Éducation Nationale Française · CM1
Les figures planes
I
Polygones et cercles
I.1
Les polygones
Définition — Polygone
Un polygone est une forme plate fermée, formée uniquement de côtés droits qui ne se croisent pas. Exemple
Regarder les formes ci-dessous. Décider si chacune est un polygone. 
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Définition — Classification des polygones
Un polygone est nommé selon le nombre de côtés qu’il possède. Voici quelques polygones courants :  |  |  |  |
| Triangle | Quadrilatère | Pentagone | Hexagone |
| 3 côtés | 4 côtés | 5 côtés | 6 côtés |
Définition — Polygone régulier
Un polygone régulier a tous ses côtés de la même longueur et tous ses angles égaux. 
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Compétences à pratiquer
- Identifier les polygones
- Nommer les polygones
- Dessiner des polygones
I.2
Le cercle : les points à la même distance du centre
Noah trace un parterre de fleurs rond dans le jardin. En marchant autour de ce qu'il espère être un cercle, il décrit une boucle irrégulière : jugé au seul coup d'œil, « rond » n'est pas assez précis pour être tracé sur le sol. 
Un cercle est déterminé par une propriété, et non par une allure : tous ses points sont à la même distance — le rayon — d'un même point, le centre. Noah plante un piquet au centre et y attache une ficelle de la longueur du rayon choisi. En tenant la ficelle tendue et en faisant le tour, chaque pas reste exactement à cette distance du piquet : le tracé obtenu est un vrai cercle. Le centre et le rayon suffisent à le déterminer.
Définition — Cercle
Un cercle est une ligne courbe fermée sur une surface plane — seulement la ligne, pas l’intérieur. Tous les points du cercle sont à la même distance d’un point appelé centre.Le rayon est un segment de droite qui relie le centre à un point du cercle. Le rayon est aussi la longueur de ce segment.
Le diamètre est un segment de droite qui passe par le centre et a ses extrémités sur le cercle. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment.
Compétences à pratiquer
- Construire un cercle à la règle et au compas
I.3
Disque, rayon et diamètre
Définition — Disque
Un cercle n'est que la courbe — la ligne du bord elle-même. Un disque est toute la région plate que le cercle entoure : le cercle et tous les points à l'intérieur. 
Proposition — Règle du diamètre et du rayon
- Le diamètre est le double du rayon.
- Le rayon est la moitié du diamètre.
Compétences à pratiquer
- Cercle ou disque ?
- Calculer le diamètre
- Calculer le rayon
II
Triangles et quadrilatères
II.1
Le triangle rectangle
Définition — Triangle
Un triangle est un polygone à trois côtés (et donc trois sommets et trois angles). 
Définition — Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Pour le vérifier, poser l'angle droit de l'équerre sur un coin du triangle : si les deux côtés sont alignés avec ses deux bords, ce coin est un angle droit et le triangle est rectangle. Sur une figure, cet angle droit est marqué par son petit carré, le code de l'angle droit. 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les triangles rectangles
- Vérifier des triangles à l'équerre
II.2
Les triangles isocèles et équilatéraux
On peut classer les triangles en regardant combien de leurs côtés sont égaux en longueur.
Définition — Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle dont au moins deux côtés sont de même longueur. Quand exactement deux le sont, le troisième côté est appelé la base, et le sommet opposé à la base est appelé le sommet principal. Un triangle équilatéral, dont les trois côtés sont égaux, est donc lui aussi isocèle. 
Définition — Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dans lequel les trois côtés sont égaux en longueur. C'est un cas particulier de triangle isocèle. 
Méthode — Construire un triangle avec une règle et un compas
Pour construire un triangle \(ABC\) avec \(AB = 3\) cm, \(AC = 6\) cm et \(BC = 5\) cm : - Tracer le segment \(\SegmentFr{AB}\) de longueur 3 cm avec la règle.
- Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon 6 cm.
- Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon 5 cm.
- Les deux arcs se coupent en deux points, un de chaque côté de \(\LineFr{AB}\). Marquer l'un ou l'autre comme \(C\) — les deux choix donnent le même triangle, chacun étant le symétrique de l'autre. Puis tracer les segments \(\SegmentFr{AC}\) et \(\SegmentFr{BC}\) avec la règle.
Compétences à pratiquer
- Nommer un triangle d'après ses côtés et ses angles
- Construire des triangles à la règle et au compas
II.3
Quadrilatère, carré, rectangle, losange
Définition — Quadrilatère
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés (et donc quatre sommets et quatre angles). Définition — Carré
Un carré est un quadrilatère avec quatre angles droits et quatre côtés égaux. 
Définition — Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère (polygone à 4 côtés) avec quatre angles droits. Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux en longueur. 
Définition — Losange
Un losange est un quadrilatère avec quatre côtés égaux. 
Le carré est les deux à la fois
Un rectangle a quatre angles droits, et ses côtés opposés ont la même longueur. Quand ils ne sont pas tous égaux, les deux plus longs donnent sa longueur et les deux plus courts sa largeur. Sur un dessin, de petits traits identiques en travers de deux côtés disent que ces deux côtés ont la même longueur — la section « Coder une figure » y revient.
Un losange a quatre côtés de la même longueur.
Un carré a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur : c'est donc un rectangle et un losange à la fois — un rectangle dont la longueur est égale à la largeur. Dire d'un carré « c'est un rectangle » n'est pas une erreur ; dire « c'est un carré » en dit seulement davantage.
Un losange a quatre côtés de la même longueur.
Un carré a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur : c'est donc un rectangle et un losange à la fois — un rectangle dont la longueur est égale à la largeur. Dire d'un carré « c'est un rectangle » n'est pas une erreur ; dire « c'est un carré » en dit seulement davantage.
Définition — Diagonale
Une diagonale d'un polygone est un segment qui relie deux sommets non voisins — deux coins qui ne sont pas déjà reliés par un côté. Un quadrilatère a deux diagonales. 
Compétences à pratiquer
- Identifier une figure d'après ses propriétés
II.4
Des côtés parallèles
Certains quadrilatères portent des noms spéciaux, en fonction de la longueur de leurs côtés, de leurs angles et du fait que leurs côtés opposés soient parallèles ou non.
Proposition — Propriétés du rectangle
Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux en longueur et parallèles. 
Proposition — Propriété du losange
Dans un losange, les côtés opposés sont parallèles. 
Compétences à pratiquer
- Déterminer les propriétés des quadrilatères
III
Reproduire et construire
III.1
Reproduire une figure
Méthode — Reproduire une figure sur quadrillage
Reproduire une figure, c'est la retracer exactement pareille : même forme, même taille. Sur du papier quadrillé, on n'a jamais besoin de mesurer — on compte les carreaux. - Choisir un sommet de départ sur le modèle, un sommet posé sur un coin du quadrillage, puis marquer le coin correspondant sur son propre quadrillage.
- Placer chaque autre sommet en comptant, depuis le sommet de départ, combien de carreaux il faut faire sur le côté et combien il faut monter ou descendre. Le marquer sur son quadrillage après le même comptage.
- Joindre les sommets à la règle, dans le même ordre que sur le modèle.
- Vérifier à la fin : même nombre de côtés et, pour chaque côté, le même nombre de carreaux à faire sur le côté et à monter ou descendre que sur le modèle.
Exemple
Voici une figure qui a deux côtés obliques. En partant de son sommet en bas à gauche, comment placer le sommet du haut et celui de droite ? 
En comptant, jamais en mesurant. Depuis le sommet en bas à gauche, le sommet de droite est à \(4\) carreaux sur le côté et \(2\) carreaux plus haut. Le sommet du haut est à \(2\) carreaux sur le côté et \(4\) carreaux plus haut. Une fois les deux marqués, le côté oblique se trace simplement en les joignant à la règle — et il tombe juste, sans une seule mesure. 
Exemple
Sami reproduit cette figure. Il part du sommet en bas à gauche et, pour placer le sommet au-dessus, il compte les traits du quadrillage : il en trouve \(4\) et monte de \(4\) carreaux. Où sa figure se trompe-t-elle ? 
Il est monté d'un carreau de trop. Entre les deux sommets il y a bien \(4\) traits du quadrillage, mais seulement \(3\) carreaux — le premier trait est celui d'où il part, il ne compte pour rien. Son côté fait \(4\) carreaux au lieu de \(3\), sa figure est donc plus haute que le modèle et ce n'est plus la même figure. Compter les carreaux, ou compter les traits et en enlever un. 
Compétences à pratiquer
- Reproduire une figure sur quadrillage
III.2
Les programmes de construction
Définition — Programme de construction
Un programme de construction est une liste ordonnée d'instructions qui explique, étape par étape, comment tracer une figure. Chaque instruction doit dire exactement quoi tracer, sans laisser aucun choix qui change la figure. L'endroit de la feuille où elle se trouve, et le sens dans lequel elle est tournée, n'ont pas d'importance : deux personnes qui suivent le même programme avec soin obtiennent la même figure — même forme, mêmes longueurs — même si l'une l'a tracée plus haut, ou dans l'autre sens. Les étapes suivies pour construire un cercle et un triangle étaient déjà des programmes de construction. Exemple
Voici un programme de construction d'un rectangle \(ABCD\) avec \(AB = 4\) cm et \(BC = 2\) cm. - Tracer le segment \(\SegmentFr{AB}\) de longueur \(4\) cm.
- En \(A\), à l'équerre, tracer la droite perpendiculaire à \(\SegmentFr{AB}\) ; placer dessus le point \(D\) avec \(AD = 2\) cm.
- En \(B\), à l'équerre, tracer la droite perpendiculaire à \(\SegmentFr{AB}\) ; placer dessus, du même côté de \(\LineFr{AB}\) que \(D\), le point \(C\) avec \(BC = 2\) cm.
- Tracer le segment \(\SegmentFr{DC}\). Le quadrilatère \(ABCD\) est le rectangle demandé.
Exemple
Voici un programme de construction d'un losange \(ABCD\) de côté \(4\) cm et de diagonale \(AC = 6\) cm. Comme tous les côtés d'un losange sont égaux, une longueur de côté et une diagonale suffisent. - Tracer le segment \(\SegmentFr{AC}\) de longueur \(6\) cm (ce sera une diagonale).
- Au compas, tracer l'arc de rayon \(4\) cm de centre \(A\) et l'arc de rayon \(4\) cm de centre \(C\), au-dessus de \(\SegmentFr{AC}\) ; placer \(B\) à leur intersection.
- Tracer de nouveau les deux arcs en dessous de \(\SegmentFr{AC}\) ; placer \(D\) à leur intersection.
- Tracer \(\SegmentFr{AB}\), \(\SegmentFr{BC}\), \(\SegmentFr{CD}\) et \(\SegmentFr{DA}\). Le quadrilatère \(ABCD\) est le losange demandé.
Compétences à pratiquer
- Suivre un programme de construction
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes de figures plus difficiles
- Résoudre des problèmes à plusieurs questions
- Quiz
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