La symétrie axiale

Une figure peut avoir un axe de symétrie, plusieurs, ou aucun. Les compter est une autre façon de distinguer les figures usuelles.

• Un carré a 4 axes de symétrie.
• Un rectangle qui n'est pas un carré a 2 axes — ses diagonales n'en sont pas.
• Un losange qui n'est pas un carré a 2 axes — ses deux diagonales.
• Un triangle qui a deux côtés de même longueur (un triangle isocèle) a 1 axe, sauf si ses trois côtés sont égaux (un triangle équilatéral) : il en a alors 3.
• Un cercle en a une infinité : toute droite passant par son centre en est un.
• Un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes n'a aucun axe : de quelque façon qu'on le plie, les deux moitiés ne se superposent jamais.

Voici comment dessiner le symétrique d’un triangle sur papier quadrillé.

1. Dessiner les sommets symétriques : Pour chaque sommet du triangle, compter les carreaux entre le sommet et l’axe de symétrie (à gauche ou à droite). Placer un nouveau point de l’autre côté de l’axe, au même nombre de carreaux, sur la même rangée.
2. Dessiner la figure symétrique : Relier les sommets symétriques avec des segments dans le même ordre que la figure de départ.

La figure est sur papier quadrillé, l'axe est horizontal ou vertical, et la moitié seulement du contour est tracée : elle part de l'axe et y revient. La compléter, c'est ajouter la moitié manquante pour que la figure entière devienne symétrique.

1. Regarder les sommets déjà tracés. Ceux qui sont sur l'axe ne bougent pas : ils sont leur propre symétrique, et c'est là que les deux moitiés se rejoignent.
2. Placer le symétrique des autres. Pour chacun, compter les carreaux jusqu'à l'axe, puis placer son symétrique à la même distance de l'autre côté — sans quitter sa ligne si l'axe est vertical, sans quitter sa colonne s'il est horizontal.
3. Relier les nouveaux points dans le même ordre que ceux déjà tracés, et fermer la figure sur les sommets posés sur l'axe.

Ensuite on vérifie : en pliant le long de l'axe, les deux moitiés doivent se poser exactement l'une sur l'autre.

Cette fois, l'axe de symétrie est une diagonale du quadrillage : il va de coin en coin des carreaux. Compter les carreaux le long d'une ligne ou d'une colonne ne marche plus, car le chemin le plus court d'un point jusqu'à l'axe n'est plus sur le côté ni tout droit vers le haut : il suit l'autre diagonale des carreaux, celle qui est perpendiculaire à l'axe (les deux diagonales d'un carré sont perpendiculaires). On compte donc en pas en diagonale : un pas va d'un coin d'un carreau au coin opposé.

1. Marcher jusqu'à l'axe. Depuis un sommet, aller de coin en coin le long de la diagonale perpendiculaire à l'axe et compter les pas en diagonale jusqu'à toucher l'axe. Ici, \(B\) atteint l'axe en \(3\) pas. Si le chemin rencontre l'axe au milieu d'un carreau, on compte un demi-pas (un pas et demi, par exemple).
2. Marcher autant de l'autre côté. Continuer tout droit, le même nombre de pas en diagonale de l'autre côté : c'est le sommet symétrique \(B'\). Faire de même pour chaque sommet : \(A\) est à \(1\) pas de l'axe, \(C\) à \(2\) pas.
3. Relier les sommets symétriques dans le même ordre que sur la figure de départ.

Ensuite on vérifie : le côté horizontal \(AB\) est devenu le côté vertical \(A'B'\), et le côté vertical \(BC\) est devenu horizontal. C'est l'effet d'un axe en diagonale sur une figure.