Éducation Nationale Française · Quatrième

Nombres premiers (programme 2018, jusqu'en 2027)

⌚ ~146 min ▢ 16 blocs ✓ 73 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Nombres rationnels

I Multiples et diviseurs

Découverte

Léa a $51$ cartes. Peut-elle les partager équitablement entre ses $3$ amis ? Et avec $52$ cartes ?

Correction

Avec $51$ cartes : $51 = 3 \times 17$, la division ne laisse aucun reste — chaque ami reçoit exactement $17$ cartes. Avec $52$ cartes : $52 = 3 \times 17 + 1$, une carte reste — le partage équitable est impossible. Quand le reste est nul, on dit que $51$ est divisible par $3$ : c'est exactement l'idée que la divisibilité rend précise.

Définition — Relations de divisibilité

On dit qu'un entier naturel non nul $b$ divise un entier naturel $a$ si $a$ peut être obtenu en multipliant $b$ par un entier naturel $k$ : $$ a = k \times b $$ En d'autres termes, le nombre $a$ apparaît dans la table de multiplication de $b$.
On peut également utiliser les formulations suivantes :

$b$ est un diviseur de $a$
$a$ est divisible par $b$
$a$ est un multiple de $b$

Exemple

On considère les nombres $10$ et $5$.
Puisqu'on peut écrire $\textcolor{olive}{10} = \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{5}$, on peut dire que :

$\textcolor{colordef}{5}$ divise $\textcolor{olive}{10}$.
$\textcolor{colordef}{5}$ est un diviseur de $\textcolor{olive}{10}$.
$\textcolor{olive}{10}$ est divisible par $\textcolor{colordef}{5}$.
$\textcolor{olive}{10}$ est un multiple de $\textcolor{colordef}{5}$.

Les nombres $0$ et $1$ jouent des rôles particuliers pour la divisibilité :

$1$ divise tout nombre entier : $n = n \times 1$ ;
tout nombre entier non nul divise $0$ : $0 = n \times 0$ ;
voilà pourquoi la définition exige $b \neq 0$ : diviser par $0$ n'est jamais permis.

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Méthode — Vérifier la divisibilité

Pour vérifier si un nombre $a$ est divisible par un nombre non nul $b$, effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$.

Si le reste est zéro, alors $a$ est divisible par $b$.
Si le reste n'est pas zéro, alors $a$ n'est pas divisible par $b$.

Exemple

$13$ est-il divisible par $5$ ?

Correction

On effectue la division de $13$ par $5$ : $$\textcolor{olive}{13} = \textcolor{colordef}{5} \times \textcolor{colorprop}{2} + \textcolor{orange}{3}$$ Le reste est $\textcolor{orange}{3}$ (ce n'est pas zéro). Donc $\textcolor{olive}{13}$ n'est pas divisible par $\textcolor{colordef}{5}$.

Méthode — Déterminer tous les diviseurs par paires

Chercher les diviseurs par paires : pour un nombre entier naturel $n$ non nul, chaque diviseur $d$ vient avec son partenaire $n \div d$.
Partir de $1$ et tester $2\,;\,3\,;\,4\,;\,\dots$ dans l'ordre, en écrivant chaque paire trouvée.
S'arrêter quand les paires se croisent : dès que le candidat $d$ vérifie $d \times d > n$, tous les diviseurs positifs sont trouvés — au-delà, chaque diviseur a déjà été rencontré comme partenaire d'un plus petit. Si une paire a deux membres égaux ($d \times d = n$), ce diviseur ne compte qu'une fois.

Exemple

Déterminer tous les diviseurs de $60$.

Correction

On teste les candidats dans l'ordre, par paires : $$1 \times 60 \qquad 2 \times 30 \qquad 3 \times 20 \qquad 4 \times 15 \qquad 5 \times 12 \qquad 6 \times 10$$ Le candidat $7$ ne divise pas $60$ ($60 = 7 \times 8 + 4$). Le candidat suivant est $8$, et $8 \times 8 = 64 > 60$ : on s'arrête, les paires se sont croisées. $$\text{Diviseurs de } 60 : \; 1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,10\,;\,12\,;\,15\,;\,20\,;\,30\,;\,60 \quad (\text{12 diviseurs}).$$

Compétences à pratiquer

Déterminer la divisibilité
Reconnaître des multiples
Reconnaître des diviseurs
Déterminer tous les diviseurs : niveau 1
Déterminer tous les diviseurs : niveau 2

II Les critères de divisibilité

Les critères de divisibilité sont des méthodes rapides pour déterminer si un nombre entier est divisible par un autre, sans poser la division. Ces règles sont utiles pour simplifier les calculs et mieux comprendre les propriétés des nombres. Voici quelques critères de divisibilité courants :

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Définition — Nombres pairs et impairs

Un nombre entier est pair s'il est un multiple de $2$ ; son chiffre des unités est alors $0\,;\,2\,;\,4\,;\,6$ ou $8$.
Un nombre entier qui n'est pas pair est impair ; son chiffre des unités est alors $1\,;\,3\,;\,5\,;\,7$ ou $9$.

Exemple

Déterminer si $374$ et $481$ sont pairs ou impairs.

Correction

Le chiffre des unités de $374$ est $4$ : le nombre $374$ est pair (en effet $374 = 2 \times 187$).
Le chiffre des unités de $481$ est $1$ : le nombre $481$ est impair.

Proposition — Critères de divisibilité par 2 et 5

Un nombre entier est divisible par $2$ exactement lorsque son chiffre des unités est pair ($0\,;\,2\,;\,4\,;\,6$ ou $8$).
Un nombre entier est divisible par $5$ exactement lorsque son chiffre des unités est $0$ ou $5$.

Exemple

Déterminer si $946$ est divisible par $2$.

Correction

$946$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $6$, qui est pair.

Proposition — Critère de divisibilité par 10

Un nombre entier est divisible par $10$ exactement lorsque son chiffre des unités est $0$.

Exemple

Déterminer si $940$ et $945$ sont divisibles par $10$.

Correction

$940$ se termine par $0$ : il est divisible par $10$ (en effet $940 = 10 \times 94$).
$945$ se termine par $5$ : il n'est pas divisible par $10$.

Proposition — Critères de divisibilité par 3 et 9

Un nombre entier est divisible par $3$ exactement lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
Un nombre entier est divisible par $9$ exactement lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Exemple

Déterminer si $948$ est divisible par $3$.

Correction

$948$ est divisible par $3$ car la somme de ses chiffres, $9 + 4 + 8 = 21$, est divisible par $3$ ($21 = 3 \times 7$).

Exemple

Les nombres $7\,254$ et $1\,372$ sont-ils divisibles par $3$ ? Par $9$ ?

Correction

Pour $7\,254$ : la somme des chiffres est $7 + 2 + 5 + 4 = 18$, multiple de $9$ — donc $7\,254$ est divisible par $9$, et donc aussi par $3$ (tout multiple de $9$ est un multiple de $3$).
Pour $1\,372$ : la somme des chiffres est $1 + 3 + 7 + 2 = 13$, qui n'est multiple ni de $3$ ni de $9$ — donc $1\,372$ n'est divisible ni par l'un ni par l'autre.

Compétences à pratiquer

Déterminer la divisibilité par 2 et 5
Déterminer la divisibilité par 3 et 9
Déterminer le chiffre manquant

III Le nombre premier

Découverte

Nora a un collier de $91$ perles. Elle veut toutes les disposer en un rectangle complet — au moins deux rangées égales d'au moins deux perles, sans qu'il en reste. Le peut-elle ? Et avec $97$ perles ? Pour quels nombres de perles la file unique est-elle la seule disposition possible ?

Correction

Avec $91$ perles : $91 = 7 \times 13$, donc un rectangle de $7$ rangées de $13$ perles convient. Avec $97$ perles : $97$ est impair, la somme de ses chiffres $16$ n'est pas un multiple de $3$, il ne se termine ni par $0$ ni par $5$, et $97 = 7 \times 13 + 6$ ; donc $2$ ; $3$ ; $5$ ou $7$ rangées ne conviennent pas, ni $4$ ; $6$ ; $8$ ou $9$ rangées (on pourrait les regrouper en $2$ ou $3$ rangées). Des rangées de $2$ à $9$ suffisent, car $10 \times 10 = 100 > 97$ : avec $10$ rangées ou plus, chaque rangée aurait moins de $10$ perles, et le rectangle tourné d'un quart de tour aurait moins de $10$ rangées — aucun rectangle n'existe à part la file $1 \times 97$. Parmi les nombres de perles strictement supérieurs à $1$, ceux dont la seule disposition est la file unique sont exactement les nombres premiers (une seule perle n'a rien à disposer, et $1$ n'est pas premier).

Définition — Nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier plus grand que $1$ qui a exactement deux diviseurs différents : $1$ et lui-même.
Un nombre entier plus grand que $1$ qui n'est pas premier est appelé un nombre composé.

Exemple

Indiquer si $6$ est un nombre premier.

Correction

Comme $2 \times 3 = 6$, $6$ n'est pas un nombre premier car il est divisible par $2$ et $3$, en plus de $1$ et $6$. Donc $6$ est un nombre composé.

Exemple

Indiquer si $5$ est un nombre premier.

Correction

$5$ est un nombre premier car il n'est divisible (sans reste) que par $1$ et par $5$. On ne peut pas le diviser exactement par $2$ ; $3$ ou $4$ (il y aurait un reste).

Proposition — Les 25 premiers nombres premiers

Voici la liste des 25 premiers nombres premiers : $$2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,11\,;\,13\,;\,17\,;\,19\,;\,23\,;\,29\,;\,31\,;\,37\,;\,41\,;\,43\,;\,47\,;\,53\,;\,59\,;\,61\,;\,67\,;\,71\,;\,73\,;\,79\,;\,83\,;\,89\,;\,97$$

Méthode — Tester si un nombre est premier

Pour décider si un nombre entier $n$ plus grand que $1$ est premier :

Vérifier les critères rapides : si $n$ est pair, ou si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$, ou s'il se termine par $0$ ou $5$, alors $n$ est composé (sauf si $n$ est $2$ ; $3$ ou $5$ lui-même).
Sinon, tester les nombres premiers suivants les uns après les autres ($7$ ; $11$ ; $13$ ; …) : diviser $n$ par chacun.
S'arrêter dès que le nombre premier $p$ à tester vérifie $p \times p > n$ : si aucun nombre premier avant ce point ne divise $n$, alors $n$ est premier. En effet, si $n$ est composé, il s'écrit $n = a \times b$ avec $1 < a \leq b$, donc $a \times a \leq n$. Et le plus petit diviseur de $n$ supérieur à $1$ est nécessairement premier : s'il ne l'était pas, il aurait lui-même un diviseur plus petit, qui diviserait $n$. Un nombre composé a donc toujours un facteur premier $p$ avec $p \times p \leq n$.

Exemple

$101$ est-il un nombre premier ?

Correction

$101$ est impair, la somme de ses chiffres $1 + 0 + 1 = 2$ n'est pas un multiple de $3$, et il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ : ni $2$, ni $3$, ni $5$ ne le divise. On teste les nombres premiers suivants : $101 = 7 \times 14 + 3$, donc $7$ ne le divise pas. Le nombre premier suivant est $11$, et $11 \times 11 = 121 > 101$ : on s'arrête. Aucun nombre premier jusqu'au point d'arrêt ne divise $101$ : le nombre $101$ est premier.

Culture : le crible d'Ératosthène. Il y a plus de deux mille ans, le savant grec Ératosthène a décrit une méthode pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à une borne choisie : écrire les nombres de $2$ jusqu'à la borne, garder $2$ et barrer ses multiples plus grands, garder le nombre suivant non barré ($3$) et barrer ses multiples plus grands, et ainsi de suite. Les nombres jamais barrés sont exactement les nombres premiers. Euclide, un peu plus tôt, a démontré que la liste des nombres premiers ne s'arrête jamais : il existe une infinité de nombres premiers.

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Compétences à pratiquer

Vérifier si un nombre est premier
Décider si un nombre est premier

IV La décomposition en facteurs premiers

Méthode — Décomposition en facteurs premiers

La décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel supérieur à $1$ consiste à écrire ce nombre comme un produit uniquement de nombres premiers. En d'autres termes, il s'agit de déterminer quels nombres premiers multipliés entre eux donnent le nombre de départ.

Exemple

Déterminer la décomposition en facteurs premiers de $12$.

Correction

La décomposition en facteurs premiers est $12 = 2 \times 2 \times 3$.
L'ordre n'est pas important. On peut écrire $12 = 3 \times 2 \times 2$.
La décomposition en facteurs premiers n'est pas $12 = 2 \times 6$ car $6$ est un nombre composé.

Méthode — Arbre de facteurs

La méthode de l'arbre de facteurs consiste à décomposer un nombre composé en facteurs plus petits, puis à continuer à décomposer ces facteurs jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des facteurs premiers.

Placer le nombre en haut de l'arbre de facteurs.
Vérifier si le nombre est premier.
1. Si le nombre est premier : L'entourer : la branche est terminée.
2. Si le nombre est composé : Le décomposer en deux facteurs plus petits. Écrire ces deux facteurs comme des branches en dessous du nombre. Répéter l'étape 2 pour chacun de ces nouveaux facteurs.
La décomposition en facteurs premiers est le produit de tous les nombres premiers entourés dans l'arbre.

Exemple

Déterminer la décomposition en facteurs premiers de $24$.

Correction

Étape 1 :
Étape 2 : $24$ est un nombre composé. $24 = 2 \times 12$.
Étape 3 : $12$ est un nombre composé. $12 = 2 \times 6$.
Étape 4 : $6$ est un nombre composé. $6 = 2 \times 3$.

Une décomposition en facteurs premiers est $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$.

Proposition — Existence et unicité de la décomposition

Tout nombre entier plus grand que $1$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique : quelle que soit la méthode utilisée (divisions successives, arbre de facteurs…), les mêmes facteurs premiers apparaissent toujours, chacun le même nombre de fois — seul leur ordre peut changer. (Admis.)

Une décomposition en facteurs premiers s'écrit habituellement en notation avec exposants : les facteurs répétés sont regroupés en puissances, chaque nombre premier apparaissant exactement une fois, dans l'ordre croissant. Cette forme canonique rend les décompositions faciles à comparer.

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Exemple

Écrire la décomposition en facteurs premiers de $360$ avec des exposants.

Correction

En divisant successivement par des nombres premiers : $$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5.$$ En regroupant les facteurs répétés en puissances : $$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5.$$

Méthode — Rendre une fraction irréductible par les décompositions en facteurs premiers

Pour rendre une fraction de deux nombres entiers naturels non nuls irréductible à l'aide des décompositions en facteurs premiers :

Écrire la décomposition en facteurs premiers du numérateur et celle du dénominateur.
Barrer les facteurs communs aux deux produits, un par un : chaque facteur barré en haut s'apparie avec un seul facteur barré en bas (si $2$ apparaît trois fois en haut et deux fois en bas, on n'en barre que deux de chaque côté). Diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction.
Multiplier les facteurs restants en haut et en bas. Il ne reste aucun facteur commun autre que $1$ : la fraction obtenue est irréductible.

Exemple

Rendre la fraction $\dfrac{84}{126}$ irréductible.

Correction

En divisant successivement par des nombres premiers : $$84 = 2^2 \times 3 \times 7 \qquad \text{et} \qquad 126 = 2 \times 3^2 \times 7.$$ On barre les facteurs communs, un $2$, un $3$ et un $7$ : $$\dfrac{84}{126} = \dfrac{2 \times \cancel{2} \times \cancel{3} \times \cancel{7}}{\cancel{2} \times 3 \times \cancel{3} \times \cancel{7}} = \dfrac{2}{3}.$$ Les facteurs restants, $2$ en haut et $3$ en bas, ont $1$ pour seul facteur commun : la fraction $\dfrac{2}{3}$ est irréductible. Contrôle : les facteurs barrés ont pour produit $2 \times 3 \times 7 = 42$, et $2 \times 42 = 84$, $3 \times 42 = 126$.

Compétences à pratiquer

Décomposer en produit de facteurs premiers : niveau 1
Décomposer en produit de facteurs premiers : niveau 2
Décomposer en produit de facteurs premiers : niveau 3
Rendre irréductible par les décompositions en facteurs premiers : niveau 1
Rendre irréductible par les décompositions en facteurs premiers : niveau 2

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Quiz