Éducation Nationale Française · Quatrième
Calcul littéral
I
L'expression littérale
Définition — Expression
Une expression est un calcul écrit avec des nombres, des lettres et des signes d'opérations tels que \(+\), \(-\), \(\times\), \(\div\) et \(\sqrt{\ }\), sans signe égal. Un nombre ou une lettre seuls sont aussi des expressions. Exemple
Définition — Formule
Une formule est une égalité qui relie des grandeurs : elle exprime l'une d'elles, la variable isolée, en fonction des autres. Ses lettres sont des variables : elles prennent beaucoup de valeurs. Les formules viennent souvent du monde réel, de la physique ou de la géométrie. Exemple
Pour un triangle : 
, \(A = \dfrac{b \times h}{2}\) est la formule de l'aire. 
Définition — Substituer
Substituer consiste à remplacer une variable dans une expression ou une équation par une valeur donnée. Méthode — Évaluer
Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace chaque variable par un nombre puis on effectue les opérations arithmétiques. Exemple
$$\begin{aligned}2x + 4 &= 2 \times \textcolor{olive}{(5)} + 4 \quad (\text{remplacer } \textcolor{olive}{x} \text{ par } \textcolor{olive}{5}) \\
&= 10 + 4 \\
&= 14\end{aligned}$$ Il y a 14 billes. 
Compétences à pratiquer
- Écrire des expressions
- Écrire les formules usuelles
- Lire une expression en mots
- Évaluer une expression
II
Réduire et multiplier
Définition — Notation du produit
On peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est suivi d'une variable ou d'une parenthèse. Exemple
- \(2 \times x = 2x\)
- \(2 \times (L+l) = 2(L+l)\)
Définition — Multiplication itérée
Pour un entier \(n \geq 1\) : $$\overbrace{x \times x \times \ldots \times x}^{n\text{ facteurs}} = x^n$$ Exemple
Pour un cercle :
, simplifier la formule de l'aire \(A = \pi \times r \times r\).
$$\begin{aligned}A &= \pi \times r \times r \\
&= \pi r^2\end{aligned}$$
Méthode — Simplifier en regroupant les termes semblables
Simplifier une expression en regroupant les termes semblables consiste à regrouper des termes qui ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances. - Identifier les termes semblables : Les termes semblables ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances. Par exemple, \(3x\) et \(5x\) sont semblables, mais \(3x\) et \(3x^2\) ne le sont pas.
- Regrouper les termes semblables : Ajouter ou soustraire les coefficients (partie numérique) des termes semblables. La partie variable reste la même.
Exemple
Simplifier l'expression : \(2x + 4 + x - 2\)
$$\begin{aligned}[t]2x + 4 + x - 2 &= \textcolor{colordef}{2x} \textcolor{colorprop}{+4} \textcolor{colordef}{+x} \textcolor{colorprop}{-2} &&(\text{identifier les termes semblables}) \\
&= \textcolor{colordef}{(2+1)x} + \textcolor{colorprop}{4-2} &&(\text{regrouper les termes semblables}) \\
&= \textcolor{colordef}{3x} + \textcolor{colorprop}{2} &&(\text{simplifier})\end{aligned}$$
Proposition — Réduire un produit
Pour multiplier des termes comme \(3x\) et \(2x\), on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles — l'ordre des facteurs ne compte pas : $$3x \times 2x = (3 \times 2) \times (x \times x) = 6x^2.$$ En particulier, \(x \times x = x^2\). Quand on réduit une somme, les termes semblables se regroupent : les termes en \(x^2\) entre eux, les termes en \(x\) entre eux. Exemple
Réduire les produits : \(5 \times 2x\) ; \(3x \times 2x\) ; \(x \times 4x\).
$$\begin{aligned}[t] 5 \times 2x &= (5 \times 2) \times x && {\scriptstyle\text{(regrouper les nombres)}}\\
&= \textcolor{colordef}{10x}\\
3x \times 2x &= (3 \times 2) \times (x \times x) && {\scriptstyle\text{(regrouper les nombres, regrouper les lettres)}}\\
&= \textcolor{colordef}{6x^2} && {\scriptstyle(x \times x = x^2)}\\
x \times 4x &= 4 \times (x \times x) \\
&= \textcolor{colordef}{4x^2} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Regrouper les termes semblables
- Simplifier des expressions
- Réduire des produits de termes
- Simplifier avec la commutativité et l'associativité
- Réduire avec des carrés
III
Développer
Le grand rectangle ci-dessous est divisé en deux rectangles plus petits. Exprimer l'aire totale du grand rectangle de deux manières différentes. 
- Méthode 1 : Somme des parties
L'aire totale est la somme des aires des deux rectangles plus petits. $$\text{Aire totale} = \textcolor{colordef}{\text{Aire 1}} + \textcolor{colorprop}{\text{Aire 2}} = \textcolor{colordef}{ab} + \textcolor{colorprop}{ac}$$
- Méthode 2 : Aire du tout
La longueur totale de la base est \(b+c\) et la hauteur est \(a\). $$\text{Aire totale} = \textcolor{olive}{a(b+c)}$$
Proposition — Distributivité de la multiplication
Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(c\), la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction : - Addition :
- Soustraction :
Méthode — Somme ou produit ?
Les identités distributives font passer d'une forme d'expression à une autre. Pour décider quelle forme a une expression, regarder sa dernière opération — celle que l'on effectuerait en dernier en calculant : - dans \(3(x+2)\), on calcule la parenthèse, puis on multiplie : la dernière opération est une multiplication — l'expression est un produit ;
- dans \(3x+2\), on calcule \(3x\), puis on ajoute \(2\) : la dernière opération est une addition — l'expression est une somme.
Exemple
Somme ou produit ? Décider pour chaque expression : $$5(x+1) \qquad ; \qquad 5x+1 \qquad ; \qquad 2(x+3)+1$$ - \(5(x+1)\) : on calcule la parenthèse, puis on multiplie par \(5\) — un produit.
- \(5x+1\) : on calcule \(5x\), puis on ajoute \(1\) — une somme.
- \(2(x+3)+1\) : on calcule la parenthèse, on multiplie par \(2\), puis on ajoute \(1\) — les parenthèses suggèrent un produit, mais la dernière opération est l'addition du \(1\) : une somme.
Définition — Développer
Développer consiste à utiliser la distributivité pour écrire un produit avec des parenthèses sous la forme d'une somme (ou d'une différence) de termes. 
Exemple
Développer et réduire : \(x(2x+3)\).
$$\begin{aligned}[t] x(2x + 3) &= x \times 2x + x \times 3 && {\scriptstyle\text{(distributivité)}}\\
&= \textcolor{colordef}{2x^2 + 3x} && {\scriptstyle(x \times 2x = 2x^2)} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Développer avec l'addition : niveau 1
- Développer avec l'addition : niveau 2
- Développer avec l'addition : niveau 3
- Développer avec la soustraction : niveau 1
- Développer avec la soustraction : niveau 2
- Développer avec la soustraction : niveau 3
IV
Factoriser
Factoriser par un facteur commun, c'est lire la distributivité de droite à gauche : au lieu de développer des parenthèses, on cherche un facteur commun à mettre en facteur pour introduire des parenthèses.
Proposition — Factorisation par un facteur commun
Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(c\) : Exemple
Factoriser \(2x+2\).
$$\begin{aligned} 2x+2&=\textcolor{colorprop}{2}\times x +\textcolor{colorprop}{2}\times 1\\
&=\textcolor{colorprop}{2}(x+1). \end{aligned}$$
Exemple
Factoriser : \(x^2 + 6x\).
$$\begin{aligned}[t] x^2 + 6x &= \textcolor{colorprop}{x} \times x + \textcolor{colorprop}{x} \times 6 && {\scriptstyle\text{(le facteur commun est } \textcolor{colorprop}{x})}\\
&= \textcolor{colorprop}{x}(x + 6) \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Factoriser par le facteur commun : niveau 1
- Factoriser par le facteur commun : niveau 2
V
Produire des formules
Méthode — Construire une formule
Pour construire une formule à partir d'une description ou d'un motif : - Définir les variables : Attribuer des symboles (par ex., \(x, y, C\)) pour représenter les quantités concernées.
- Identifier la relation : Décrire avec des mots comment les variables sont connectées. Chercher un montant de départ fixe (une constante) et un taux de variation (un coefficient), ou un autre motif qui les relie.
- Traduire en algèbre : Écrire la relation sous forme de formule.
Exemple
Un taxi facture des frais initiaux de \(3\Euro \), plus \(2\Euro \) pour chaque kilomètre parcouru. Construire une formule donnant le coût total, \(C\), d'un trajet de \(d\) kilomètres. - Les variables sont définies : \(C\) pour le coût total et \(d\) pour la distance en kilomètres.
- La relation est : le coût total est égal aux frais fixes de \(3\Euro \) plus \(2\Euro \) multipliés par le nombre de kilomètres.
- La formule est : $$C = 2d + 3$$
Exemple
Un mécanicien facture \(40\)~€ de déplacement, puis \(30\)~€ par heure. Léa propose la formule \(M = 40x + 30\) pour un travail qui prend \(x\) heures. Tester la vraisemblance de sa formule, sachant qu'une intervention de \(2\) heures coûte \(100\)~€.
On remplace \(x\) par la valeur simple \(2\) dans la formule de Léa : $$M = 40 \times 2 + 30 = 110.$$ Le coût réel est de \(100\)~€ : sa formule n'est pas vraisemblable. La formule \(M = 40 + 30x\) donne \(40 + 30 \times 2 = \textcolor{colordef}{100}\), qui concorde : tester une valeur simple repère la formule fausse.
Compétences à pratiquer
- Écrire les formules pour le périmètre et l'aire
- Construire des formules
VI
Démontrer par le calcul littéral
Zoé affirme : « La somme de deux nombres impairs est toujours paire. »
Vérifier son affirmation avec \(3 + 5\), avec \(7 + 13\), puis avec \(9 + 21\). Ces trois essais donnent raison à Zoé — mais peut-on être sûr que l'affirmation est vraie pour tous les nombres impairs, sans les essayer tous ?
Vérifier son affirmation avec \(3 + 5\), avec \(7 + 13\), puis avec \(9 + 21\). Ces trois essais donnent raison à Zoé — mais peut-on être sûr que l'affirmation est vraie pour tous les nombres impairs, sans les essayer tous ?
Définition — Écriture littérale des nombres pairs et impairs
Pour tout nombre entier \(n\) : - le nombre \(2n\) est pair — c'est le double de \(n\) ; tout nombre pair peut s'écrire sous cette forme ;
- le nombre \(2n + 1\) est impair — c'est un nombre pair plus un ; tout nombre impair peut s'écrire sous cette forme.
Méthode — Démontrer en développant et en factorisant
Tester des exemples ne peut que rendre une affirmation plausible ; pour la démontrer pour tous les nombres : - Écrire les nombres sous forme littérale : \(2n\) pour un nombre pair, \(2n+1\) pour un impair, \(n\) et \(n+1\) pour des nombres consécutifs… Utiliser des lettres différentes, comme \(n\) et \(m\), pour des nombres choisis indépendamment.
- Calculer avec les lettres (développer, réduire, factoriser).
- Lire la forme du résultat — un double \(2(\ldots)\), un multiple \(3(\ldots)\)… — et la relier à l'affirmation : cette forme démontre la propriété pour tout nombre entier.
Exemple
Démontrer l'affirmation de Zoé : la somme de deux nombres impairs est toujours paire.
Soit \(2n + 1\) et \(2m + 1\) deux nombres impairs (\(n\) et \(m\) entiers — deux lettres différentes, car les deux nombres impairs sont choisis indépendamment). $$\begin{aligned}[t] (2n + 1) + (2m + 1) &= 2n + 2m + 2 && {\scriptstyle\text{(supprimer les parenthèses et réordonner)}}\\
&= 2(n + m + 1) && {\scriptstyle\text{(factoriser par } 2)} \end{aligned}$$ La somme est le double du nombre entier \(n + m + 1\) : elle est paire, pour tous les choix des deux nombres impairs. Zoé a raison. 
Réfuter par un contre-exemple
Pour démontrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit. Par exemple, « tout nombre impair est premier » est faux, car \(9\) est impair et \(9 = 3 \times 3\) n'est pas premier. Aucun nombre d'essais réussis ne peut démontrer une affirmation qui porte sur une infinité de nombres — mais un seul contre-exemple la réfute.
Compétences à pratiquer
- Démontrer des propriétés des nombres pairs et impairs
- Démontrer avec des programmes de calcul
VII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes avec le calcul littéral
- Quiz
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