Éducation Nationale Française · CM2
Les nombres jusqu'au milliard
I
La valeur de position
Les unités, les dizaines et les centaines se groupent par dix : \(10\) unités font \(1\) dizaine, \(10\) dizaines font \(1\) centaine, \(10\) centaines font \(1\) millier. Pour construire des nombres plus grands, on groupe les milliers de la même façon.
On regroupe 10 milliers pour former 1 dizaine de milliers : 
= \(10\) milliers = \(1\) dizaine de milliers = 
Le tableau de numération a maintenant besoin d'une nouvelle colonne plus grande pour les dizaines de milliers.
Ce tableau montre qu'on a 1 dizaine de milliers, 2 milliers, 4 centaines, 3 dizaines et 5 unités. Cela forme le nombre \(\mathbf{12\,435}\). De la même façon, on regroupe \(10\) dizaines de milliers pour former 1 centaine de milliers.
On regroupe 10 milliers pour former 1 dizaine de milliers :
= \(10\) milliers = \(1\) dizaine de milliers = | Dizaines de milliers | Milliers | Centaines | Dizaines | Unités |
| 1 | 2 | 4 | 3 | 5 |
| |  |  |  |  |
Définition — Nombre à 5 chiffres
Un nombre à 5 chiffres est un nombre entier écrit avec cinq chiffres ; il est compris entre \(10\,000\) et \(99\,999\). La place d'un chiffre donne sa valeur. On peut représenter un nombre comme \(12\,435\) de plusieurs façons : - Avec des chiffres : $$12\,435$$
- En forme développée : $$\begin{aligned}[t] 1\text{ dizaine de milliers }&+ &2\text{ milliers }&+ &4\text{ centaines }&+ &3\text{ dizaines }&+& 5\text{ unités }\\ 10\,000 &+ &2\,000 &+ &400 &+ &30 &+& 5 \\ 1\times 10\,000 &+& 2\times 1\,000 &+& 4\times 100 &+& 3\times 10 &+& 5\times 1 \\ \end{aligned}$$
- Avec des mots : douze-mille-quatre-cent-trente-cinq
- Dans un tableau de numération :
Dizaines de milliers Milliers Centaines Dizaines Unités 1 2 4 3 5 - Avec des cubes :
Étendre aux nombres à 6 chiffres
Le tableau de numération peut toujours s'étendre : en ajoutant une nouvelle colonne pour les centaines de milliers, on écrit les nombres à 6 chiffres, de \(100\,000\) à \(999\,999\). Par exemple, le nombre \(214\,365\) :
$$214\,365 = 2\times 100\,000 + 1\times 10\,000 + 4\times 1\,000 + 3\times 100 + 6\times 10 + 5\times 1$$ En lettres : deux-cent-quatorze-mille-trois-cent-soixante-cinq.
| Centaines de milliers | Dizaines de milliers | Milliers | Centaines | Dizaines | Unités |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 6 | 5 |
Compétences à pratiquer
- Compter des cubes dans un tableau
- Compter des cubes
- Compter des cubes à partir d'un tableau
- Trouver le chiffre
- Écrire des nombres à partir des dizaines de milliers, des milliers, des centaines, des dizaines et des unités
- Écrire des nombres à partir des unités de numération
- Écrire des nombres à partir de la forme développée
- Écrire des nombres à partir de la forme développée avec des multiplications
- Écrire en chiffres un nombre donné en lettres
- Écrire des nombres en lettres
- Organiser et dénombrer des collections
II
Les grands nombres
En mathématiques, le système de numération est organisé pour gérer des nombres de n'importe quelle grandeur. Pour lire, écrire et comprendre de grands nombres comme les millions et les milliards, on regroupe les chiffres par séries de trois.
Définition — Les classes de valeur de position
Chaque classe a un nom spécifique et se compose de trois rangs : les unités, les dizaines et les centaines. Chaque classe vaut mille fois la précédente. - Après \(999\,999\) vient \(1\,000\,000\) : \(10\) centaines de milliers font \(1\) million, comme \(10\) centaines font \(1\) millier.
- Un millier, c'est \(1\,000\) unités.
- Un million, c'est \(1\,000\) milliers (\(1\,000\,000\)).
- Un milliard, c'est \(1\,000\) millions (\(1\,000\,000\,000\)).
- Tableau de numération :
- En chiffres : $$340\,120\,000\,000$$
- En lettres :
Trois cent quarante milliards cent vingt millions - Forme décomposée : $$300\,000\,000\,000 + 40\,000\,000\,000 + 100\,000\,000 + 20\,000\,000$$
Exemple — Visualiser l'échelle des grands nombres
Pour comprendre la grandeur de ces nombres, on considère la hauteur d'une pile de billets de un dollar : - Mille dollars (\(1\,000\,\dollar \)) formeraient une pile d'environ \(10\) centimètres de haut.
- Un million de dollars (\(1\,000\,000\,\dollar \)) formeraient une pile d'environ \(100\) mètres de haut, comme un gratte-ciel.
- Un milliard de dollars (\(1\,000\,000\,000\,\dollar \)) formeraient une pile d'environ \(100\) kilomètres de haut, atteignant l'espace.
Méthode — Lire et écrire un grand nombre en lettres
Pour lire un grand nombre, ou pour l'écrire en lettres : - Séparer les chiffres en classes de trois, à partir de la droite : \(7\,040\,300\), c'est \(7 \mid 040 \mid 300\).
- Lire chaque classe comme un nombre de \(0\) à \(999\), puis dire le nom de sa classe (rien pour la classe des unités) : « sept millions », « quarante mille », « trois cents ». Une classe \(000\) ne se lit pas.
- Écrire le tout à la suite : « sept millions quarante mille trois cents ».
Exemple
On considère le nombre \(4\,035\,208\). Donner le chiffre des milliers, le nombre de milliers, le chiffre des dizaines et le nombre de dizaines. | Millions | Centaines de milliers | Dizaines de milliers | Milliers | Centaines | Dizaines | Unités |
| \(4\) | \(0\) | \(3\) | \(\textcolor{colordef}{5}\) | \(2\) | \(\textcolor{colordef}{0}\) | \(8\) |
- Le chiffre des milliers est \(\textcolor{colordef}{5}\) : c'est le chiffre écrit au rang des milliers.
- Le nombre de milliers est \(\textcolor{colorprop}{4\,035}\) : on lit tout ce qui est écrit jusqu'au rang des milliers, car \(4\,035\,208\), c'est \(4\,035\) milliers et \(208\) unités.
- Le chiffre des dizaines est \(\textcolor{colordef}{0}\) : une fois les centaines comptées, il ne reste aucune dizaine ; le zéro tient ce rang.
- Le nombre de dizaines est \(\textcolor{colorprop}{403\,520}\), car \(4\,035\,208\), c'est \(403\,520\) dizaines et \(8\) unités.
Compétences à pratiquer
- Compter à partir d'un tableau
- Écrire les nombres à partir des mots
- Écrire de grands nombres tirés de situations réelles
- Écrire de grands nombres en lettres
- Convertir entre unités de numération
III
Sur la demi-droite graduée
Une demi-droite graduée aide à voir les nombres dans l'ordre. On peut l'utiliser pour compter de un en un, ou faire de plus grands sauts pour compter plus vite : d'une graduation à la suivante, le saut est toujours le même. Avec de grands nombres, on peut graduer la demi-droite de mille en mille, de dix-mille en dix-mille ou de cent-mille en cent-mille.
- Compter par dizaines : \(0\) ; \(10\) ; \(20\) ; \(30\) ; …
- Compter par centaines : \(0\) ; \(100\) ; \(200\) ; \(300\) ; …
- Compter par milliers : \(0\) ; \(1\,000\) ; \(2\,000\) ; \(3\,000\) ; …
- Compter par dizaines de milliers : \(0\) ; \(10\,000\) ; \(20\,000\) ; \(30\,000\) ; …
- Compter par centaines de milliers : \(0\) ; \(100\,000\) ; \(200\,000\) ; \(300\,000\) ; …
Définition — Demi-droite graduée
Une demi-droite graduée part d'une origine, marquée \(0\), et va vers la droite. Ses graduations sont régulièrement espacées : d'une graduation à la suivante, on ajoute toujours le même nombre. 
Exemple — De grands nombres sur une demi-droite graduée
Sur la demi-droite ci-dessous, les graduations sont régulièrement espacées. 
- Quel est l'écart entre deux graduations consécutives ?
- Quels nombres les points \(A\) et \(B\) repèrent-ils ?
- Où placer le nombre \(4\,500\,000\) ?
- De \(0\) à \(10\,000\,000\), il y a \(10\) intervalles égaux : chacun vaut \(10\,000\,000 \div 10 = 1\,000\,000\). La demi-droite est graduée de million en million.
- \(A\) est à \(3\) intervalles de \(0\) : il repère \(3 \times 1\,000\,000 = 3\,000\,000\). \(B\) est au milieu de l'intervalle qui va de \(7\,000\,000\) à \(8\,000\,000\) : il repère \(7\,500\,000\).
- \(4\,500\,000\) est au milieu entre \(4\,000\,000\) et \(5\,000\,000\) : on le place au milieu de l'intervalle entre ces deux graduations.
Compétences à pratiquer
- Trouver les nombres
- Poursuivre des suites de nombres
- Repérer de grands nombres sur une demi-droite graduée
- Placer des nombres sur une demi-droite graduée
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Décomposer les nombres en forme multiplicative
- Raisonner sur les chiffres et la valeur de position
- Problèmes
- Quiz
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