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Éducation Nationale Française · CM2

Points, droites et longueurs

⌚ ~138 min ▢ 15 blocs ✓ 61 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections
I Points, droites, segments et demi-droites
Définition — Notation d’un point
On nomme généralement un point avec une lettre majuscule, par exemple \(A\).
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Définition — Droite
Une droite est un chemin droit qui continue à l’infini dans les deux sens.
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Définition — Segment
Un segment est la partie d’une droite comprise entre deux extrémités. Il a une longueur bien définie.
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Définition — Demi-droite
Une demi-droite est une partie de droite qui commence en un point et s’étend à l’infini dans une seule direction.
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Définition — Point d’intersection
Un point d’intersection est un point où deux ou plusieurs droites, segments ou demi-droites se croisent.
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Définition — Notation d’une droite
On nomme une droite avec deux points distincts qui lui appartiennent, notée \(\LineFr{AB}\). On lit « la droite \(AB\) ».
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Exemple
Nommer la droite ci-dessous :
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La droite est \(\LineFr{EF}\).

Définition — Notation d’un segment
On nomme un segment par ses extrémités, noté \(\SegmentFr{AB}\). On lit « le segment \(AB\) ».
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Exemple
Nommer le segment ci-dessous :
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Le segment est \(\SegmentFr{EF}\).

Définition — Notation d’une demi-droite
On nomme une demi-droite par son origine puis un autre point qui est dessus, notée \(\RayFr{AB}\). On lit « la demi-droite \(AB\) ».
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Exemple
Nommer la demi-droite ci-dessous :
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La demi-droite est \(\RayFr{EF}\).

Compétences à pratiquer
  • Tracer droites, segments et demi-droites
  • Tracer sur le quadrillage
  • Placer des points sur une figure
  • Marquer les points d'intersection
II Longueurs, milieu et compas
Définition — Longueur d’un segment
La longueur d’un segment est la distance entre ses deux extrémités, mesurée en unités comme le centimètre (cm) ou le mètre (m).
Définition — Notation de la longueur
Si \([AB]\) est un segment, sa longueur se note \(AB\) (sans crochet). Sur la figure ci-dessous, la longueur du segment \([AB]\) est de 2 cm.
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Définition — Longueurs égales
Deux segments sont égaux en longueur s’ils ont la même longueur. On utilise des barres sur les segments : des segments portant le même nombre de barres ont la même longueur.
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Exemple
Identifier deux segments qui ont la même longueur.
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Les segments \(\SegmentFr{AB}\) et \(\SegmentFr{AC}\) ont la même longueur, comme l’indiquent leurs barres identiques. On écrit donc \(AB = AC\).

Méthode — Reporter une longueur au compas
Étant donné un segment \(\SegmentFr{AB}\), on construit sur une demi-droite d'origine \(C\) un segment de même longueur :
  • Ouvrir le compas de sorte qu'une pointe soit sur \(A\) et l'autre sur \(B\) : son écartement est alors la longueur \(AB\).
  • Sans changer l'écartement, placer la pointe du compas sur \(C\) et tracer un arc de cercle qui coupe la demi-droite en un point \(D\).
  • Le segment \(\SegmentFr{CD}\) a alors la même longueur que \(\SegmentFr{AB}\), donc \(CD = AB\).
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Définition — Milieu d’un segment
Le milieu d’un segment est un point qui se trouve sur le segment et le divise en deux segments de même longueur. Par exemple, si \(I\) est le milieu du segment \(\SegmentFr{AB}\), alors \(I\) est sur le segment \(\SegmentFr{AB}\) et \(AI = IB\).
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Méthode — Construire le milieu d'un segment
Avec une règle graduée, on peut construire le milieu d'un segment \(\SegmentFr{AB}\) :
  • Mesurer la longueur \(AB\) avec la règle.
  • Le milieu \(I\) est le point de \(\SegmentFr{AB}\) situé à la distance \(\dfrac{AB}{2}\) de \(A\).
  • Placer \(I\) à cette distance ; alors \(AI = IB\).
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Compétences à pratiquer
  • Utiliser les barres
  • Calculer des longueurs à l'aide d'un milieu
  • Placer des points sur le quadrillage
  • Mesurer avec une règle
  • Utiliser le compas et placer un milieu
  • Tracer des longueurs données
III Droites perpendiculaires et parallèles
Définition — Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit — l'angle droit de l'équerre, le même angle que le coin d'une feuille de papier rectangulaire. Sur une figure, l'angle droit se montre par un petit carré tracé dans le coin :
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Deux droites peuvent être perpendiculaires quelle que soit leur direction sur la feuille : tourner la feuille ne change pas l'angle droit.
Méthode — Vérifier et tracer à l'équerre
Une équerre a un seul coin en angle droit ; les deux bords qui se rejoignent en ce coin forment l'angle droit. Ce sont ceux qu'on utilise — jamais le troisième côté, le grand côté opposé à l'angle droit.
  • Pour vérifier : poser le sommet de l'angle droit sur le point de croisement, un de ses deux bords le long de la première droite. Si la seconde droite suit exactement l'autre bord, les droites sont perpendiculaires ; si elle s'en écarte, elles ne le sont pas.
  • Pour tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point : garder un bord de l'angle droit appuyé le long de la droite et le faire glisser jusqu'à ce que l'autre bord passe par le point, puis tracer le long de cet autre bord. Le sommet de l'angle droit se retrouve sur la droite, au point où la nouvelle droite la rencontre : ce point s'appelle le pied de la perpendiculaire.
Regarder la figure ne suffit pas : deux droites peuvent avoir l'air perpendiculaires sans l'être. Pour trancher, il faut un angle droit à comparer : l'équerre, le coin d'une feuille de papier rectangulaire, ou un angle droit déjà marqué sur la figure par un petit carré.
Définition — Droites parallèles
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent jamais, même si on les prolonge — ou bien c’est la même droite, tracée deux fois : on dit alors qu’elles sont confondues, et elles comptent, elles aussi, comme parallèles. Deux droites parallèles distinctes restent à la même distance l’une de l’autre, une distance qui se mesure perpendiculairement.
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Définition — Notation des droites parallèles
On note \(\LineFr{AB} \parallel \LineFr{CD}\) pour indiquer que la droite \(\LineFr{AB}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{CD}\). Sur une figure, les droites parallèles sont aussi indiquées par de petites flèches identiques sur chaque droite.
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Proposition — Deux perpendiculaires à une même droite
Si deux droites distinctes sont toutes les deux perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles : aussi loin qu'on les prolonge, elles restent à la même distance l'une de l'autre et ne se rencontrent jamais.
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C'est ce qui rend le parallélisme vérifiable. L'œil ne peut pas décider si deux droites sont parallèles — elles peuvent se couper bien au-delà de la feuille. L'équerre, elle, le peut, parce qu'elle décide des angles droits.
Méthode — Vérifier et tracer des parallèles à l'équerre
  • Pour vérifier que deux droites \((d)\) et \((d')\) sont parallèles : à l'équerre, tracer la perpendiculaire à \((d)\) et la prolonger jusqu'à couper \((d')\). Vérifier ensuite à l'équerre l'angle qu'elle forme avec \((d')\). Si cet angle est droit, les deux droites sont parallèles ; s'il ne l'est pas, elles ne le sont pas.
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  • Pour tracer la parallèle à \((d)\) passant par un point \(A\) : tracer d'abord la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\). Puis tracer la perpendiculaire à cette droite, encore par \(A\). Deux angles droits, donc la droite obtenue est parallèle à \((d)\).
    Illustration
Deux droites qui ne se coupent pas sur la feuille ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent très bien se couper plus loin. Seul l'angle droit tranche.
Compétences à pratiquer
  • Reconnaître des droites perpendiculaires
  • Utiliser l'équerre
  • Utiliser les parallèles
  • Tracer des parallèles
IV Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Résoudre des problèmes à plusieurs questions
  • Quiz