Éducation Nationale Française · Quatrième
Racine carrée
I
Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
- Le carré d'un nombre est le résultat de ce nombre multiplié par lui-même. Par exemple, \(3\) au carré est \(3 \times 3\), ce qui s'écrit \(3^2\).
\(3^2 = 9\). L'aire d'un carré de côté \(3\) est \(9\) unités d'aire. - La racine carrée est l'opération inverse : elle « défait » le carré (pour des nombres positifs ou nuls).
La longueur du côté est \(\sqrt{9} = 3\), car \(3 \times 3 = 9\).
Définition — Racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif ou nul \(a\) (c'est-à-dire \(a \ge 0\)), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne \(a\). $$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$
Remarque
- Le symbole de la racine carrée \(\sqrt{\quad}\) désigne toujours la racine positive ou nulle. Par exemple, \(\sqrt{25} = 5\). C'est une erreur courante de penser que \(\sqrt{25}\) vaut \(\pm 5\) (lire : plus ou moins \(5\)).
Bien qu'il soit vrai que \(5^2 = 25\) et \((-5)^2 = 25\), le symbole \(\sqrt{25}\) ne désigne que la valeur positive, qui est \(5\). - Pourquoi ne peut-on pas calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif ?
On considère \(\sqrt{-9}\). Pour déterminer cette valeur, il faudrait un nombre qui, multiplié par lui-même, donne \(-9\).- Un nombre positif au carré est positif (\(3 \times 3 = 9\)).
- Un nombre négatif au carré est aussi positif (\((-3) \times (-3) = 9\)).
Définition — Carrés parfaits
Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un entier. La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier. Exemple
Les carrés parfaits des entiers de \(0\) à \(12\) sont : $$ 0\,;\,1\,;\,4\,;\,9\,;\,16\,;\,25\,;\,36\,;\,49\,;\,64\,;\,81\,;\,100\,;\,121\,;\,144. $$ Leurs racines carrées sont ces entiers eux-mêmes : $$ \sqrt{0} = 0\,; \quad \sqrt{1} = 1\,; \quad \sqrt{4} = 2\,; \quad \sqrt{9} = 3\,; \quad \sqrt{16} = 4\,; \quad \dots $$ $$ \sqrt{81} = 9\,; \quad \sqrt{100} = 10\,; \quad \sqrt{121} = 11\,; \quad \sqrt{144} = 12. $$ Exemple
La définition s'applique aussi aux fractions : $$\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \quad \text{car} \quad \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}, \qquad \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4} \quad \text{car} \quad \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}.$$ Exemple
La définition s'applique aussi aux nombres décimaux : $$\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \quad \text{car} \quad 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04,$$ $$\sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \quad \text{car} \quad 1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44.$$ On peut aussi lire un nombre décimal comme une fraction : \(0{,}04 = \dfrac{4}{100}\), et \(\dfrac{2}{10} \times \dfrac{2}{10} = \dfrac{4}{100}\), donc \(\sqrt{0{,}04} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\). Attention : pour un nombre compris entre \(0\) et \(1\), la racine carrée est plus grande que le nombre — \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) et \(0{,}2 > 0{,}04\) — alors que pour un nombre plus grand que \(1\) elle est plus petite : \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) et \(1{,}2 < 1{,}44\). Compétences à pratiquer
- Identifier les carrés parfaits et les racines carrées
- Calculer les racines carrées des carrés parfaits
- Calculer les racines carrées de fractions
- Calculer les racines carrées de nombres décimaux
II
Calculer des racines carrées
Alors que les racines carrées des carrés parfaits sont faciles à calculer, la plupart des nombres ne sont pas des carrés parfaits. On peut estimer leurs racines carrées ou utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur plus précise.
Méthode — Encadrer une racine carrée
Quand un nombre positif n'est pas un carré parfait, sa racine carrée n'est pas entière, mais on peut la situer entre deux entiers consécutifs. Comme une aire plus grande donne un côté plus long, la racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs. - Encadrer le nombre par les deux carrés parfaits consécutifs qui l'entourent.
- Prendre les racines carrées : la racine carrée est encadrée par deux entiers consécutifs.
Exemple
Encadrer \(\sqrt{13}\) par deux entiers consécutifs.
\(13\) n'est pas un carré parfait. $$\begin{aligned}[t] 9 &< 13 < 16 && \text{(\(9 = 3^2\) et \(16 = 4^2\) sont des carrés parfaits consécutifs)}\\
\sqrt{9} &< \sqrt{13} < \sqrt{16} && \text{(la racine carrée conserve l'ordre)}\\
3 &< \sqrt{13} < 4. \end{aligned}$$ 
Méthode — Utiliser une calculatrice
Sur la plupart des calculatrices, on peut calculer une racine carrée en utilisant la touche \(\boxed{\sqrt{\;}}\). Exemple
Utiliser une calculatrice pour calculer \(\sqrt{7}\), arrondi à \(2\) chiffres après la virgule.
En entrant \(\sqrt{7}\) dans une calculatrice, on obtient environ \(2{,}645751\ldots\)
Arrondi à \(2\) chiffres après la virgule, \(\sqrt{7} \approx 2{,}65\).
Arrondi à \(2\) chiffres après la virgule, \(\sqrt{7} \approx 2{,}65\).
Un carré d'aire \(2\) a bien un côté : on peut dessiner ce carré. Mais quelle est sa longueur ? L'encadrement donne $$1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2,$$ $$\text{puis} \qquad 1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2,$$ donc le côté est compris entre \(1{,}41\) et \(1{,}42\). Une décimale de plus, et il est compris entre \(1{,}414\) et \(1{,}415\) (\(1{,}414^2 = 1{,}999396\) et \(1{,}415^2 = 2{,}002225\)). On peut continuer indéfiniment sans jamais tomber sur \(2\) : aucun nombre décimal n'a \(2\) pour carré — un fait que l'on peut démontrer, et pas seulement constater. Un nombre qui n'est pas non plus le quotient de deux entiers est appelé nombre irrationnel, et \(\sqrt{2}\) en est un. Attention : un développement décimal qui ne s'arrête jamais ne suffit pas à être irrationnel — \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) ne s'arrête jamais et est pourtant une fraction. Ainsi le côté d'un carré d'aire \(2\) est une longueur que l'on peut dessiner mais que l'on ne peut pas écrire exactement avec des décimales : seul \(\sqrt{2}\) la nomme exactement.
Compétences à pratiquer
- Encadrer une racine carrée
- Utiliser une calculatrice
- Déterminer le côté d'un carré
- Encadrer une racine carrée au dixième
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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