Éducation Nationale Française · CM2
Diviseurs et multiples
I
Multiples et diviseurs
Définition — Multiple
Un multiple d'un nombre est un résultat de sa table de multiplication — et la table peut se poursuivre aussi loin que l'on veut. Par exemple, les multiples de \(5\) sont : $$5\,;\,\; 10\,;\,\; 15\,;\,\; 20\,;\,\; 25\,;\,\; 30\,;\,\; 35\,;\,\; 40\,;\,\; 45\,;\,\; 50\,;\,\; 55\,;\,\; 60\,;\,\; \dots$$ Définition — Diviseur
Quand un nombre s'écrit comme une multiplication de deux nombres entiers, les deux facteurs sont des diviseurs de ce nombre. Par exemple : $$24 = 4 \times 6,$$ donc \(4\) et \(6\) sont des diviseurs de \(24\) — et \(24\) est un multiple de \(4\) et un multiple de \(6\). Multiples et diviseurs sont deux lectures de la même égalité. 
Méthode — Reconnaître les multiples de 2, 5 et 10
Pour reconnaître ces multiples, regarder seulement le chiffre des unités : - un nombre est un multiple de \(2\) quand il se termine par \(0\) ; \(2\) ; \(4\) ; \(6\) ou \(8\) (c'est un nombre pair) ;
- un nombre est un multiple de \(5\) quand il se termine par \(0\) ou \(5\) ;
- un nombre est un multiple de \(10\) quand il se termine par \(0\).
Compétences à pratiquer
- Trier avec le chiffre des unités
II
Divisibilité
Définition — Relations de divisibilité
On dit qu'un entier naturel non nul \(b\) divise un entier naturel \(a\) si \(a\) peut être obtenu en multipliant \(b\) par un entier naturel \(k\) : $$ a = k \times b $$ En d'autres termes, le nombre \(a\) apparaît dans la table de multiplication de \(b\).On peut également utiliser les formulations suivantes :
- \(b\) est un diviseur de \(a\)
- \(a\) est divisible par \(b\)
- \(a\) est un multiple de \(b\)
Exemple
On considère les nombres \(10\) et \(5\).Puisqu'on peut écrire \(\textcolor{olive}{10} = \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{5}\), on peut dire que :
- \(\textcolor{colordef}{5}\) divise \(\textcolor{olive}{10}\).
- \(\textcolor{colordef}{5}\) est un diviseur de \(\textcolor{olive}{10}\).
- \(\textcolor{olive}{10}\) est divisible par \(\textcolor{colordef}{5}\).
- \(\textcolor{olive}{10}\) est un multiple de \(\textcolor{colordef}{5}\).
Exemple
Lister les cinq premiers multiples non nuls de \(7\).
On multiplie \(7\) par \(1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\) tour à tour : $$7 \times 1 = 7 \qquad 7 \times 2 = 14 \qquad 7 \times 3 = 21 \qquad 7 \times 4 = 28 \qquad 7 \times 5 = 35$$ Les cinq premiers multiples non nuls de \(7\) sont \(7\,;\,14\,;\,21\,;\,28\,;\,35\) — et la liste ne s'arrête jamais : tout nombre non nul a une infinité de multiples.
Méthode — Vérifier la divisibilité
Pour vérifier si un nombre \(a\) est divisible par un nombre non nul \(b\), effectuer la division euclidienne de \(a\) par \(b\). - Si le reste est zéro, alors \(a\) est divisible par \(b\).
- Si le reste n'est pas zéro, alors \(a\) n'est pas divisible par \(b\).
Exemple
\(13\) est-il divisible par \(5\) ?
On effectue la division de \(13\) par \(5\) : $$\textcolor{olive}{13} = \textcolor{colordef}{5} \times \textcolor{colorprop}{2} + \textcolor{orange}{3}$$ Le reste est \(\textcolor{orange}{3}\) (ce n'est pas zéro). Donc \(\textcolor{olive}{13}\) n'est pas divisible par \(\textcolor{colordef}{5}\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un multiple
- Reconnaître un diviseur
- Produire des multiples
III
Tous les diviseurs, et les communs
Méthode — Trouver tous les diviseurs d'un nombre
Savoir si un nombre en divise un autre ne suffit pas : un nombre a le plus souvent plusieurs diviseurs, et on peut les trouver tous. - Essayer les nombres dans l'ordre — \(1\), puis \(2\), puis \(3\), et ainsi de suite.
- Chaque fois que l'un divise, écrire la paire : le diviseur trouvé, et le nombre par lequel on le multiplie.
- S'arrêter dès que le nombre essayé rattrape le dernier associé trouvé — c'est-à-dire dès qu'il lui devient égal, ou plus grand. Tout a été trouvé.
Exemple
Trouver tous les diviseurs de \(28\).
$$\begin{aligned}[t] \textcolor{olive}{28} &= \textcolor{colordef}{1} \times \textcolor{colorprop}{28} \\
\textcolor{olive}{28} &= \textcolor{colordef}{2} \times \textcolor{colorprop}{14} \\
\textcolor{olive}{28} &= \textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{7} \\
\end{aligned}$$ En chemin, \(3\) ne divise pas \(28\), et après \(4\) viennent \(5\) et \(6\), qui ne le divisent pas non plus. Le nombre suivant à essayer est \(7\) — déjà l'associé de \(4\) : la recherche s'arrête. Les diviseurs de \(28\) sont \(\mathbf{1}\) ; \(\mathbf{2}\) ; \(\mathbf{4}\) ; \(\mathbf{7}\) ; \(\mathbf{14}\) et \(\mathbf{28}\) — il y en a six.
Définition — Diviseur commun
Un nombre est un diviseur commun à deux nombres lorsqu'il divise les deux. Pour les trouver tous : écrire les diviseurs du premier nombre, écrire ceux du second, et garder ceux qui figurent dans les deux listes. Exemple
Trouver les diviseurs communs à \(12\) et \(18\). - Diviseurs de \(\textcolor{colordef}{12}\) : \(\textcolor{olive}{1}\) ; \(\textcolor{olive}{2}\) ; \(\textcolor{olive}{3}\) ; \(4\) ; \(\textcolor{olive}{6}\) ; \(12\).
- Diviseurs de \(\textcolor{colorprop}{18}\) : \(\textcolor{olive}{1}\) ; \(\textcolor{olive}{2}\) ; \(\textcolor{olive}{3}\) ; \(\textcolor{olive}{6}\) ; \(9\) ; \(18\).
Définition — Multiple commun
Un nombre est un multiple commun à deux nombres lorsqu'il est un multiple des deux. Les multiples que l'on compte ici sont les multiples non nuls. Contrairement aux diviseurs, ils ne s'épuisent jamais : deux nombres non nuls ont toujours une infinité de multiples communs. On cherche donc les premiers. Exemple
Trouver les deux premiers multiples communs à \(4\) et \(6\). - Multiples de \(\textcolor{colordef}{4}\) : \(4\) ; \(8\) ; \(\textcolor{olive}{12}\) ; \(16\) ; \(20\) ; \(\textcolor{olive}{24}\) ; \(28\) ; …
- Multiples de \(\textcolor{colorprop}{6}\) : \(6\) ; \(\textcolor{olive}{12}\) ; \(18\) ; \(\textcolor{olive}{24}\) ; \(30\) ; …
Compétences à pratiquer
- Reconnaître tous les diviseurs
- Lister tous les diviseurs
- Reconnaître les diviseurs et les multiples communs
- Trouver les diviseurs et les multiples communs
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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