Éducation Nationale Française · CE2
L'addition et la soustraction
I
Qu'est-ce que l'addition ?
Louis a deux boîtes de cubes. Une boîte contient 218 cubes, et l'autre en contient 123. 
\(+\)
Comment trouver combien de cubes Louis a en tout ?
\(+\)
Pour trouver le total, il faut additionner les deux quantités : $$\textcolor{colordef}{218} + \textcolor{colorprop}{123}$$ En rassemblant tous les cubes, on voit la somme totale. 
\(+\)
\(=\)
Le total est de \(\textcolor{olive}{341}\) cubes.
Compter tous ces cubes prendrait beaucoup de temps. Une manière plus rapide et mieux organisée pour additionner de grands nombres est l'addition en colonne. 
\(+\)\(=\) Compter tous ces cubes prendrait beaucoup de temps. Une manière plus rapide et mieux organisée pour additionner de grands nombres est l'addition en colonne.
Définition — Addition
L'addition, c'est rassembler des groupes pour trouver le total, qu'on appelle la somme. Le symbole \(+\) signifie « ajouter ».On peut représenter « \(\textcolor{colordef}{\text{deux cent dix-huit }}\text{plus}\textcolor{colorprop}{\text{ cent vingt-trois}}\text{ égale }\textcolor{olive}{\text{trois cent quarante et un}}\) » de plusieurs manières :
- Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{218} + \textcolor{colorprop}{123} = \textcolor{olive}{341}$$
- Avec des cubes : \(+\)\(=\)
- Avec une addition en colonne :
- Avec un modèle partie-tout :
Méthode — Addition en colonne avec retenue jusqu'à 1 000
On calcule : $$\textcolor{colordef}{288} + \textcolor{colorprop}{545}$$ - Étape 1 : Aligner les nombres par valeur de position.
On écrit les nombres l'un au-dessus de l'autre, en s'assurant que les unités, les dizaines et les centaines sont dans des colonnes bien droites.
- Étape 2 : Additionner les unités. $$\textcolor{colordef}{8} \text{ unités} + \textcolor{colorprop}{5} \text{ unités} = 13 \text{ unités}$$ 13 unités, c'est 1 dizaine et 3 unités. On écrit le \(\textcolor{olive}{3}\) dans la colonne des unités et on met la dizaine en retenue au-dessus de la colonne des dizaines.
- Étape 3 : Additionner les dizaines. $$1 \text{ dizaine (retenue)} + \textcolor{colordef}{8} \text{ dizaines} + \textcolor{colorprop}{4} \text{ dizaines} = 13 \text{ dizaines}$$ 13 dizaines, c'est 1 centaine et 3 dizaines. On écrit le \(\textcolor{olive}{3}\) dans la colonne des dizaines et on met la centaine en retenue au-dessus de la colonne des centaines.
- Étape 4 : Additionner les centaines. $$1 \text{ centaine (retenue)} + \textcolor{colordef}{2} \text{ centaines} + \textcolor{colorprop}{5} \text{ centaines} = \textcolor{olive}{8} \text{ centaines}$$ On écrit le \(\textcolor{olive}{8}\) dans la colonne des centaines.
- Le Résultat : $$\textcolor{colordef}{288} + \textcolor{colorprop}{545} = \textcolor{olive}{833}$$
\(+\) 
\(=\) 
Méthode — Additionner trois nombres en colonne
Trois nombres se posent aussi en colonnes, même de longueurs différentes. On calcule : - Étape 1 : poser l'addition Unités sous unités, dizaines sous dizaines, centaines sous centaines — le \(7\) va dans la colonne des unités.
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \phantom{\scriptstyle 1} & \phantom{\scriptstyle 2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{white}{6} & \textcolor{white}{5} & \textcolor{white}{1} \\ \end{array}\) - Étape 2 : additionner les unités $$6 + 7 + 8 = 21$$ On écrit \(1\), et la retenue vaut \(\mathbf{2}\) dizaines.
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \phantom{\scriptstyle 1} & \scriptstyle\textcolor{olive}{2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{white}{6} & \textcolor{white}{5} & \textcolor{olive}{1} \\ \end{array}\) - Étape 3 : additionner les dizaines $$7 + 6 + 2 = 15$$ On écrit \(5\), retenue \(1\) centaine.
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \scriptstyle\textcolor{olive}{1} & \scriptstyle\textcolor{olive}{2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{white}{6} & \textcolor{olive}{5} & \textcolor{olive}{1} \\ \end{array}\) - Étape 4 : additionner les centaines $$5 + 1 = 6$$
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \scriptstyle\textcolor{olive}{1} & \scriptstyle\textcolor{olive}{2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{olive}{6} & \textcolor{olive}{5} & \textcolor{olive}{1} \\ \end{array}\) - Résultat : $$76 + 7 + 568 = 651$$
Compétences à pratiquer
- Ajouter 100
- Compléter des égalités dans les deux sens
- Compléter des égalités
II
Les presque-dizaines : ajouter 8, 18, 28, 38 et retrancher 9, 19, 29, 39
Léa a \(247\) images et en gagne \(38\). Tom dit : « Ajoute \(40\), ça fait \(287\), puis rends \(2\) : \(285\). » Pourquoi Tom ajoute-t-il \(40\) et non \(38\) ?
Ajouter \(40\) est facile : seules les dizaines changent, \(247 + 40 = 287\). Mais \(40\), c'est \(2\) de plus que \(38\) : Tom a ajouté \(2\) de trop, alors il les rend : \(287 - 2 = 285\). Ajouter \(38\), c'est « ajouter \(40\), puis retirer \(2\) ».
Méthode — Ajouter ou soustraire une presque-dizaine
Une presque-dizaine est un nombre proche d'une dizaine entière : \(8\), \(9\), \(18\), \(19\), \(28\), \(29\), \(38\), \(39\). On passe par la dizaine entière, puis on corrige. - Ajouter 9, 19, 29, 39 : ajouter \(10\), \(20\), \(30\), \(40\), puis soustraire \(1\). \(456 + 29 = 486 - 1 = 485\).
- Ajouter 8, 18, 28, 38 : ajouter \(10\), \(20\), \(30\), \(40\), puis soustraire \(2\). \(456 + 38 = 496 - 2 = 494\).
- Soustraire 9, 19, 29, 39 : soustraire \(10\), \(20\), \(30\), \(40\), puis rajouter \(1\). \(456 - 29 = 426 + 1 = 427\).
- Soustraire 8, 18, 28, 38 : soustraire \(10\), \(20\), \(30\), \(40\), puis rajouter \(2\). \(456 - 38 = 416 + 2 = 418\).
Exemple
Calculer mentalement : (a) \(1\,235 + 19\) ; (b) \(672 + 28\) ; (c) \(3\,504 - 39\) ; (d) \(896 + 8\).
(a) \(1\,235 + 20 = 1\,255\), puis \(- 1\) : \(1\,254\). (b) \(672 + 30 = 702\), puis \(- 2\) : \(700\). (c) \(3\,504 - 40 = 3\,464\), puis \(+ 1\) : \(3\,465\). (d) \(896 + 10 = 906\), puis \(- 2\) : \(904\).
Compétences à pratiquer
- Ajouter 8, 18, 28 ou 38
- Retrancher 9, 19, 29 ou 39
III
L'addition en colonne
Samedi, le stade a accueilli \(4\,738\) spectateurs, dimanche \(2\,589\). Le responsable veut le total du week-end. Il y a bien trop de monde pour compter avec des cubes, et les nombres dépassent \(1\,000\). Dire comment trouver le total.
L'addition en colonne marche exactement comme à trois chiffres : une colonne de plus à gauche, celle des milliers. Unités : \(8 + 9 = 17\), on écrit \(7\), retenue \(1\) dizaine. Dizaines : \(1 + 3 + 8 = 12\), on écrit \(2\), retenue \(1\) centaine. Centaines : \(1 + 7 + 5 = 13\), on écrit \(3\), retenue \(1\) millier. Milliers : \(1 + 4 + 2 = 7\). 
\(4\,738 + 2\,589 = 7\,327\) : le stade a accueilli \(7\,327\) spectateurs.
Compétences à pratiquer
- Ajouter des milliers
- Additionner des nombres jusqu'à 10 000
- Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
IV
Qu'est-ce que la soustraction ?
Une collection contient 237 cubes. Si on en donne 114 à un ami, combien de cubes reste-t-il ? 
\(-\) 
\(=\)
\(-\) \(=\)
Pour trouver ce qu'il reste, on soustrait : $$237-114$$ Visuellement, on peut voir que si l'on enlève 114 cubes de 237, il en reste 123. \(-\) \(=\)
Il reste donc 123 cubes. Pour de grands nombres comme ceux-ci, compter les cubes est lent. Une stratégie beaucoup plus rapide est la soustraction en colonne. 
\(-\) \(=\) Définition — Soustraction
La soustraction, c'est enlever une quantité d'un groupe pour trouver ce qu'il reste. Ce résultat s'appelle la différence. Le signe moins (\(-\)) indique qu'il faut soustraire.On peut représenter « deux cent trente-sept moins cent quatorze égale cent vingt-trois » de différentes manières :
- Avec des nombres : $$237 - 114 = 123$$
- Avec des cubes : \(-\) \(=\)
- Avec une soustraction en colonne :
- Avec un modèle partie-tout :
La différence, c'est aussi un écart
Soustraire, ce n'est pas seulement enlever. Sur la droite graduée, \(32 - 14\) est aussi l'écart entre \(14\) et \(32\) : la distance pour aller de \(14\) à \(32\). 
À partir de \(14\), on avance jusqu'à la dizaine entière \(20\) (\(+6\)), puis jusqu'à \(30\) (\(+10\)), puis jusqu'à \(32\) (\(+2\)). L'écart vaut \(6 + 10 + 2 = 18\), donc \(32 - 14 = 18\).
- Chercher l'écart, c'est compléter l'addition à trou \(14 + \ldots = 32\) : \(32 - 14 = 18\) car \(14 + 18 = 32\).
- Cette façon est rapide quand les deux nombres sont proches : de \(48\) à \(52\), l'écart est \(4\), donc \(52 - 48 = 4\).
Proposition — La différence ne change pas
Si on ajoute la même quantité aux deux nombres, la différence ne change pas. Les deux nombres glissent ensemble, alors l'écart entre les deux ne bouge pas. $$32 - 14 = 38 - 20 = 42 - 24 = 18$$ Méthode — Soustraction en colonne jusqu'à 1 000 par compensation
La compensation fonctionne de la même façon avec les centaines. On calcule : - Étape 1 : poser la soustraction
Centaines sous centaines, dizaines sous dizaines, unités sous unités.
- Étape 2 : soustraire les unités $$4 - 8 \text{ est impossible.}$$ On ajoute \(10\) unités en haut — le petit \(1\) devant le \(4\) — et on compense avec \(1\) dizaine en bas : \(14 - 8 = 6\).
- Étape 3 : soustraire les dizaines $$6 - 2 - 1 = 3$$
- Étape 4 : soustraire les centaines $$3 - 1 = 2$$
- Résultat : $$364 - 128 = 236$$
Compétences à pratiquer
- Soustraire en colonne jusqu'à 1 000 sans compensation
V
La soustraction en colonne
Exemple
Calculer \(7\,012 - 4\,875\) en colonne.
La compensation marche aussi avec les milliers. Unités : \(2 - 5\) n'est pas possible, on ajoute \(10\) unités en haut et on compense avec \(1\) dizaine en bas : \(12 - 5 = 7\). Dizaines : \(1 - 7 - 1\) n'est pas possible, on ajoute \(10\) dizaines en haut, on compense avec \(1\) centaine en bas : \(11 - 7 - 1 = 3\). Centaines : \(0 - 8 - 1\) n'est pas possible, on ajoute \(10\) centaines en haut, on compense avec \(1\) millier en bas : \(10 - 8 - 1 = 1\). Milliers : \(7 - 4 - 1 = 2\). 
\(7\,012 - 4\,875 = 2\,137\). Contrôle : \(2\,137 + 4\,875 = 7\,012\).
Compétences à pratiquer
- Soustraire en colonne jusqu'à 1 000 avec compensation
- Poser une soustraction en colonne jusqu'à 10 000
- Soustraire en colonne jusqu'à 10 000
- Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
VI
Les termes, la somme et la différence
Les termes, la somme et la différence
Les nombres que l'on additionne sont les termes de l'addition ; le résultat est leur somme. Dans une soustraction, les deux nombres s'appellent aussi ses termes ; le résultat est leur différence.
- Dans \(4\,738 + 2\,589 = 7\,327\), les termes sont \(4\,738\) et \(2\,589\) : la somme de \(4\,738\) et de \(2\,589\) est \(7\,327\).
- Dans \(76 + 7 + 568 = 651\), il y a trois termes : \(76\), \(7\) et \(568\).
- Dans \(7\,012 - 4\,875 = 2\,137\), les termes sont \(7\,012\) et \(4\,875\) : la différence entre \(7\,012\) et \(4\,875\) est \(2\,137\).
Compétences à pratiquer
- Les termes, la somme et la différence
VII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Chiffres manquants, stratégies et problèmes à étapes
- Quiz
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