La résolution de problèmes

Le même modèle partie-tout fonctionne pour les grands nombres. À retenir : la barre n'a pas besoin d'être dessinée à l'échelle — son rôle est d'aider à choisir l'opération, pas de mesurer.

• Si le tout est inconnu, on additionne les parties.
• Si une partie est inconnue, on soustrait la partie connue du tout.
• On calcule de tête quand les nombres le permettent, sinon on pose le calcul en colonne.

Dans un problème de comparaison, rien n'est découpé en parties : deux quantités sont comparées. Alors on dessine deux barres séparées, l'une sous l'autre, et on marque l'écart.

• Une barre par quantité : la plus grande est la plus longue.
• Lire le modèle, pas les mots : « de plus que » ou « de moins que » dit qui a plus — c'est ensuite le modèle qui dit s'il faut additionner ou soustraire.
• Pour trouver la plus grande : on ajoute l'écart. Pour la plus petite : on le soustrait. Pour l'écart : on soustrait la petite de la grande.

Ce sont les étapes déjà connues (comprendre l'histoire, dessiner le modèle, choisir l'opération, résoudre et vérifier) ; elles prennent ici un nom court. Tout problème se résout avec les mêmes quatre étapes.

1. Comprendre : raconter à nouveau l'histoire avec ses propres mots. Que sait-on ? Que cherche-t-on ?
2. Modéliser : choisir le dessin que l'histoire demande — un schéma en barres (des parties et un tout, deux barres pour une comparaison, des groupes égaux pour une multiplication), ou un tableau ou un arbre quand il faut compter ou lister les cas.
3. Calculer : le modèle montre l'opération. De tête quand les nombres le permettent, sinon l'opération se pose en colonne.
4. Répondre et vérifier : écrire la réponse avec son mot (cahiers, euros, rangées), puis se demander : est-ce possible ? Une partie ne dépasse jamais le tout ; un écart ne dépasse jamais la plus grande quantité ; le tout n'est jamais plus petit qu'une de ses parties.

Si la vérification échoue, l'erreur est dans l'une des trois premières étapes : relire l'histoire, puis le modèle, puis le calcul.

Avec des nombres jusqu'à \(10\,000\), un problème en une étape se lit exactement comme avec de plus petits nombres.

• Parties-tout : si le tout est inconnu, on additionne les parties ; si une partie est inconnue, on soustrait.
• Comparaison : deux quantités sont comparées. Pour trouver la plus grande, on ajoute l'écart ; pour la plus petite, on le soustrait ; pour l'écart, on soustrait la plus petite de la plus grande.
• Lire le modèle, pas les mots : « de plus » dans l'histoire ne veut pas dire « additionner ». Le modèle montre qui en a le plus, et l'opération suit le modèle.
• Ce qui change, c'est seulement le calcul : de tête quand les nombres le permettent, sinon l'opération se pose en colonne.

Quand un problème de comparaison demande le tout, une étape ne suffit pas : la seconde quantité manque.

• Étape 1 — trouver la quantité manquante. Dessiner les deux barres et regarder le modèle, pas les mots : si la quantité manquante est la plus grande, on ajoute l'écart ; si c'est la plus petite, on le soustrait.
• Étape 2 — additionner les deux quantités pour obtenir le tout.
• L'accolade à droite du modèle montre ce qui est demandé : elle couvre les deux barres.
• Le piège : l'écart ne s'ajoute jamais au tout. Il ne sert qu'à construire la seconde barre.

Dans un problème de groupes égaux, trois nombres se rencontrent : le nombre de groupes, la valeur d'un groupe et le tout. Deux sont donnés, le troisième est cherché. Le modèle en barres montre toujours la même image — un tout découpé en groupes égaux — et seule la place du « ? » change.

• Le tout est inconnu : on multiplie le nombre de groupes par la valeur d'un groupe.
• La valeur d'un groupe est inconnue : on divise le tout par le nombre de groupes.
• Le nombre de groupes est inconnu : on divise le tout par la valeur d'un groupe.
• Les deux divisions viennent de la même multiplication : \(\textcolor{colordef}{6} \times \textcolor{colorprop}{12}=\textcolor{olive}{72}\) donne à la fois \(72 \div 6 = 12\) et \(72 \div 12 = 6\).

Deux petits mots changent tout dans une comparaison.

• « quatre de plus » ajoute : la quantité augmente de quatre. C'est une addition, et le modèle montre deux barres avec un petit écart.
• « quatre fois plus » répète : la quantité est prise quatre fois. C'est une multiplication, et le modèle montre quatre barres égales.
• « quatre fois moins » partage : la quantité est découpée en quatre parts égales. C'est une division.
• Pour choisir, se demander : l'histoire ajoute-t-elle quelque chose, ou répète-t-elle la quantité ? Avec \(32\) : quatre de plus donne \(36\), quatre fois plus donne \(128\), quatre fois moins donne \(8\).

Certains problèmes demandent combien de couples on peut former, sans rien ajouter ni rien partager.

• Deux ensembles : on dessine un tableau, une ligne par objet du premier ensemble, une colonne par objet du second. Chaque case est un choix possible, et le nombre de cases est le produit des deux nombres.
• Trois ensembles : on dessine un arbre. De chaque branche du premier ensemble part une branche par objet du second, puis une branche par objet du troisième. Le nombre de branches finales est le produit des trois nombres.
• Le tableau et l'arbre ne donnent pas seulement le nombre : ils montrent toutes les solutions, et c'est ainsi que la réponse se vérifie.

Un problème mixte demande plusieurs opérations, et elles ne sont pas de la même sorte.

• Trouver d'abord les nombres cachés. Chaque nombre dont la question a besoin mais que l'histoire ne donne pas est une étape à lui seul.
• Écrire chaque étape avec son mot : « \(24\) places aux grandes tables », et pas seulement « \(24\) ». C'est ainsi qu'on vérifie une étape avant de commencer la suivante.
• Puis combiner : la dernière étape se lit dans l'histoire comme la première — additionner si les quantités sont réunies, soustraire si l'une est retirée de l'autre, multiplier si une quantité est répétée, diviser si elle est partagée.
• Vérifier à la fin : la réponse doit être possible pour toute l'histoire, pas seulement pour le dernier calcul.