Éducation Nationale Française · Cinquième
Symétrie centrale
I
La symétrie axiale
Définition — Symétrie axiale
La symétrie axiale d’axe \(\LineFr{d}\) correspond à un pliage le long de la droite \(\LineFr{d}\) : on obtient l’image de l’objet, comme dans un miroir. 
Méthode — Construire le symétrique d'un point
Sur papier quadrillé, les carreaux se comptent. Sur papier uni il n'y a rien à compter : ce sont donc les deux propriétés de l'axe qui servent, à savoir qu'il est perpendiculaire à \(\SegmentFr{MM'}\) et qu'il le coupe en son milieu. À l'équerre et à la règle - Poser un bord de l'équerre le long de l'axe \(\LineFr{d}\) et la faire glisser jusqu'à ce que l'autre bord passe par \(M\) ; tracer cette perpendiculaire. Elle coupe \(\LineFr{d}\) en un point \(H\).
- Mesurer \(MH\) avec la règle.
- Reporter la même longueur au-delà de \(H\), sur la perpendiculaire : le point obtenu est \(M'\). (Si \(M\) est sur \(\LineFr{d}\), alors \(H = M\) et \(M' = M\).)
Méthode — Construire le symétrique d'un point au compas
Le compas utilise la propriété d'équidistance de l'axe : chaque point de l'axe \(\LineFr{d}\) est à la même distance de \(M\) et de son symétrique \(M'\). Au compas - Poser la pointe sur un point \(P\) de l'axe et tracer un arc passant par \(M\).
- Poser la pointe sur un autre point \(Q\) de l'axe et tracer un second arc passant par \(M\).
- Les deux arcs se recoupent de l'autre côté de l'axe : ce second point de croisement est \(M'\). (Si \(M\) est sur l'axe, les deux arcs ne se recoupent pas ailleurs : \(M' = M\).)
Compétences à pratiquer
- Retrouver l'image d'un point (symétrie axiale)
- Dessiner la figure miroir
- Construire sur papier uni
II
La symétrie centrale
Léa pose l'as de carreau à l'envers sur la table — et la carte semble exactement la même. Tom essaie avec le sept de c\oe ur : à l'envers, sa carte ne va plus. Léa dit : ma carte a fait un demi-tour et rien n'a changé. Que fait un demi-tour, exactement — à une carte, à une lettre, à chaque point d'une figure ? 
Définition — Milieu d’un segment
Le milieu d’un segment est un point qui se trouve sur le segment et le divise en deux segments de même longueur. Par exemple, si \(I\) est le milieu du segment \(\SegmentFr{AB}\), alors \(I\) est sur le segment \(\SegmentFr{AB}\) et \(AI = IB\). 
Définition — Symétrique d’un point
Le symétrique du point \(M\) par rapport au point \(O\) (son image par le demi-tour autour de \(O\)) est le point \(M'\) tel que \(O\) est le milieu du segment \(\SegmentFr{MM'}\). Autrement dit, \(OM = OM'\) et les points \(M\), \(O\) et \(M'\) sont alignés, \(M\) et \(M'\) étant de part et d'autre de \(O\). (Si \(M = O\), son symétrique est \(O\) lui-même.) 
Définition — Symétrie centrale
La symétrie centrale d’un objet par rapport au point \(O\) est obtenue en construisant le symétrique de chacun de ses points par rapport à \(O\). L’image a la même taille et la même forme que l’objet, mais elle est tournée de \(180^\circ\) autour de \(O\). 
Proposition — Propriétés de conservation
Une symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d'angles, les périmètres et les aires : l'image d'une figure est une copie identique de la figure, tournée d'un demi-tour. En particulier : - l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
- l'image d'une droite est une droite parallèle à celle-ci (ou confondue avec elle) ;
- l'image d'un cercle est un cercle de même rayon ;
- si des points sont alignés, leurs images sont alignées aussi.
Exemple
Sur le quadrillage ci-dessous, construire l'image \(A'B'\) du segment \(AB\) par la symétrie de centre \(O\). Que peut-on dire des longueurs \(AB\) et \(A'B'\), et des droites \((AB)\) et \((A'B')\) ? 
Pour chaque point, on traverse \(O\) et on continue aussi loin de l'autre côté, pour que \(O\) soit le milieu : 
En comptant les carreaux : \(A'B'\) parcourt le même nombre de carreaux que \(AB\), donc \(AB = A'B'\) — et \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles : le demi-tour a inversé le sens de parcours de \(A\) vers \(B\), pas la direction de la droite. Un demi-tour déplace le segment mais ne le déforme pas.
- de \(A\) à \(O\) : \(2\) carreaux à droite, \(1\) carreau vers le bas — donc depuis \(O\), encore \(2\) carreaux à droite et \(1\) vers le bas : \(A'\) ;
- de \(B\) à \(O\) : \(1\) carreau à droite, \(1\) carreau vers le haut — donc depuis \(O\), encore \(1\) carreau à droite et \(1\) vers le haut : \(B'\).
Méthode — Construire un symétrique sur papier uni
Pour construire le symétrique \(M'\) d'un point \(M\) par rapport à un point \(O\), sans quadrillage (si \(M = O\), son symétrique est \(O\) lui-même) : - Tracer la droite \(\LineFr{MO}\) à la règle, en poursuivant le trait au-delà de \(O\).
- À la règle graduée : mesurer \(OM\), puis reporter la même longueur sur la droite, de l'autre côté de \(O\).
- Au compas : l'ouvrir à l'écartement \(OM\) (pointe sur \(O\), mine sur \(M\)), puis, sans changer l'écartement, tracer un arc de centre \(O\) de l'autre côté : il coupe la droite en \(M'\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer les images de points par une symétrie centrale
- Déterminer les coordonnées du centre de la symétrie
- Identifier les symétries centrales de figures
- Dessiner les figures images
- Utiliser les propriétés de conservation
- Construire un symétrique par rapport à un point
III
Le centre de symétrie
Définition — Centre de symétrie
Un point est un centre de symétrie d’un objet lorsque le symétrique de l’objet par rapport à ce point se superpose exactement à l’objet. Autrement dit, la figure ne change pas lorsqu’on effectue cette symétrie. 
Exemple
Retour aux deux cartes. Faire faire un demi-tour à l'as de carreau autour de son centre : le carreau retombe sur lui-même et les deux marques des coins échangent leurs places — la carte retombe exactement sur elle-même. Son centre est un centre de symétrie : c'est le nom de ce que Léa avait observé. Faire maintenant tourner le sept de c\oe ur : le c\oe ur isolé se retrouve à l'envers, dans la mauvaise moitié de la carte, et la carte ne retombe pas sur elle-même — elle n'a pas de centre de symétrie. Voilà pourquoi la carte de Tom « n'allait plus ». 
Compétences à pratiquer
- Compter les centres de symétrie des formes usuelles
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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