Les solides

Quand on dessine un solide sur une feuille, on ne le voit que d’un seul point de vue : certaines de ses arêtes sont derrière le solide et on ne les voit pas. On appelle ces arêtes des arêtes cachées. Pour montrer qu’une arête est cachée mais qu’elle fait toujours partie du solide, on la dessine en pointillés. Les lignes pleines montrent les arêtes que l’on voit.

Compter les faces ne suffit pas à distinguer deux solides : un cube et un pavé droit qui n'est pas un cube en ont \(6\) tous les deux. Ce qui les distingue, c'est la forme de ces faces. Chaque solide usuel se décrit par le nombre de ses faces planes, par leur forme, et par le fait qu'il possède ou non une surface courbe (la partie arrondie). Ici face veut toujours dire face plane : une surface courbe, comme celle qui enveloppe un cylindre, ne compte jamais parmi elles.

• Un cube : 6 faces, toutes des carrés.
• Un pavé droit : 6 faces, toutes des rectangles. Quand ces \(6\) rectangles sont tous des carrés, le pavé est un cube — un cube est un pavé droit particulier.
• Un prisme droit : 2 bases polygonales identiques, face à face, et des rectangles tout autour — un rectangle par côté de la base. Quand les deux bases sont des triangles on l'appelle un prisme triangulaire, et il a \(5\) faces planes : \(2\) triangles et \(3\) rectangles. Sur un dessin en perspective ces rectangles paraissent penchés, mais ce sont bien des rectangles. Un pavé droit est lui-même un prisme droit, dont les bases sont des rectangles.
• Une pyramide : une base polygonale, et des triangles qui se rejoignent tous au même sommet, la pointe — un triangle par côté de la base. La plus usuelle est la pyramide à base carrée : \(5\) faces planes, \(1\) carré et \(4\) triangles.
• Un cylindre : 2 faces planes identiques qui sont des disques, reliées par une seule surface courbe. Sur un dessin en perspective ces disques sont tracés comme des ellipses, mais ce sont bien des disques.
• Un cône : une face plane qui est un disque — tracé comme une ellipse en perspective — et une surface courbe qui relie tout le bord de ce disque à un seul point, la pointe.
• Une boule : aucune face plane : une seule surface courbe.

Pour dire si un assemblage plan de polygones est un patron du cube, trois vérifications, dans cet ordre :

1. Compter les faces : il en faut exactement \(6\).
2. Vérifier leur nature et leur taille : les \(6\) doivent être des carrés, et tous de la même taille — un cube a des faces égales.
3. Plier par la pensée : chaque carré doit tomber sur une face différente, sans que deux carrés tombent sur la même, et les \(6\) faces doivent toutes être couvertes.

Un cas fréquent : quand l'assemblage contient une bande de \(4\) carrés à la suite, cette bande fait le tour du cube et les \(2\) carrés restants ferment le dessus et le dessous — à condition qu'il y en ait un de chaque côté de la bande (deux du même côté tombent sur la même face). Mais un patron n'a pas forcément une telle bande — l'escalier de trois marches de \(2\) carrés en est un aussi, qu'on plie marche après marche. Tout escalier n'en est pas un pour autant : le plier en pensée, carré après carré. Si un carré n'a plus de face libre où se poser, l'assemblage n'est pas un patron. Le dernier mot revient à un vrai pliage : on découpe l'assemblage et on le plie.

Un solide peut avoir plusieurs patrons différents. Un cube a exactement 11 patrons différents : un patron seulement tourné ou retourné ne compte pas comme un nouveau. En pliant l'un d'eux, on obtient un cube.