Éducation Nationale Française · Quatrième
Puissances de dix et notation scientifique (programme 2018, jusqu'en 2027)
I
Les exposants négatifs
Pour comprendre les exposants négatifs, on regarde le schéma de la multiplication par \(2\) : 
À partir de ce schéma, on observe : 
On constate alors :
- \(2^1 = 2\)
- \(2^2 = 2 \times 2\)
- \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\)
- \(2^0 = 1\)
- \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\)
- \(2^{-2} = \dfrac{1}{2 \times 2}\)
- \(2^{-3} = \dfrac{1}{2 \times 2 \times 2}\)
Définition — Exposants négatifs et exposant nul
Pour un nombre non nul \(a\) et un entier positif non nul \(n\), on prolonge la définition de la puissance aux exposants négatifs en posant : $$\begin{aligned}[t] a^{-n} &= \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}} \\
&= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \qquad \text{et} \qquad a^0 = 1 \quad (a \neq 0).$$ En particulier, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\). Un exposant négatif signifie donc que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante. Exemple
Écrire \(3^{-2}\) sous forme de fraction.
$$\begin{aligned}[t] 3^{-2} &= \dfrac{1}{3 \times 3} \\
&= \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Écrire les exposants négatifs sous forme de fractions
- Écrire les fractions sous forme d'exposants négatifs
- Calculer avec l'exposant zéro
- Combiner exposants négatifs et opérations
II
La notation scientifique
Puissances de dix
Le système de numération est en base dix : les puissances de dix sont les premières à connaître. Un exposant positif compte les zéros après le \(1\) ; un exposant négatif compte les chiffres après la virgule, le chiffre \(1\) étant le dernier : $$10^3 = 1\,000, \qquad 10^2 = 100, \qquad 10^1 = 10, \qquad 10^0 = 1, \qquad 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1, \qquad 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01, \qquad 10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001.$$ En général, pour un entier naturel \(n \geq 1\), \(10^n\) s'écrit \(1\) suivi de \(n\) zéros, et \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\) s'écrit \(0{,}0\ldots01\) avec \(n\) chiffres après la virgule. Multiplier un nombre par \(10^n\) décale sa virgule de \(n\) rangs vers la droite, et le multiplier par \(10^{-n}\) décale sa virgule de \(n\) rangs vers la gauche : \(2{,}45 \times 10^{3} = 2\,450\) et \(2{,}45 \times 10^{-3} = 0{,}002\,45\).
Exemple
Écrire \(10^4\) et \(10^{-3}\) en écriture décimale, puis écrire \(1\,000\,000\) et \(0{,}000\,01\) sous forme de puissances de dix.
\(10^4 = 10\,000\) (\(1\) suivi de quatre zéros) et \(10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001\) (trois chiffres après la virgule). Réciproquement, \(1\,000\,000\) est \(1\) suivi de six zéros, donc \(1\,000\,000 = 10^6\) ; et \(0{,}000\,01\) a cinq chiffres après la virgule, donc \(0{,}000\,01 = \dfrac{1}{100\,000} = 10^{-5}\).
Travailler avec des nombres très grands ou très petits peut être difficile. Les puissances de dix permettent de réécrire ces nombres sous une forme plus courte, plus facile à manipuler : cette écriture s’appelle la notation scientifique, et elle est très utilisée en sciences.
Définition — Notation scientifique
Un nombre décimal non nul est exprimé en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme : Exemple
Écrire \(245\) en notation scientifique.
$$\begin{aligned}[t]245 &= 2{,}45 \times 100 \\
&= 2{,}45 \times 10^2\end{aligned}$$ Ainsi, \(245\) s'écrit en notation scientifique : \(2{,}45 \times 10^2\).
Exemple
Écrire \(0{,}002\,45\) en notation scientifique.
Le coefficient doit être compris entre \(1\) et \(10\) : les chiffres \(2\), \(4\), \(5\) donnent \(a = 2{,}45\). Pour passer de \(2{,}45\) à \(0{,}002\,45\), la virgule se décale de \(3\) rangs vers la gauche, ce qui est une multiplication par \(10^{-3}\) : $$0{,}002\,45 = 2{,}45 \times 0{,}001 = 2{,}45 \times 10^{-3}.$$ Un nombre strictement compris entre \(0\) et \(1\) a toujours un exposant négatif en notation scientifique.
Les préfixes de nano à giga
En sciences, les puissances de dix se cachent dans des préfixes placés devant une unité. Du plus petit au plus grand :
Ainsi \(1\) kilomètre vaut \(10^3\) mètres, \(1\) milligramme vaut \(10^{-3}\) gramme et \(1\) nanomètre vaut \(10^{-9}\) mètre. Le préfixe transforme une mesure très grande ou très petite en un petit nombre : une distance de \(7\,000\,000\) m est \(7\) Mm, un volume de \(0{,}000\,003\) L est \(3\) \(\mu\)L.
| préfixe | symbole | puissance de dix |
| nano | n | \(10^{-9}\) |
| micro | \(\mu\) | \(10^{-6}\) |
| milli | m | \(10^{-3}\) |
| kilo | k | \(10^{3}\) |
| méga | M | \(10^{6}\) |
| giga | G | \(10^{9}\) |
Exemple
Exprimer \(3\) \(\mu\)L en litres et \(7\) MW (mégawatts) en watts, en notation scientifique. Puis écrire \(5 \times 10^{-3}\) g avec un préfixe.
Le préfixe micro signifie \(10^{-6}\), donc \(3\) \(\mu\)L \(= 3 \times 10^{-6}\) L \(= 0{,}000\,003\) L. Le préfixe méga signifie \(10^{6}\), donc \(7\) MW \(= 7 \times 10^{6}\) W \(= 7\,000\,000\) W. Réciproquement, \(10^{-3}\) est le préfixe milli : \(5 \times 10^{-3}\) g \(= 5\) mg.
Compétences à pratiquer
- Écrire des nombres sous forme de puissances de 10
- Exprimer en notation scientifique
- Exprimer en écriture décimale
- Exprimer des grandeurs du monde réel en notation scientifique
- Convertir avec les préfixes de nano à giga
- Comparer des nombres écrits avec des puissances de dix
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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