Éducation Nationale Française · CM2
Les solides et leurs patrons
I
Les solides et le patron du cube
Proposition — Les solides usuels et leurs faces
Compter les faces ne suffit pas à distinguer deux solides : un cube et un pavé droit qui n'est pas un cube en ont \(6\) tous les deux. Ce qui les distingue, c'est la forme de ces faces. Chaque solide usuel se décrit par le nombre de ses faces planes, par leur forme, et par le fait qu'il possède ou non une surface courbe (la partie arrondie). Ici face veut toujours dire face plane : une surface courbe, comme celle qui enveloppe un cylindre, ne compte jamais parmi elles. - Un cube : 6 faces, toutes des carrés.
- Un pavé droit : 6 faces, toutes des rectangles. Quand ces \(6\) rectangles sont tous des carrés, le pavé est un cube — un cube est un pavé droit particulier.
- Un prisme droit : 2 bases polygonales identiques, face à face, et des rectangles tout autour — un rectangle par côté de la base. Quand les deux bases sont des triangles on l'appelle un prisme triangulaire, et il a \(5\) faces planes : \(2\) triangles et \(3\) rectangles. Sur un dessin en perspective ces rectangles paraissent penchés, mais ce sont bien des rectangles. Un pavé droit est lui-même un prisme droit, dont les bases sont des rectangles.
- Une pyramide : une base polygonale, et des triangles qui se rejoignent tous au même sommet, la pointe — un triangle par côté de la base. La plus usuelle est la pyramide à base carrée : \(5\) faces planes, \(1\) carré et \(4\) triangles.
- Un cylindre : 2 faces planes identiques qui sont des disques, reliées par une seule surface courbe. Sur un dessin en perspective ces disques sont tracés comme des ellipses, mais ce sont bien des disques.
- Un cône : une face plane qui est un disque — tracé comme une ellipse en perspective — et une surface courbe qui relie tout le bord de ce disque à un seul point, la pointe.
- Une boule : aucune face plane : une seule surface courbe.
Méthode — Arêtes visibles et arêtes cachées
Quand on dessine un solide sur une feuille, on ne le voit que d’un seul point de vue : certaines de ses arêtes sont derrière le solide et on ne les voit pas. On appelle ces arêtes des arêtes cachées. Pour montrer qu’une arête est cachée mais qu’elle fait toujours partie du solide, on la dessine en pointillés. Les lignes pleines montrent les arêtes que l’on voit. 
Définition — Patron
Un patron d’un solide est une figure plane que l’on peut plier, ou enrouler, pour obtenir ce solide. Quand le solide n’a que des faces planes et aucune surface courbe — un cube, un pavé droit, une pyramide, un prisme —, on plie le long des arêtes : les plis sont les lignes à l’intérieur du patron. Un cylindre et un cône ont eux aussi un patron, mais leur surface courbe doit être enroulée et non pliée. Une boule, elle, n’a pas de patron du tout : aucune feuille plane ne peut l’envelopper sans se froisser. 
Proposition — Les onze patrons du cube
Un solide peut avoir plusieurs patrons différents. Un cube a exactement 11 patrons différents : un patron seulement tourné ou retourné ne compte pas comme un nouveau. En pliant l'un d'eux, on obtient un cube. 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un solide d'après ses faces
- Reconnaître les patrons du cube
- Tracer des patrons du cube
II
Le patron du pavé droit
Sami et Inès dessinent chacun une figure pour la même boîte, un pavé droit de longueur \(4\), de largeur \(2\) et de hauteur \(3\). Sami dessine la première figure, Inès la seconde, et tous deux disent : « c'est un patron de notre boîte ». Deux figures différentes peuvent-elles être toutes les deux des patrons du même pavé ? Et comment vérifier une figure sans la découper ni la plier ? 
Oui. Les deux figures se plient en boîte : chacune a six faces rectangulaires aux bonnes tailles, deux de chaque, reliées par des plis de même longueur, et disposées de façon à refermer le pavé. Un pavé droit possède plusieurs patrons différents, tout comme le cube en a onze. La méthode ci-dessous donne trois vérifications pour décider, sans rien découper, si une figure est un patron d'un pavé donné.
Méthode — Reconnaître un patron du pavé droit
Un pavé droit a six faces, toutes rectangulaires, qui vont par paires : deux faces identiques qui se font face. Dans un pavé de longueur \(4\), de largeur \(2\) et de hauteur \(3\), le devant et le derrière sont des rectangles \(4 \times 3\), le dessus et le dessous des rectangles \(4 \times 2\), les deux côtés des rectangles \(2 \times 3\). Un patron du pavé est une figure plane de six rectangles qui se plie pour le former. Pour décider si une figure est un patron d'un pavé donné, on vérifie trois choses. 
- Compter et trier les faces. Six rectangles, ni plus ni moins ; et deux de chaque taille : deux \(4 \times 3\), deux \(4 \times 2\), deux \(2 \times 3\). Une face de la mauvaise taille, ou une taille qui apparaît une seule fois ou trois fois, et la figure n'est pas un patron.
- Vérifier chaque pli. Le long d'un pli en pointillés, les deux faces partagent une arête du pavé : leurs côtés le long du pli doivent avoir la même longueur. Si une face touche le pli par un côté de \(2\) alors que l'autre le touche par un côté de \(3\), la figure n'est pas un patron.
- Plier dans sa tête. Les faces doivent refermer le pavé sans que deux d'entre elles tombent sur la même face, et sans laisser de trou. Les six rectangles sont disposés comme l'un des onze patrons du cube : ici, une bande de quatre faces qui fait le tour du pavé, et les deux faces restantes attachées de part et d'autre de la bande.
Exemple
Cette figure est-elle un patron du pavé de longueur \(4\), de largeur \(2\) et de hauteur \(3\) ? 
Oui. Six rectangles : deux \(4 \times 3\) (devant et derrière), deux \(4 \times 2\) (dessous et dessus), deux \(3 \times 2\) (les côtés), les tailles sont bonnes. Chaque pli est juste : chaque face de côté est attachée par son côté de \(2\) au petit côté d'une face \(4 \times 2\), qui vaut aussi \(2\). En pliant dans sa tête : la bande de quatre faces fait le tour du pavé, une face de côté ferme la gauche, l'autre ferme la droite. C'est un patron du pavé, mais pas le même que dans la méthode : un pavé possède plusieurs patrons différents.
Exemple
Léo affirme que cette figure est un patron du même pavé, de longueur \(4\), de largeur \(2\) et de hauteur \(3\). A-t-il raison ? 
Non. Compter et trier les faces : la face du haut de la bande est un \(4 \times 3\) au lieu d'un \(4 \times 2\). Il y a donc trois faces \(4 \times 3\) et une seule face \(4 \times 2\) : les tailles ne vont pas par paires. En pliant la bande, cette face est trop haute et dépasse du pavé : la figure n'est pas un patron. En la remplaçant par une face \(4 \times 2\), on retrouve le patron de la méthode.
Les bonnes faces, mais mal placées. Cette figure a les six bonnes faces et chaque pli est juste. Pourtant ce n'est pas un patron : on plie mentalement. La bande ferme le devant, le dessous, le derrière et le dessus du pavé ; la face de côté attachée au devant se rabat sur le côté gauche, et la face de côté attachée au derrière se rabat sur le côté gauche elle aussi. Deux faces au même endroit, et le côté droit du pavé reste ouvert. Les deux faces de côté doivent être attachées de part et d'autre de la bande. 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un patron du pavé droit
- Quel patron fabrique cette boîte ?
- Lire un patron
- Dessiner un patron du pavé
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Patrons d'autres solides
- Problèmes
- Compléter le patron d'un dé
- Quiz
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