Éducation Nationale Française · Quatrième
Puissances
I
La notation puissance
Proposition — Les carrés à connaître
Les carrés des entiers de \(0\) à \(12\) méritent d'être connus par cœur : | \(0^2 = 0\) | \(1^2 = 1\) | \(2^2 = 4\) | \(3^2 = 9\) | \(4^2 = 16\) | \(5^2 = 25\) | \(6^2 = 36\) |
| \(7^2 = 49\) | \(8^2 = 64\) | \(9^2 = 81\) | \(10^2 = 100\) | \(11^2 = 121\) | \(12^2 = 144\) |
Les puissances sont un moyen efficace d'exprimer une multiplication répétée. Elles aident à travailler plus facilement avec de grands nombres.
On dispose d'un échiquier. On place deux grains de blé sur la première case, quatre grains sur la deuxième case, huit grains sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains sur chaque case suivante. 
Combien de grains de blé y a-t-il sur la dernière case d'un échiquier de 64 cases ?
Au lieu d'écrire \(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\), on peut écrire ce produit sous la forme \(2^{64}\).
Cela signifie qu'il y a \(2^{64}\) grains sur la dernière case. Une calculatrice courante n'affiche que le début de ce nombre ; en entier, il s'écrit avec vingt chiffres : $$2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616.$$ C'est un nombre énorme.
| Numéro de la case | Nombre de grains |
| \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(2 \times 2\) |
| \(3\) | \(2 \times 2 \times 2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(64\) | \(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\) |
Cela signifie qu'il y a \(2^{64}\) grains sur la dernière case. Une calculatrice courante n'affiche que le début de ce nombre ; en entier, il s'écrit avec vingt chiffres : $$2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616.$$ C'est un nombre énorme.
Définition — Puissance
Une puissance est l'écriture d'une multiplication répétée d'un nombre par lui-même : Pour un nombre \(a\) et un entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\), $$ a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}. $$
Définition — Vocabulaire
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Valeur} & \text{Multiplication répétée} & \text{Puissance} & \text{À l'oral} \\
\hline 2 & 2 & 2^1 & 2\ \text{ou}\ 2\ \text{puissance}\ 1 \\
4 & 2 \times 2 & 2^2 & 2\ \text{au carré ou}\ 2\ \text{puissance}\ 2 \\
8 & 2 \times 2 \times 2 & 2^3 & 2\ \text{au cube ou}\ 2\ \text{puissance}\ 3 \\
16 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^4 & 2\ \text{puissance}\ 4 \\
32 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^5 & 2\ \text{puissance}\ 5 \\
\hline \end{array} $$ Compétences à pratiquer
- Calculer des carrés et des cubes
- Écrire une multiplication répétée sous forme d'une puissance
- Calculer des puissances
- Écrire des nombres sous forme de puissances de 10
II
Le signe d'une puissance
On a vu que \((-3)^2 = 9\) et \(-3^2 = -(3^2) = -9\) : les parenthèses font de \(-3\) la base, alors que sans elles le carré ne porte que sur \(3\). Sans écrire tous les facteurs, peut-on prédire le signe de \((-2)^5\) ? De \((-2)^6\) ? Qu'est-ce qui décide du signe d'une puissance ?
Proposition — Signe d'une puissance
Pour tout entier \(n \geq 1\) : une puissance d'un nombre négatif est le produit de \(n\) facteurs négatifs. Par la règle du signe d'un produit : - si \(n\) est pair, la puissance est positive ;
- si \(n\) est impair, la puissance est négative.
Exemple
Donner le signe, puis la valeur, de \((-2)^5\) et de \((-10)^4\).
$$\begin{aligned} (-2)^5 &: \text{ l'exposant } 5 \text{ est impair, la puissance est négative} ;\quad 2^5 = 32, \text{ donc } (-2)^5 = \textcolor{colorprop}{-32.}\\
(-10)^4 &: \text{ l'exposant } 4 \text{ est pair, la puissance est positive} ;\quad 10^4 = 10\,000, \text{ donc } (-10)^4 = \textcolor{colordef}{+10\,000.} \end{aligned}$$ 
Compétences à pratiquer
- Déterminer le signe et la valeur d'une puissance
III
Multiplier des puissances d'un même nombre
Peut-on écrire \(7^3 \times 7^2\) sous la forme d'une seule puissance de \(7\) ? On développe : $$\begin{aligned} \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}} \times \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}} &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}\,\text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\
&= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\
&= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}} \end{aligned}$$ De manière générale, lorsque l’on multiplie un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\) par ce même nombre élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c’est-à-dire $$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}},$$ le résultat est égal à \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la somme des exposants : $$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}.$$
Proposition — Loi des exposants 1
Pour \(a\neq 0\) et pour des entiers \(m\) et \(n\), $$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}$$
$$\begin{aligned} \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} &= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}\ \text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\
&= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\
&= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}} \end{aligned}$$ Ici \(m\) et \(n\) sont des entiers strictement positifs ; la formule s'étend à tous les entiers grâce à la définition des exposants négatifs (admis).
Exemple
Simplifier \(5^2\times 5^4\).
$$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}} \times \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{4}} &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{olive}{4}} && \text{(même base, on ajoute les exposants)} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{6}. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Simplifier des produits de puissances
- Simplifier des produits de puissances d'un nombre relatif
- Identifier les bonnes écritures avec des puissances
IV
Multiplier des puissances de même exposant
Peut-on écrire \((3 \times 5)^2\) avec une puissance de chaque facteur ? On développe : $$\begin{aligned} (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{2}} &= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \times (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\
&= \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \\
&= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colordef}{3}) \times (\textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\
&= \textcolor{colordef}{3}^{\textcolor{olive}{2}} \times \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{2}} \end{aligned}$$ De manière générale, lorsqu'on multiplie deux nombres \(\textcolor{colordef}{a}\) et \(\textcolor{colorprop}{b}\), puis qu'on élève le produit à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire : $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}},$$ le résultat est que chaque facteur est élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\) : $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}.$$
Proposition — Loi des exposants 4
Pour des nombres non nuls \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\), $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}$$ Exemple
Écrire \((\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}}\) avec une puissance de chaque facteur.
$$(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}} = \textcolor{colordef}{2}^{\textcolor{olive}{3}} \times \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{3}}$$
Compétences à pratiquer
- Simplifier les puissances d'un produit
- Écrire un produit sous la forme d'une seule puissance
- Choisir la bonne loi
V
Enchaîner les opérations
L'ordre des opérations est un ensemble de règles qui indique quelles opérations faire en premier dans une expression mathématique.
Définition — Ordre des opérations
Dans une expression, on effectue les calculs dans cet ordre des opérations : - d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures ;
- puis les puissances ;
- puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
- enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple
Calculer \((1+2) \times 2^3 + 4\).
$$ \begin{aligned}[t] (1+2) \times 2^3 + 4 &= \textcolor{colordef}{3} \times 2^3 + 4 && (\text{parenthèses : } 1+2 = 3) \\
&= 3 \times \textcolor{colordef}{8} + 4 && (\text{puissance : } 2^3 = 8) \\
&= \textcolor{colordef}{24} + 4 && (\text{multiplication : } 3 \times 8 = 24) \\
&= \textcolor{colordef}{28} && (\text{addition : } 24 + 4 = 28) \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer des expressions avec des puissances en deux étapes
- Calculer des expressions avec des puissances en trois étapes
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes avec des puissances
- Quiz
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