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Éducation Nationale Française · CM2

Figures planes et programmes de construction

⌚ ~138 min ▢ 15 blocs ✓ 56 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Points, droites et longueurs
I Polygones, cercles et triangles
I.1 Les polygones
Définition — Polygone
Un polygone est une forme plate fermée, formée uniquement de côtés droits qui ne se croisent pas.
Définition — Classification des polygones
Un polygone est nommé selon le nombre de côtés qu’il possède. Voici quelques polygones courants :
Illustration Illustration Illustration Illustration
Triangle Quadrilatère Pentagone Hexagone
3 côtés 4 côtés 5 côtés 6 côtés
Définition — Polygone régulier
Un polygone régulier a tous ses côtés de la même longueur et tous ses angles égaux.
Illustration\(\quad\)Illustration\(\quad\)Illustration
Compétences à pratiquer
  • Nommer les polygones
I.2 Cercles et disques
Définition — Cercle
Un cercle est une ligne courbe fermée sur une surface plane — seulement la ligne, pas l’intérieur. Tous les points du cercle sont à la même distance d’un point appelé centre.
Le rayon est un segment de droite qui relie le centre à un point du cercle. Le rayon est aussi la longueur de ce segment.
Le diamètre est un segment de droite qui passe par le centre et a ses extrémités sur le cercle. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment.
Illustration
Définition — Disque
Un cercle n'est que la courbe — la ligne du bord elle-même. Un disque est toute la région plate que le cercle entoure : le cercle et tous les points à l'intérieur.
Illustration
Proposition — Règle du diamètre et du rayon
  • Le diamètre est le double du rayon.
    Illustration
  • Le rayon est la moitié du diamètre.
    Illustration
Compétences à pratiquer
  • Cercle ou disque ?
  • Construire un cercle à la règle et au compas
I.3 Les triangles
Définition — Triangle
Un triangle est un polygone à trois côtés (et donc trois sommets et trois angles).
Illustration
Définition — Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle dont au moins deux côtés sont de même longueur. Quand exactement deux le sont, le troisième côté est appelé la base, et le sommet opposé à la base est appelé le sommet principal. Un triangle équilatéral, dont les trois côtés sont égaux, est donc lui aussi isocèle.
Illustration
Définition — Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dans lequel les trois côtés sont égaux en longueur. C'est un cas particulier de triangle isocèle.
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Définition — Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Pour le vérifier, poser l'angle droit de l'équerre sur un coin du triangle : si les deux côtés sont alignés avec ses deux bords, ce coin est un angle droit et le triangle est rectangle. Sur une figure, cet angle droit est marqué par son petit carré, le code de l'angle droit.
Illustration
Un triangle a au plus un angle droit : ses deux autres angles sont toujours plus petits qu'un angle droit.
Méthode — Construire un triangle avec une règle et un compas
Pour construire un triangle \(ABC\) avec \(AB = 3\) cm, \(AC = 6\) cm et \(BC = 5\) cm :
  1. Tracer le segment \(\SegmentFr{AB}\) de longueur 3 cm avec la règle.
    Illustration
  2. Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon 6 cm.
    Illustration
  3. Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon 5 cm.
    Illustration
  4. Les deux arcs se coupent en deux points, un de chaque côté de \(\LineFr{AB}\). Marquer l'un ou l'autre comme \(C\) — les deux choix donnent le même triangle, chacun étant le symétrique de l'autre. Puis tracer les segments \(\SegmentFr{AC}\) et \(\SegmentFr{BC}\) avec la règle.
    Illustration
Compétences à pratiquer
  • Nommer un triangle d'après ses côtés et ses angles
  • Reconnaître les triangles rectangles
  • Construire des triangles à la règle et au compas
II Les quadrilatères particuliers
II.1 Les quadrilatères
Définition — Quadrilatère
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés (et donc quatre sommets et quatre angles).
Définition — Carré
Un carré est un quadrilatère avec quatre angles droits et quatre côtés égaux.
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Définition — Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère (polygone à 4 côtés) avec quatre angles droits. Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux en longueur.
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Proposition — Propriétés du rectangle
Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux en longueur et parallèles.
Illustration
Illustration
Définition — Losange
Un losange est un quadrilatère avec quatre côtés égaux.
Illustration
Proposition — Propriété du losange
Dans un losange, les côtés opposés sont parallèles.
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Définition — Diagonale
Une diagonale d'un polygone est un segment qui relie deux sommets non voisins — deux coins qui ne sont pas déjà reliés par un côté. Un quadrilatère a deux diagonales.
Illustration
Les deux diagonales de \(ABCD\) sont les segments \(AC\) et \(BD\).
Compétences à pratiquer
  • Identifier une figure d'après ses propriétés
  • Déterminer les propriétés des quadrilatères
II.2 Le parallélogramme : une première approche
Définition — Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel les deux paires de côtés opposés sont parallèles.
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Proposition — Propriété du parallélogramme
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux en longueur.
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Compétences à pratiquer
  • Reconnaître un parallélogramme
II.3 Le trapèze et le trapèze rectangle
Définition — Trapèze
Un trapèze est un quadrilatère qui a au moins une paire de côtés opposés parallèles : ces deux côtés sont appelés les bases. Les deux autres côtés ne sont pas forcément parallèles.
Illustration
Définition — Trapèze rectangle
Un trapèze rectangle est un trapèze qui a au moins deux angles droits : un de ses côtés est perpendiculaire aux deux bases.
Illustration
Proposition — Propriétés du trapèze
  • Dans un trapèze, les deux bases sont parallèles. Contrôle à l'équerre : tracer une droite perpendiculaire à une base ; si elle est aussi perpendiculaire à l'autre base, les bases sont parallèles.
  • Dans un trapèze rectangle, le côté perpendiculaire aux bases forme deux angles droits — contrôlés à l'équerre. Si les deux bases avaient la même longueur, la figure serait un rectangle.
  • Un rectangle est un trapèze à quatre angles droits ; un carré, un rectangle et un losange ont tous deux paires de côtés parallèles.
Exemple
Lesquels de ces quadrilatères sont des trapèzes ? Lequel est un trapèze rectangle ? Expliquer avec les codes des figures. (Sur la figure (2), un contrôle à l'équerre montre qu'aucun côté n'est parallèle à un autre.)
Illustration

  • Figure (1) : les flèches codent deux côtés parallèles — c'est un trapèze, sans angle droit.
  • Figure (2) : aucun côté parallèle n'est codé, et aucun ne le semble — c'est un quadrilatère, mais pas un trapèze.
  • Figure (3) : deux côtés parallèles (flèches) et deux angles droits sur le côté gauche — c'est un trapèze rectangle.

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître des trapèzes
  • Construire des trapèzes
  • Qui suis-je ?
III Les programmes de construction
III.1 Suivre un programme
Définition — Programme de construction
Un programme de construction est une liste ordonnée d'instructions qui explique, étape par étape, comment tracer une figure. Chaque instruction doit dire exactement quoi tracer, sans laisser aucun choix qui change la figure. L'endroit de la feuille où elle se trouve, et le sens dans lequel elle est tournée, n'ont pas d'importance : deux personnes qui suivent le même programme avec soin obtiennent la même figure — même forme, mêmes longueurs — même si l'une l'a tracée plus haut, ou dans l'autre sens. Les étapes suivies pour construire un cercle et un triangle étaient déjà des programmes de construction.
Exemple
Voici un programme de construction d'un rectangle \(ABCD\) avec \(AB = 4\) cm et \(BC = 2\) cm.
  1. Tracer le segment \(\SegmentFr{AB}\) de longueur \(4\) cm.
  2. En \(A\), à l'équerre, tracer la droite perpendiculaire à \(\SegmentFr{AB}\) ; placer dessus le point \(D\) avec \(AD = 2\) cm.
  3. En \(B\), à l'équerre, tracer la droite perpendiculaire à \(\SegmentFr{AB}\) ; placer dessus, du même côté de \(\LineFr{AB}\) que \(D\), le point \(C\) avec \(BC = 2\) cm.
  4. Tracer le segment \(\SegmentFr{DC}\). Le quadrilatère \(ABCD\) est le rectangle demandé.
Illustration
Exemple
Voici un programme de construction d'un losange \(ABCD\) de côté \(4\) cm et de diagonale \(AC = 6\) cm. Comme tous les côtés d'un losange sont égaux, une longueur de côté et une diagonale suffisent.
  1. Tracer le segment \(\SegmentFr{AC}\) de longueur \(6\) cm (ce sera une diagonale).
  2. Au compas, tracer l'arc de rayon \(4\) cm de centre \(A\) et l'arc de rayon \(4\) cm de centre \(C\), au-dessus de \(\SegmentFr{AC}\) ; placer \(B\) à leur intersection.
  3. Tracer de nouveau les deux arcs en dessous de \(\SegmentFr{AC}\) ; placer \(D\) à leur intersection.
  4. Tracer \(\SegmentFr{AB}\), \(\SegmentFr{BC}\), \(\SegmentFr{CD}\) et \(\SegmentFr{DA}\). Le quadrilatère \(ABCD\) est le losange demandé.
Illustration
Compétences à pratiquer
  • Suivre un programme de construction
III.2 Élaborer un programme
Méthode — Écrire un programme de construction
Pour écrire un programme de construction d'une figure :
  1. Nommer les points de la figure (par exemple \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)).
  2. Donner les étapes dans l'ordre, en partant d'un premier segment et en terminant par la figure achevée.
  3. Rendre chaque instruction précise — indiquer chaque longueur, chaque angle droit, et quel instrument utiliser (règle, équerre, compas) — pour que le lecteur puisse le suivre sans jamais voir la figure.
Exemple
Voici un programme de construction d'un parallélogramme \(ABCD\) avec \(AB = 6\) cm, \(AD = 4\) cm et la diagonale \(BD = 5\) cm. Deux côtés consécutifs et une diagonale déterminent entièrement le parallélogramme.
  1. Tracer le segment \(\SegmentFr{AB}\) de longueur \(6\) cm.
  2. Au compas, tracer l'arc de rayon \(4\) cm de centre \(A\) et l'arc de rayon \(5\) cm de centre \(B\) ; placer \(D\) à leur intersection. Tracer \(\SegmentFr{AD}\).
  3. Au compas, tracer l'arc de rayon \(6\) cm de centre \(D\) et l'arc de rayon \(4\) cm de centre \(B\) ; placer \(C\) à leur intersection, de l'autre côté de \(\LineFr{BD}\) que \(A\).
  4. Tracer \(\SegmentFr{DC}\) et \(\SegmentFr{BC}\). Le quadrilatère \(ABCD\) est le parallélogramme demandé.
Illustration
Compétences à pratiquer
  • Écrire un programme de construction
IV Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Résoudre des problèmes de figures plus difficiles
  • Quiz