Éducation Nationale Française · CM2

Comparer, encadrer et arrondir

⌚ ~154 min ▢ 17 blocs ✓ 72 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les nombres jusqu'au milliard

I Comparer et ranger jusqu'à 999 999

Définition — Signes de comparaison

On utilise des symboles spéciaux pour écrire les comparaisons :

Symbole	Signification	Exemple
$=$	est égal à
$>$	est plus grand que (supérieur à)
$<$	est plus petit que (inférieur à)

Méthode — Comparer deux nombres entiers

Pour comparer deux nombres entiers :

Compter les chiffres : le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand.
Si les deux nombres ont le même nombre de chiffres, comparer les chiffres de gauche à droite, place par place : le premier chiffre différent décide.

Pour ranger plusieurs nombres, les comparer et les écrire du plus petit au plus grand (ordre croissant) ou du plus grand au plus petit (ordre décroissant).

Exemple

Comparer les nombres avec $<$ ou $>$ :

$98\,765$ et $123\,456$
$214\,365$ et $214\,635$

Correction

$98\,765$ a $5$ chiffres et $123\,456$ a $6$ chiffres. Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand : $$98\,765 < 123\,456.$$
Les deux nombres ont $6$ chiffres. En comparant les chiffres de gauche à droite : les chiffres des centaines de milliers sont les mêmes ($2$), ceux des dizaines de milliers aussi ($1$), ceux des milliers aussi ($4$), mais les chiffres des centaines diffèrent : $3 < 6$. Donc : $$214\,365 < 214\,635.$$

Compétences à pratiquer

Comparer des nombres
Comparer deux nombres
Trouver un nombre compris entre deux nombres
Ranger des nombres

II Comparer et ranger les grands nombres

Exemple — Comparer et ranger de grands nombres

Comparer $7\,089\,500$ et $7\,098\,050$.
Ranger dans l'ordre croissant : $12\,050\,000$ ; $9\,875\,000$ ; $12\,005\,000$ ; $12\,500\,000$.

Correction

Les deux nombres ont $7$ chiffres : on les compare rang par rang à partir de la gauche. Les chiffres des millions sont égaux ($7$), ceux des centaines de milliers aussi ($0$), et les chiffres des dizaines de milliers décident : $8 < 9$. Donc $$7\,089\,500 < 7\,098\,050.$$
$9\,875\,000$ a $7$ chiffres et les trois autres en ont $8$ : c'est le plus petit. Les trois autres ont les mêmes chiffres des dizaines de millions et des millions ($1$ et $2$) ; au rang des centaines de milliers, $12\,500\,000$ a un $5$ et les deux autres un $0$ : c'est le plus grand. Entre $12\,050\,000$ et $12\,005\,000$, les chiffres des dizaines de milliers décident : $0 < 5$. Donc $$9\,875\,000 < 12\,005\,000 < 12\,050\,000 < 12\,500\,000.$$

Compétences à pratiquer

Comparer de grands nombres
Ranger de grands nombres
Écrire de grands nombres dans l'ordre

III Encadrer un nombre

Définition — Encadrer un nombre

Encadrer un nombre à la dizaine (à la centaine, au millier…), c'est donner les deux multiples consécutifs de $10$ (de $100$, de $1\,000$…) entre lesquels il se trouve : le plus petit est la borne inférieure, le plus grand la borne supérieure. La borne inférieure peut être le nombre lui-même : à la centaine, $365$ est encadré par $300$ et $400$, et $300$ par $300$ et $400$.

Méthode — Procédure pour encadrer

Pour encadrer un nombre par rapport à une position spécifique :

Déterminer la borne inférieure. Conserver le chiffre cible et tous les chiffres à sa gauche, puis remplacer tous les chiffres à sa droite par des zéros.
Déterminer la borne supérieure. Conserver les chiffres à gauche de la position cible, ajouter un au chiffre cible, puis remplacer tous les chiffres à sa droite par des zéros. (Si le chiffre cible est $9$, ajouter un provoque une retenue sur le chiffre à sa gauche.)

Exemple

Encadrer le nombre $365$ entre deux centaines consécutives.

Correction

La position cible est celle des centaines. Le chiffre est 3.
Borne inférieure : Conserver le 3, remplacer les chiffres suivants par des zéros. La borne inférieure est 300.
Borne supérieure : Ajouter 1 au chiffre des centaines ($3+1=4$), remplacer les chiffres suivants par des zéros. La borne supérieure est 400.
365 est donc encadré par 300 et 400. Cela peut s'écrire $300 \leq 365 < 400$. Le signe $\leq$ se lit « est inférieur ou égal à » : la borne inférieure peut être le nombre lui-même, comme dans $300 \leq 300 < 400$.

Méthode — Encadrer un nombre

Pour encadrer un nombre entre deux unités de numération consécutives, lire le nombre d'unités entières qu'il contient : le nombre est compris entre ce nombre d'unités et une de plus. Un même nombre est encadré plus ou moins serré selon l'unité choisie.

Encadré par	Unités entières qu'il contient	Écriture
les milliers	$4$ milliers	$4\,000 < 4\,635 < 5\,000$
les centaines	$46$ centaines	$4\,600 < 4\,635 < 4\,700$
les dizaines	$463$ dizaines	$4\,630 < 4\,635 < 4\,640$
les voisins	—	$4\,634 < 4\,635 < 4\,636$

Plus l'unité est petite, plus l'encadrement est serré ; le plus serré de tous est celui des deux voisins, le nombre juste avant et le nombre juste après.
Cela ne marche que si le nombre n'est pas exactement un nombre de milliers (ou de centaines, ou de dizaines, pour ces marques-là). $4\,000$, c'est exactement $4$ milliers : il est sur la marque, et non entre deux marques.
Ne pas confondre le chiffre et le nombre. Le chiffre des centaines de $4\,635$ est $6$, mais $4\,635$ contient $46$ centaines : le chiffre dit ce qui est à cette place, le nombre dit combien il y en a en tout.

Exemple

Encadrer $214\,365$ entre deux centaines de milliers consécutives.

Correction

$214\,365$ contient $2$ centaines de milliers entières, donc il est compris entre $2$ et $3$ centaines de milliers : $$200\,000 < 214\,365 < 300\,000.$$

Exemple — Encadrer et intercaler de grands nombres

Encadrer $5\,382\,000$ entre deux millions consécutifs, puis entre deux centaines de milliers consécutives.
Encadrer $7\,000\,000$ entre deux centaines de milliers consécutives.
Donner tous les nombres entiers strictement compris entre $2\,999\,998$ et $3\,000\,002$ (strictement : les deux nombres donnés ne comptent pas).

Correction

$5\,382\,000$ contient $5$ millions entiers, et un million de plus donne $6\,000\,000$ : $$5\,000\,000 \leq 5\,382\,000 < 6\,000\,000.$$ Il contient $53$ centaines de milliers entières, et une de plus donne $54$ centaines de milliers : $$5\,300\,000 \leq 5\,382\,000 < 5\,400\,000.$$
$7\,000\,000$, c'est exactement $70$ centaines de milliers : il est sur une graduation, et la borne inférieure est le nombre lui-même. $$7\,000\,000 \leq 7\,000\,000 < 7\,100\,000.$$
On compte à partir de $2\,999\,998$ : $2\,999\,999$, puis $3\,000\,000$ (les millions changent), puis $3\,000\,001$, et le suivant est $3\,000\,002$. Il y en a exactement trois : $$2\,999\,999 \quad ; \quad 3\,000\,000 \quad ; \quad 3\,000\,001.$$

Compétences à pratiquer

Encadrer par position
Encadrer un nombre
Encadrer de grands nombres
Intercaler des nombres entiers entre deux nombres

IV Arrondir les nombres

Découverte

Un sac contient 29 billes. Pour répondre rapidement à la question « combien de billes ? », on peut dire : « environ 30 billes ».
Remplacer 29 par 30, c'est arrondir. On arrondit les nombres pour les rendre plus simples et plus faciles à utiliser.

Définition — Arrondir

Arrondir consiste à remplacer un nombre par un autre nombre proche qui est plus simple.

Proposition — L'arrondi est la borne la plus proche

Pour arrondir un nombre à la dizaine (à la centaine, au millier…), on l'encadre entre deux multiples consécutifs de $10$ (de $100$, de $1\,000$…) : son arrondi est la borne la plus proche. Un nombre exactement au milieu des deux bornes s'arrondit, par convention, à la borne supérieure.

À la centaine, $365$ est encadré par $300$ et $400$. Il est à $65$ de $300$ et à $35$ de $400$ : il est plus proche de $400$, donc $365$ arrondi à la centaine est $400$. Le chiffre à droite du chiffre cible dit dans quelle moitié de l'encadrement se trouve le nombre : de $5$ à $9$, la moitié haute (le milieu, $350$, compris) ; de $0$ à $4$, la moitié basse. C'est pourquoi la procédure d'arrondi ne regarde que ce chiffre.

Méthode — Procédure standard pour arrondir

Pour arrondir un nombre à une position donnée (la dizaine, la centaine, le millier…) :

Trouver le chiffre cible : le chiffre de la position à laquelle on arrondit.
Regarder le chiffre juste à sa droite.
Appliquer la règle :
- Si ce chiffre est 5 ou plus (5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9), arrondir au supérieur : ajouter 1 au chiffre cible.
- Si ce chiffre est 4 ou moins (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4), arrondir à l'inférieur : le chiffre cible ne change pas.
Remplacer les chiffres suivants par des zéros : chaque chiffre à droite du chiffre cible devient $0$.

Les chiffres à gauche du chiffre cible ne changent pas, sauf quand un 9 devient 10 : si le chiffre cible est $9$, en ajoutant 1 on obtient $10$ ; on écrit alors $0$ et on ajoute 1 au chiffre juste à gauche (par exemple, $9\,999$ arrondi au millier le plus proche est $10\,000$). Un nombre exactement à mi-chemin entre les deux bornes, comme $350$ entre $300$ et $400$, s'arrondit par convention au supérieur.

Exemple

Arrondir $365$ à la centaine la plus proche.

Correction

La procédure est exécutée comme suit :$$\begin{aligned}[t]&\textcolor{colordef}{\underline{3}}65 && \text{1. Le chiffre cible à la position des centaines est } \textcolor{colordef}{3}.\\ &\textcolor{colordef}{3}\textcolor{colorprop}{\underline{6}}5 && \text{2. Le chiffre à sa droite est } \textcolor{colorprop}{6}.\\ &&&\text{3. Comme } \textcolor{colorprop}{6} \ge 5, \text{ on arrondit au supérieur : } \textcolor{colordef}{3}+1 = \textcolor{olive}{4}.\\ &\textcolor{olive}{4}\textcolor{purple}{00} && \text{4. Les chiffres suivants sont remplacés par des zéros.}\end{aligned}$$ $365$ arrondi à la centaine la plus proche est donc $400$.

Compétences à pratiquer

Arrondir à la dizaine la plus proche
Arrondir à la centaine la plus proche
Arrondir au millier le plus proche

V Arrondir les grands nombres

Exemple — Arrondir de grands nombres

Arrondir $6\,482\,519$ au million le plus proche, puis à la centaine de milliers la plus proche.
Arrondir $3\,500\,000$ au million le plus proche.
Arrondir $9\,960\,000$ à la centaine de milliers la plus proche.

Correction

Au million le plus proche, le chiffre cible est le $\textcolor{colordef}{6}$ des millions ; le chiffre à sa droite est $\textcolor{colorprop}{4}$, qui est « 4 ou moins » : le chiffre cible ne change pas. $6\,482\,519$ est entre $6\,000\,000$ et $7\,000\,000$, plus près de $6\,000\,000$. À la centaine de milliers la plus proche, le chiffre cible est le $\textcolor{colordef}{4}$ ; le chiffre à sa droite est $\textcolor{colorprop}{8}$, qui est « 5 ou plus » : le $4$ devient $5$. $$\begin{aligned}[t] 6\,482\,519 &\approx 6\,000\,000 &&\text{(au million près)}\\ 6\,482\,519 &\approx 6\,500\,000 &&\text{(à la centaine de milliers près)} \end{aligned}$$
$3\,500\,000$ est exactement à mi-chemin entre $3\,000\,000$ et $4\,000\,000$ ; par convention, un nombre exactement à mi-chemin s'arrondit au supérieur : $$3\,500\,000 \approx 4\,000\,000.$$
Le chiffre cible est le $\textcolor{colordef}{9}$ des centaines de milliers ; le chiffre à sa droite est $\textcolor{colorprop}{6}$, donc on ajoute un : $9 + 1 = 10$. Le $9$ devient $0$ et $1$ passe en retenue aux millions ; le chiffre des millions est lui aussi un $9$ : il devient $0$ à son tour et $1$ passe en retenue aux dizaines de millions : $$9\,960\,000 \approx 10\,000\,000.$$

Compétences à pratiquer

Arrondir de grands nombres

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Comparer, encadrer et arrondir les grands nombres
Problèmes
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