité de la multiplication
Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(c\), la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction : - Addition :
- Soustraction :
Méthode — Somme ou produit ?
Les identités distributives font passer d'une forme d'expression à une autre. Pour décider quelle forme a une expression, regarder sa dernière opération — celle que l'on effectuerait en dernier en calculant : - dans \(3(x+2)\), on calcule la parenthèse, puis on multiplie : la dernière opération est une multiplication — l'expression est un produit ;
- dans \(3x+2\), on calcule \(3x\), puis on ajoute \(2\) : la dernière opération est une addition — l'expression est une somme.
Exemple
Somme ou produit ? Décider pour chaque expression : $$5(x+1) \qquad ; \qquad 5x+1 \qquad ; \qquad 2(x+3)+1$$ - \(5(x+1)\) : on calcule la parenthèse, puis on multiplie par \(5\) — un produit.
- \(5x+1\) : on calcule \(5x\), puis on ajoute \(1\) — une somme.
- \(2(x+3)+1\) : on calcule la parenthèse, on multiplie par \(2\), puis on ajoute \(1\) — les parenthèses suggèrent un produit, mais la dernière opération est l'addition du \(1\) : une somme.
Définition — Développer
Développer consiste à utiliser la distributivité pour écrire un produit avec des parenthèses sous la forme d'une somme (ou d'une différence) de termes. 
Exemple
Développer et réduire : \(x(2x+3)\).
$$\begin{aligned}[t] x(2x + 3) &= x \times 2x + x \times 3 && {\scriptstyle\text{(distributivité)}}\\
&= \textcolor{colordef}{2x^2 + 3x} && {\scriptstyle(x \times 2x = 2x^2)} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une somme ou un produit
- Développer avec l'addition : niveau 2
- Développer avec la soustraction : niveau 2
III
Factoriser par un facteur commun
Factoriser par un facteur commun, c'est lire la distributivité de droite à gauche : au lieu de développer des parenthèses, on cherche un facteur commun à mettre en facteur pour introduire des parenthèses.
Proposition — Factorisation par un facteur commun
Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(c\) : Exemple
Factoriser \(2x+2\).
$$\begin{aligned} 2x+2&=\textcolor{colorprop}{2}\times x +\textcolor{colorprop}{2}\times 1\\
&=\textcolor{colorprop}{2}(x+1). \end{aligned}$$
Exemple
Factoriser : \(x^2 + 6x\).
$$\begin{aligned}[t] x^2 + 6x &= \textcolor{colorprop}{x} \times x + \textcolor{colorprop}{x} \times 6 && {\scriptstyle\text{(le facteur commun est } \textcolor{colorprop}{x})}\\
&= \textcolor{colorprop}{x}(x + 6) \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Factoriser par le facteur commun : niveau 1
- Factoriser par le facteur commun : niveau 2
IV
Démontrer par le calcul littéral
Définition — Écriture littérale des nombres pairs et impairs
Pour tout nombre entier \(n\) : - le nombre \(2n\) est pair — c'est le double de \(n\) ; tout nombre pair peut s'écrire sous cette forme ;
- le nombre \(2n + 1\) est impair — c'est un nombre pair plus un ; tout nombre impair peut s'écrire sous cette forme.
Méthode — Démontrer en développant et en factorisant
Tester des exemples ne peut que rendre une affirmation plausible ; pour la démontrer pour tous les nombres : - Écrire les nombres sous forme littérale : \(2n\) pour un nombre pair, \(2n+1\) pour un impair, \(n\) et \(n+1\) pour des nombres consécutifs… Utiliser des lettres différentes, comme \(n\) et \(m\), pour des nombres choisis indépendamment.
- Calculer avec les lettres (développer, réduire, factoriser).
- Lire la forme du résultat — un double \(2(\ldots)\), un multiple \(3(\ldots)\)… — et la relier à l'affirmation : cette forme démontre la propriété pour tout nombre entier.
Exemple
Démontrer l'affirmation de Zoé : la somme de deux nombres impairs est toujours paire.
Soit \(2n + 1\) et \(2m + 1\) deux nombres impairs (\(n\) et \(m\) entiers — deux lettres différentes, car les deux nombres impairs sont choisis indépendamment). $$\begin{aligned}[t] (2n + 1) + (2m + 1) &= 2n + 2m + 2 && {\scriptstyle\text{(supprimer les parenthèses et réordonner)}}\\
&= 2(n + m + 1) && {\scriptstyle\text{(factoriser par } 2)} \end{aligned}$$ La somme est le double du nombre entier \(n + m + 1\) : elle est paire, pour tous les choix des deux nombres impairs. Zoé a raison. 
Compétences à pratiquer
- Démontrer des propriétés des nombres pairs et impairs
V
L'opposé d'une expression
Méthode — Prendre l'opposé d'une expression
L'opposé d'une expression est cette expression multipliée par \((-1)\). Pour l'écrire sans parenthèses : - Écrire l'expression entre parenthèses, précédée d'un signe \(-\).
- Changer le signe de chaque terme : c'est exactement distribuer le facteur \((-1)\) sur la parenthèse.
- Contrôler avec une valeur : l'expression et son opposé doivent donner des résultats opposés.
Exemple
Écrire l'opposé de \(5 - 4x\) sans parenthèses.
$$\begin{aligned}[t]-(5 - 4x) &= (-1) \times 5 + (-1) \times (-4x) && \text{(Distribuer le facteur \(-1\))} \\
&= -5 + 4x && \text{(Chaque terme change de signe)}\end{aligned}$$ Contrôle avec \(x = 1\) : l'expression donne \(5 - 4 = 1\), et \(-5 + 4 = -1\) — des résultats opposés.
Exemple
Développer et réduire \(-3(x+2)\), puis \(6-2(x-4)\).
Prendre l'opposé est le cas \(-1\) ; tout autre facteur négatif se distribue de la même manière — le facteur porte son signe sur chaque terme de la parenthèse. $$\begin{aligned}[t]-3(x+2) &= (-3) \times x + (-3) \times 2 && \text{(Distribuer le facteur \(-3\))} \\
&= \textcolor{colorprop}{-3x-6} && \text{(Chaque terme est multiplié par \(-3\))}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t]6-2(x-4) &= 6 + (-2) \times x + (-2) \times (-4) && \text{(Distribuer le facteur \(-2\))} \\
&= 6 - 2x + 8 && \text{(Un négatif par un négatif est positif)} \\
&= \textcolor{colorprop}{14 - 2x} && \text{(Regrouper les termes semblables)}\end{aligned}$$ Contrôle avec \(x = 1\) : \(-3 \times 3 = -9\) et \(-3-6 = -9\) ; \(6 - 2 \times (-3) = 12\) et \(14 - 2 = 12\).
Compétences à pratiquer
- Prendre l'opposé : niveau 1
- Prendre l'opposé : niveau 2
VI
La double distributivité
Un jardin rectangulaire mesure \((x+3)\) mètres sur \((x+5)\) mètres. 
Calculer son aire de deux façons : en additionnant les quatre morceaux du dessin, puis en multipliant les deux longueurs de côté. Que donne la comparaison ?
Par les morceaux, on additionne les quatre aires : $$\underbrace{x \times x}_{x^2} + \underbrace{5 \times x}_{5x} + \underbrace{3 \times x}_{3x} + \underbrace{3 \times 5}_{15} = x^2 + 8x + 15.$$ Par les côtés, on multiplie les deux longueurs : l'aire vaut \((x+3)(x+5)\). Le même jardin est mesuré deux fois, donc $$(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15.$$ Chaque morceau du dessin est un terme de la première parenthèse multiplié par un terme de la seconde — et il y a exactement quatre morceaux parce que chacun des deux termes d'un côté rencontre chacun des deux de l'autre. C'est la règle que cette section énonce avec des lettres.
Proposition — Double distributivité
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. 
Exemple
Développer et réduire \((2x+3)(x-5)\).
$$\begin{aligned}[t](2x+3)(x-5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) && \text{(Chaque terme se distribue avec son signe)} \\
&= 2x^2 - 10x + 3x - 15 && \text{(Calculer chaque produit)} \\
&= 2x^2 - 7x - 15 && \text{(Regrouper les termes semblables)}\end{aligned}$$
Méthode — Factoriser avec un facteur commun entre parenthèses
Un facteur commun n'est pas toujours un nombre ou une lettre : ce peut être une parenthèse entière présente dans chaque terme. - Repérer la parenthèse présente dans chaque terme.
- Écrire cette parenthèse en facteur, et rassembler dans une seconde parenthèse ce qui la multiplie dans chaque terme.
- Réduire la seconde parenthèse.
Un terme réduit à la parenthèse commune est multiplié par \(1\) : dans \((x+3)(2x-1) + (x+3)\), le second terme vaut \((x+3) \times 1\), donc la seconde parenthèse est \((2x-1) + 1\).
Exemple
Factoriser \((x+2)(3x-1) + (x+2)(x+5)\).
La parenthèse \(\textcolor{colorprop}{(x+2)}\) est présente dans les deux termes : c'est le facteur commun. $$\begin{aligned}[t] &(x+2)(3x-1) + (x+2)(x+5) \\
&= \textcolor{colorprop}{(x+2)}\left[(3x-1) + (x+5)\right] && {\scriptstyle\text{(parenthèse commune)}} \\
&= \textcolor{colorprop}{(x+2)}(3x-1+x+5) \\
&= \textcolor{colorprop}{(x+2)}(4x+4). \end{aligned}$$ La seconde parenthèse contient encore le facteur commun \(4\) : la factorisation complète est donc \(4(x+2)(x+1)\).
Compétences à pratiquer
- Développer avec l'addition
- Développer avec la soustraction
- Factoriser avec un facteur commun entre parenthèses
VII
La différence de deux carrés
Les trois égalités \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\), \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) et \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) s'appellent les identités remarquables. Chacune s'utilise dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
Proposition — Différence de deux carrés (développer)
Cette identité s'appelle la différence de deux carrés : $$(\textcolor{colordef}{a}-\textcolor{colorprop}{b})(\textcolor{colordef}{a}+\textcolor{colorprop}{b}) =\textcolor{colordef}{a}^2-\textcolor{colorprop}{b}^2.$$
$$\begin{aligned} (a-b)(a+b) &= a(a+b)-b(a+b) &&\text{(propriété distributive)} \\
&= a^2+ab-ab-b^2 &&\text{(développer)} \\
&= a^2+\cancel{ab}-\cancel{ab}-b^2 && \\
&= a^2-b^2. && \end{aligned}$$
Exemple
Développer et réduire : \((x-3)(x+3)\).
$$\begin{aligned} (\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{3})(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{3}) & = \textcolor{colordef}{x}^2-\textcolor{colorprop}{3}^2 \\
& = x^2-9. \end{aligned}$$ Donc \((x-3)(x+3)=x^2-9\).
Proposition — Différence de deux carrés (factoriser)
Exemple
Factoriser \(x^2-9\).
$$\begin{aligned} x^2-9&= \textcolor{colordef}{x}^2-\textcolor{colorprop}{3}^2\\
&= (\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{3})(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{3}). \end{aligned}$$
Remarque
Tout nombre réel positif ou nul \(c\) peut être exprimé comme un carré : \(c=(\sqrt{c})^2\). Cela permet de réécrire des expressions comme \(x^2 - c\) sous forme de différence de deux carrés et d'appliquer l'identité ci-dessus.
Exemple
Factoriser \(x^2-3\).
On peut écrire \(3\) sous la forme \((\sqrt{3})^2\) pour créer une différence de carrés. $$\begin{aligned} x^2-3 &= \textcolor{colordef}{x}^2 - \left(\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right)^2 \\
&= \left(\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right)\left(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right). \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Développer : niveau 1
- Développer : niveau 2
- Factoriser la différence de deux carrés : niveau 1
- Factoriser la différence de deux carrés : niveau 2
VIII
Le carré d'une somme et d'une différence
Proposition — Carré d'une somme et d'une différence
Le carré d'une somme et le carré d'une différence peuvent s'écrire : $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \quad\text{et}\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$ 
$$\begin{aligned} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) &&\text{(définition du carré)} \\
&= a(a+b)+b(a+b) &&\text{(propriété distributive)} \\
&= a^2+ab+ab+b^2 &&\text{(développer)} \\
&= a^2+2ab+b^2 &&\text{(regrouper les termes semblables)}. \end{aligned}$$ De même, $$\begin{aligned} (a-b)^2 &= (a-b)(a-b) &&\text{(définition du carré)} \\
&= a(a-b)-b(a-b) &&\text{(propriété distributive)} \\
&= a^2-ab-ab+b^2 &&\text{(développer)} \\
&= a^2-2ab+b^2 &&\text{(regrouper les termes semblables)}. \end{aligned}$$
Exemple
Développer et réduire \((x+2)^2\).
En utilisant la formule \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=x\) et \(b=2\) : $$\begin{aligned} (\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{2})^{2} &=\textcolor{colordef}{x}^{2}+2 \times \textcolor{colordef}{x} \times \textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}^{2} \\
&=x^{2}+4 x+4. \end{aligned}$$ Donc \((x+2)^2=x^2+4x+4\).
Exemple
Développer et réduire \((x-3)^2\).
Avec \(a = x\) et \(b = 3\) dans \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) : $$(x-3)^2 = x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9.$$ Le terme du milieu est soustrait — son coefficient est négatif : seul le double produit change de signe, le carré \(b^2\) reste positif.
Proposition — Trinômes de carrés parfaits
$$\begin{aligned} \textcolor{colordef}{a}^{2}+2 \textcolor{colordef}{a} \textcolor{colorprop}{b}+\textcolor{colorprop}{b}^{2} &= (\textcolor{colordef}{a}+\textcolor{colorprop}{b})^{2}\\
\textcolor{colordef}{a}^{2}-2 \textcolor{colordef}{a} \textcolor{colorprop}{b}+\textcolor{colorprop}{b}^{2} &= (\textcolor{colordef}{a}-\textcolor{colorprop}{b})^{2}\\
\end{aligned}$$ Exemple
Factoriser \(x^2+2x+1\).
On vérifie si cela correspond à la forme \(a^2+2ab+b^2\).
- Le premier terme est \(x^2\) : on pose \(a=x\).
- Le dernier terme est \(1=1^2\) : on pose \(b=1\).
- On vérifie si le terme du milieu est \(2ab\) : \(2(x)(1) = 2x\). Cela correspond.
Compétences à pratiquer
- Développer avec l'addition
- Développer avec la soustraction
- Factoriser les trinômes de carrés parfaits
IX
Simplifier des rapports algébriques
Une fraction est sous forme irréductible lorsqu'il n'y a plus de facteur commun entre le numérateur et le dénominateur — ce facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou un produit des deux. Pour simplifier une fraction algébrique, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on supprime chaque facteur commun. Un facteur commun peut aussi être une parenthèse entière, comme \((x-3)\).
Méthode — Simplifier une fraction algébrique
- Écrire le numérateur et le dénominateur sous forme de produits (factoriser les nombres et les lettres).
- Repérer chaque facteur qui apparaît à la fois en haut et en bas.
- Supprimer chaque facteur commun (une suppression en haut, une en bas, pour chacun).
- Multiplier ce qui reste.
Exemple
Simplification quand seul un nombre est commun : $$\dfrac{10x^2}{4} = \dfrac{\cancel{2}\times 5x^2}{\cancel{2}\times 2} = \dfrac{5x^2}{2}.$$ Simplification quand une lettre est aussi commune (valable pour \(x \neq 0\), car le dénominateur initial contient \(30x\)) : $$\dfrac{9x^3}{30x} = \dfrac{\cancel{3}\times 3 x^2 \times \cancel{x}}{\cancel{3}\times 10 \times \cancel{x}} = \dfrac{3x^2}{10}.$$ Exemple
Simplifier \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\) pour \(x \neq 3\).
Le numérateur est une différence de deux carrés : $$\dfrac{x^2-9}{x-3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \qquad (x \neq 3).$$ Factoriser fait apparaître la parenthèse commune \((x-3)\) — factoriser pour simplifier.
Compétences à pratiquer
- Simplifier les fractions algébriques
X
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Type brevet
- Quiz
Contrôle du chapitre
4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
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