Éducation Nationale Française · CM1
Points et droites
I
Les points
La géométrie étudie la position et la forme dans l'espace. Elle se construit à partir de quelques objets premiers — d'abord le point, puis la droite — si simples qu'on ne peut que les dessiner et les décrire, sans les fabriquer à partir de plus petit. À partir d'eux, on forme toutes les figures, et on apprend à les nommer, à coder leurs relations, à les construire et à raisonner sur elles : en géométrie, on décrit des positions et des relations, plus qu'on ne mesure.
Définition — Point
Un point indique une position exacte dans l'espace. On le dessine par un petit point. 
Définition — Notation d’un point
On nomme généralement un point avec une lettre majuscule, par exemple \(A\). 
En mathématiques, on imagine qu’un point n’a ni taille ni forme. Il sert seulement à indiquer une position.
Exemple
La figure ci-dessous montre trois points nommés \(A\), \(B\) et \(C\) : 
Compétences à pratiquer
- Compter les points
- Tracer des points
II
Droites, segments et demi-droites
Définition — Droite
Une droite est un chemin droit qui continue à l’infini dans les deux sens. 
Définition — Notation d’une droite
On nomme une droite avec deux points distincts qui lui appartiennent, notée \(\LineFr{AB}\). On lit « la droite \(AB\) ». 
Proposition — Droites et points
Par deux points distincts passe une seule droite. Par un seul point passent une infinité de droites. Trois points ne sont pas toujours sur une même droite : souvent, aucune droite ne passe par les trois. Trois points sur une même droite sont dits alignés. 
Définition — Segment
Un segment est la partie d’une droite comprise entre deux extrémités. Il a une longueur bien définie. 
Définition — Notation d’un segment
On nomme un segment par ses extrémités, noté \(\SegmentFr{AB}\). On lit « le segment \(AB\) ». 
Définition — Demi-droite
Une demi-droite est une partie de droite qui commence en un point et s’étend à l’infini dans une seule direction. 
Définition — Notation d’une demi-droite
On nomme une demi-droite par son origine puis un autre point qui est dessus, notée \(\RayFr{AB}\). On lit « la demi-droite \(AB\) ». 
Méthode — Tracer à la règle
Une règle non graduée a un bord droit et aucun nombre : elle sert seulement à joindre des points. Une règle graduée porte en plus une graduation : elle permet aussi de mesurer une longueur et d'en tracer une. - Pour joindre deux points : poser le bord de la règle contre les deux points à la fois, puis tracer le long du bord d'un point à l'autre.
- Pour tracer un segment d'une longueur donnée : poser le 0 de la graduation sur le premier point — le 0, jamais le bout de la règle, car sur une vraie règle il y a souvent un petit morceau de règle avant le 0. Tourner le bord dans la direction voulue, marquer le second point en face de la graduation demandée, puis joindre les deux points.
- Pour reporter une longueur : poser le 0 sur une extrémité du segment donné et lire sa longueur ; tracer ensuite un nouveau segment de cette même longueur.
Exemple
Hugo veut tracer un segment \(\SegmentFr{AB}\) tel que \(AB = 6\) cm. Il a posé sa règle graduée comme ci-dessous, le bout de la règle sur \(A\), et il a marqué \(B\) en face de la graduation \(6\). Son segment mesure-t-il \(6\) cm ? 
Non : il est trop long. Le bout de la règle n'est pas le \(0\) — il y a un petit morceau de règle avant lui. En posant ce bout sur \(A\), Hugo a éloigné toute la graduation de \(A\), si bien que la graduation \(6\) se trouve à plus de \(6\) cm de \(A\). Pour réussir, il doit faire glisser la règle jusqu'à ce que le \(0\) soit sur \(A\).
Exemple
Voici un segment \(\SegmentFr{MN}\) et, en dessous, un point \(P\) tout seul. Comment tracer un segment partant de \(P\) et exactement aussi long que \(\SegmentFr{MN}\) ? 
En deux temps. D'abord lire la longueur : poser le \(0\) sur \(M\), aligner le bord sur le segment et lire la graduation en face de \(N\) — ici \(4\) cm. Ensuite la tracer : poser le \(0\) sur \(P\), tourner le bord dans la direction que l'on veut, marquer le point en face du \(4\), puis joindre. Le nouveau segment mesure \(4\) cm, il est donc aussi long que \(\SegmentFr{MN}\) même s'il ne va pas dans le même sens.
Toute figure géométrique est un ensemble de points. Une droite est un ensemble infini de points alignés ; un segment est l'ensemble de tous les points situés entre ses deux extrémités. Étudier une figure, c'est étudier quels points lui appartiennent, et comment les figures sont reliées entre elles — si deux droites se coupent, sont parallèles ou (plus tard) se rencontrent à angle droit. Ces relations se montrent en codant et en construisant la figure, puis, plus tard, en raisonnant.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître droites, segments et demi-droites
- Tracer droites, segments et demi-droites
- Tracer à la règle graduée
- Suivre des instructions de tracé
- Compter les droites possibles
- Placer des points sur le quadrillage
- Tracer sur le quadrillage
III
Le point d'intersection
Définition — Point d’intersection
Un point d’intersection est un point où deux ou plusieurs droites, segments ou demi-droites se croisent. 
Exemple
Trouver le point d’intersection des droites \(\LineFr{AB}\) et \(\LineFr{CD}\). 
Le point d’intersection est \(I\).
Compétences à pratiquer
- Trouver les points d'intersection
- Marquer le point d'intersection
IV
Les droites perpendiculaires
Définition — Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit — l'angle droit de l'équerre, le même angle que le coin d'une feuille de papier rectangulaire. Sur une figure, l'angle droit se montre par un petit carré tracé dans le coin : 
Méthode — Vérifier et tracer à l'équerre
Une équerre a un seul coin en angle droit ; les deux bords qui se rejoignent en ce coin forment l'angle droit. Ce sont ceux qu'on utilise — jamais le troisième côté, le grand côté opposé à l'angle droit. - Pour vérifier : poser le sommet de l'angle droit sur le point de croisement, un de ses deux bords le long de la première droite. Si la seconde droite suit exactement l'autre bord, les droites sont perpendiculaires ; si elle s'en écarte, elles ne le sont pas.
- Pour tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point : garder un bord de l'angle droit appuyé le long de la droite et le faire glisser jusqu'à ce que l'autre bord passe par le point, puis tracer le long de cet autre bord. Le sommet de l'angle droit se retrouve sur la droite, au point où la nouvelle droite la rencontre : ce point s'appelle le pied de la perpendiculaire.
Exemple
Léa a posé son équerre (en gris) pour vérifier les droites \((d)\) et \((d')\) : le sommet de l'angle droit est sur le point de croisement et un bord est posé le long de \((d)\). Les deux droites sont-elles perpendiculaires ? 
Non. La droite \((d')\) ne suit pas le second bord de l'angle droit : elle s'en écarte. Les droites \((d)\) et \((d')\) se coupent, mais pas à angle droit — elles ne sont pas perpendiculaires. Si \((d')\) avait suivi exactement ce bord, elles auraient été perpendiculaires et on aurait marqué le petit carré.
Exemple
Tracer la droite perpendiculaire à \((d)\) passant par le point \(A\). 
On garde un bord de l'angle droit le long de \((d)\) et on fait glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre bord passe par \(A\), puis on trace le long de cet autre bord. La nouvelle droite coupe \((d)\) en formant un angle droit, marqué par un petit carré ; le point de croisement est le pied de la perpendiculaire : 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître des droites perpendiculaires
- Utiliser l'équerre
- Tracer une perpendiculaire
V
Les droites parallèles
Définition — Droites parallèles
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent jamais, même si on les prolonge — ou bien c’est la même droite, tracée deux fois : on dit alors qu’elles sont confondues, et elles comptent, elles aussi, comme parallèles. Deux droites parallèles distinctes restent à la même distance l’une de l’autre, une distance qui se mesure perpendiculairement. 
Définition — Notation des droites parallèles
On note \(\LineFr{AB} \parallel \LineFr{CD}\) pour indiquer que la droite \(\LineFr{AB}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{CD}\). Sur une figure, les droites parallèles sont aussi indiquées par de petites flèches identiques sur chaque droite. 
Proposition — Deux perpendiculaires à une même droite
Si deux droites distinctes sont toutes les deux perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles : aussi loin qu'on les prolonge, elles restent à la même distance l'une de l'autre et ne se rencontrent jamais. 
Méthode — Vérifier et tracer des parallèles à l'équerre
- Pour vérifier que deux droites \((d)\) et \((d')\) sont parallèles : à l'équerre, tracer la perpendiculaire à \((d)\) et la prolonger jusqu'à couper \((d')\). Vérifier ensuite à l'équerre l'angle qu'elle forme avec \((d')\). Si cet angle est droit, les deux droites sont parallèles ; s'il ne l'est pas, elles ne le sont pas.
- Pour tracer la parallèle à \((d)\) passant par un point \(A\) : tracer d'abord la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\). Puis tracer la perpendiculaire à cette droite, encore par \(A\). Deux angles droits, donc la droite obtenue est parallèle à \((d)\).
Exemple
Ces deux droites ne se coupent nulle part sur la feuille, et elles ont l'air parallèles. Le sont-elles ? 
Non. On trace la perpendiculaire à \((d)\) et on la prolonge jusqu'à \((d')\) : l'équerre montre que le second angle n'est pas droit. Donc \((d)\) et \((d')\) ne sont pas parallèles — elles se rapprochent vers la droite et se couperaient bien au-delà de la feuille. Ne pas se couper sur la feuille ne prouve rien. 
Exemple
Voici une droite \((d)\) et un point \(A\) qui n'est pas dessus. Comment tracer la droite qui passe par \(A\) et qui est parallèle à \((d)\) ?
En deux tracés, tous deux à l'équerre. D'abord : tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\) (en pointillés sur la figure). Ensuite : tracer la perpendiculaire à cette droite en pointillés, encore par \(A\). La nouvelle droite est perpendiculaire à la même droite que \((d)\), donc, par la proposition ci-dessus, elle est parallèle à \((d)\) — et elle passe par \(A\), comme demandé.
Compétences à pratiquer
- Identifier les droites parallèles
- Utiliser les parallèles
- Tracer une parallèle
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes à plusieurs questions
- Quiz
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