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Éducation Nationale Française · Première Enseignement scientifique

Nuage de points et ajustement affine

⌚ ~146 min ▢ 16 blocs ✓ 64 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Croiser deux caractères qualitatifs
I Deux caractères quantitatifs
En statistique univariée, on analyse une seule variable à la fois. La statistique bivariée étend cette analyse pour explorer la relation entre deux variables. En examinant des paires de données, on peut rechercher des motifs, déterminer la nature et la force de leur relation, et utiliser cette relation pour faire des prédictions. La statistique à deux variables étudie la relation entre deux variables quantitatives.
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Définition — Données bivariées
Les données bivariées sont formées de couples de valeurs de deux variables quantitatives, relevées pour chaque individu d'une population. Lorsqu'une variable est étudiée comme explication possible de l'autre, on écrit les couples \((x ; y)\), où :
  • \(x\) est la variable indépendante (ou variable explicative).
  • \(y\) est la variable dépendante (ou variable expliquée).
Exemple
Un enseignant enregistre les heures d'étude de chaque élève (\(x\)) et leur note à l'examen final (\(y\)).
Heures d'étude (\(x\)) 5 10 8 15
Note à l'examen (\(y\)) 50 85 75 95
Chaque paire de valeurs, telle que \((5\,;\,50)\), est un point de donnée bivariée.
Compétences à pratiquer
  • Identifier la variable explicative et la variable expliquée
II Le nuage de points
Définition — Nuage de points
Un nuage de points est un graphique qui représente des données bivariées par un ensemble de points dans un repère. La variable indépendante (explicative) est placée sur l'axe horizontal (axe des \(x\)), et la variable dépendante (expliquée) est placée sur l'axe vertical (axe des \(y\)).
Un nuage de points est le principal outil pour repérer, à l'œil, une relation éventuelle, ou corrélation, entre deux variables quantitatives.
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Méthode — Construire un nuage de points
  1. Identifier les variables : déterminer quelle variable est indépendante (\(x\)) et laquelle est dépendante (\(y\)).
  2. Préparer les axes : tracer et légender l'axe horizontal pour la variable \(x\) et l'axe vertical pour la variable \(y\), et choisir sur chaque axe une échelle adaptée à l'étendue des données.
  3. Placer les points : pour chaque couple \((x ; y)\) de la série, placer le point de coordonnées \((x ; y)\).
Exemple
Un enseignant a relevé le nombre d’heures d’étude de ses élèves et leur note à l’examen :
Heures d’étude (\(x\)) 5 10 8 15
Note à l’examen (\(y\)) 50 85 75 95
Construire un nuage de points pour visualiser ces données.

  1. Variables : « Heures d’étude » est la variable indépendante (\(x\)) et « Note à l’examen » est la variable dépendante (\(y\)).
  2. Axes : l’axe des abscisses porte « Heures d’étude » et l’axe des ordonnées « Note à l’examen » ; les échelles couvrent l’étendue des données.
  3. Placer les points : on place les quatre couples de coordonnées : \((5 ; 50)\), \((10 ; 85)\), \((8 ; 75)\) et \((15 ; 95)\).
Le nuage de points obtenu est présenté ci-dessous :
Illustration

Compétences à pratiquer
  • Associer des tableaux de données à des nuages de points
  • Tracer des nuages de points
III Lire un nuage de points
Définition — Corrélation
La corrélation décrit la nature de la relation entre deux variables quantitatives.
Définition — Sens : corrélation positive ou négative
Le sens d'une corrélation décrit la tendance générale des données.
  • Positive : lorsque la variable indépendante (\(x\)) augmente, la variable dépendante (\(y\)) a tendance à augmenter. Les points suivent une tendance à la hausse.
  • Négative : lorsque la variable indépendante (\(x\)) augmente, la variable dépendante (\(y\)) a tendance à diminuer. Les points suivent une tendance à la baisse.
Illustration  Illustration
Définition — Forme : linéaire ou non linéaire
La forme de la relation est linéaire si les points semblent alignés le long d'une droite. S'ils suivent une courbe qui n'est pas une droite, la forme est non linéaire.
IllustrationIllustration
Définition — Force
La force d'une corrélation décrit à quel point les points sont proches de la forme repérée.
IllustrationIllustrationIllustration
Définition — Données aberrantes
Une donnée aberrante est un point qui s'écarte nettement de la tendance générale du nuage.
Illustration
Méthode — Décrire une corrélation
Pour décrire la relation que montre un nuage de points, on commente toujours les quatre caractéristiques suivantes, en une phrase concise.
  1. Sens : la tendance est-elle croissante (corrélation positive), décroissante (corrélation négative), ou ni l'une ni l'autre ?
  2. Forme : est-elle linéaire, non linéaire, ou sans forme nette ?
  3. Force : est-elle forte, modérée ou faible ?
  4. Données aberrantes : y a-t-il des données aberrantes ?
Exemple
Décrire la corrélation entre les heures d'étude et les notes à l'examen que montre ce nuage de points.
Illustration

Il y a une corrélation positive et forte entre les heures d'étude et les notes à l'examen : à mesure que le nombre d'heures d'étude augmente, la note à l'examen a tendance à augmenter. Sa forme n'est pas tout à fait linéaire : les notes montent vite jusqu'à environ \(10\) heures, puis plafonnent, et le nuage se courbe. Il n'y a pas de données aberrantes évidentes.

Compétences à pratiquer
  • Déterminer le sens de la corrélation
  • Déterminer la force de la corrélation
  • Identifier la forme d'une corrélation
  • Interpréter les tendances dans les nuages de points
IV Corrélation n'est pas causalité
La corrélation n'implique pas la causalité
L'observation d'une relation statistique (corrélation) entre deux variables, \(x\) et \(y\), n'est pas une preuve suffisante pour conclure qu'un changement de \(x\) provoque un changement de \(y\).
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Définition — Causalité
Il y a causalité lorsqu'une variation de la variable indépendante produit, directement ou par étapes intermédiaires, une variation de la variable dépendante. La preuve la plus solide d'une causalité est une expérience contrôlée bien conçue ; des observations seules suffisent rarement.
Définition — Variable de confusion
Souvent, une corrélation entre deux variables (\(x\) et \(y\)) est créée ou déformée par un tiers facteur — observé ou non — appelé variable de confusion. Cette variable influence à la fois \(x\) et \(y\), si bien qu'une partie ou la totalité de leur corrélation vient d'elle et non d'un lien direct entre \(x\) et \(y\).
Exemple
Les données montrent une forte corrélation positive entre les ventes de glaces et le nombre de personnes qui attrapent un coup de soleil.
Cela signifie-t-il que manger des glaces provoque des coups de soleil ? Sinon, décrire la relation et indiquer la variable de confusion probable.

Non, manger des glaces ne provoque pas de coups de soleil.
  • La relation entre les ventes de glaces et les cas de coups de soleil est une corrélation, et non une causalité.
  • La variable de confusion probable est le temps ensoleillé : les journées chaudes et ensoleillées provoquent à la fois une hausse des ventes de glaces et une hausse du nombre de personnes qui attrapent un coup de soleil.
Illustration

Compétences à pratiquer
  • Distinguer corrélation et causalité
V La formule de la pente
Proposition — Formule de la pente
La pente (ou coefficient directeur) d'une droite non verticale passant par deux points distincts \(A\left(\textcolor{colordef}{x_A}\,;\textcolor{colorprop}{y_A}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{x_B}\,;\textcolor{colorprop}{y_B}\right)\) est donnée par la formule :$$\text{pente} = \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{x_A} \neq \textcolor{colordef}{x_B}$$ L’ordre des points n’a pas d’importance, à condition de faire les soustractions au numérateur et au dénominateur dans le même ordre.
Illustration
Exemple
Déterminer la pente de la droite \(\LineFr{AB}\) pour \(A\left(\textcolor{colordef}{1}\,;\textcolor{colorprop}{2}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{5}\,;\textcolor{colorprop}{4}\right)\).

Illustration
$$\begin{aligned}[t]\text{pente de }\LineFr{AB} &= \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{4}-\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{5}-\textcolor{colordef}{1}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{4}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Calculer la pente à partir de deux points
VI Le point moyen et la droite ajustée
Définition — Point moyen
Le point moyen d'un nuage de points \((x_1\,;\,y_1), (x_2\,;\,y_2), \ldots, (x_n\,;\,y_n)\) est le point \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) dont les coordonnées sont les moyennes des deux variables : $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \qquad \text{et} \qquad \bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}.$$ Le point moyen est le « centre de gravité » du nuage : ce n'est en général pas l'un des points tracés.
Méthode — Ajuster une droite au jugé
Lorsque les points d'un nuage sont à peu près alignés, on peut ajuster une droite au nuage, c'est-à-dire tracer une droite qui suit la tendance des points :
  1. Placer le point moyen \(G\) et faire passer la droite par \(G\).
  2. Suivre le nuage : faire tourner la droite autour de \(G\) pour qu'elle suive la direction des points, tous aussi proches d'elle que possible — pour contrôler grossièrement, les points doivent se répartir des deux côtés de la droite.
  3. Lire son équation \(y = ax + b\) sur le graphique (deux points de la droite donnent \(a\), puis \(b\)).
Deux personnes qui ajustent au jugé obtiennent deux droites légèrement différentes : l'ajustement est un jugement, pas un calcul.
Définition — Droite de Mayer
Pour ajuster une droite sans jugement, on peut utiliser la droite de Mayer : on range les points par \(x\) croissant et on partage le nuage en deux moitiés (la moitié des plus petites abscisses et la moitié des plus grandes ; si le nombre de points est impair, une moitié prend un point de plus) ; \(G_1\) et \(G_2\) sont les points moyens des deux moitiés, et la droite de Mayer est la droite \((G_1 G_2)\). Dès que les abscisses ne sont pas toutes égales, \(G_1\) et \(G_2\) ont des abscisses différentes et la droite n'est pas verticale. Elle passe toujours par le point moyen \(G\) du nuage entier (quand les moitiés ont la même taille, \(G\) est le milieu de \([G_1 G_2]\)).
Exemple
La population d'une ville (en milliers d'habitants) a été relevée tous les quatre ans. La variable \(x\) est le nombre d'années écoulées depuis le premier relevé.
\(x\) (années) \(0\) \(4\) \(8\) \(12\) \(16\) \(20\)
\(y\) (milliers) \(12{,}0\) \(12{,}7\) \(14{,}0\) \(14{,}5\) \(15{,}9\) \(16{,}4\)
  1. Tracer le nuage de points et calculer les coordonnées du point moyen \(G\).
  2. Calculer les points moyens \(G_1\) et \(G_2\) des deux moitiés, puis une équation de la droite de Mayer. Vérifier qu'elle passe par \(G\).
  3. Utiliser la droite pour estimer la population deux ans après le premier relevé, puis trente ans après. Laquelle des deux estimations est la moins digne de confiance ?

  1. \(\bar{x} = \dfrac{0 + 4 + 8 + 12 + 16 + 20}{6} = \dfrac{60}{6} = 10\) et \(\bar{y} = \dfrac{12{,}0 + 12{,}7 + 14{,}0 + 14{,}5 + 15{,}9 + 16{,}4}{6} = \dfrac{85{,}5}{6} = 14{,}25\) : \(G(10\,;\,14{,}25)\).
    Illustration
  2. Trois premiers points (\(x = 0\,;\,4\,;\,8\)) : \(G_1\left(\dfrac{0 + 4 + 8}{3}\,;\,\dfrac{12{,}0 + 12{,}7 + 14{,}0}{3}\right) = G_1(4\,;\,12{,}9)\). Trois derniers points (\(x = 12\,;\,16\,;\,20\)) : \(G_2(16\,;\,15{,}6)\). Le coefficient directeur de \((G_1 G_2)\) est \(a = \dfrac{15{,}6 - 12{,}9}{16 - 4} = \dfrac{2{,}7}{12} = 0{,}225\), et \(b = 12{,}9 - 0{,}225 \times 4 = 12\) : la droite de Mayer a pour équation \(y = 0{,}225x + 12\). Contrôle : \(0{,}225 \times 10 + 12 = 14{,}25 = \bar{y}\), donc \(G\) est sur la droite. Les points ne sont pas sur la droite — deux au-dessus, trois au-dessous et un sur elle — et c'est tout l'intérêt : la droite résume le nuage, elle ne passe pas par lui.
  3. Deux ans après le premier relevé, \(x = 2\) : \(y = 0{,}225 \times 2 + 12 = 12{,}45\), environ \(12\,450\) habitants — une estimation entre deux relevés. Trente ans après, \(x = 30\) : \(y = 0{,}225 \times 30 + 12 = 18{,}75\), environ \(18\,750\) habitants. La seconde estimation va dix ans au-delà du dernier relevé et suppose que la croissance garde le même rythme, ce que rien dans les données ne garantit : c'est la moins digne de confiance.

Méthode — Obtenir la droite des moindres carrés à la calculatrice ou au tableur
Les coefficients \(a\) et \(b\) de la droite des moindres carrés \(y = ax + b\) ne se calculent pas à la main : une calculatrice ou un tableur les donne.
  1. Saisir les données : les valeurs de \(x\) dans une liste (ou une colonne), celles de \(y\) dans une autre, dans le même ordre.
  2. Demander la droite : à la calculatrice, le menu des statistiques à deux variables, régression linéaire \(y = ax + b\) ; au tableur, avec \(x\) dans A2:A6 et \(y\) dans B2:B6, les formules =PENTE(B2:B6;A2:A6) et =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B6;A2:A6), ou une courbe de tendance linéaire ajoutée au nuage de points, avec son équation affichée.
  3. Arrondir avec mesure : garder à peu près autant de chiffres significatifs que les mesures en ont, et écrire l'équation avec les lettres de la situation.
  4. Contrôler avec le point moyen : la droite des moindres carrés passe par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) ; en remplaçant \(x\) par \(\bar{x}\) dans l'équation, on doit retrouver \(\bar{y}\), aux arrondis près.
Compétences à pratiquer
  • Évaluer la pertinence d'un modèle linéaire
  • Calculer le point moyen
  • Estimer la droite d'ajustement au jugé
  • Déterminer la droite de Mayer
VII Interpoler et extrapoler
Définition — Interpolation et Extrapolation
La droite d'ajustement peut être utilisée pour faire des prédictions :
  • L'interpolation est le processus de prédiction d'une valeur de \(y\) pour une valeur de \(x\) qui se situe à l'intérieur de l'étendue des données originales. Si la corrélation est forte, l'interpolation est généralement considérée comme fiable (pourvu que le modèle linéaire décrive bien les données).
  • L'extrapolation est le processus de prédiction d'une valeur de \(y\) pour une valeur de \(x\) qui se situe à l'extérieur de l'étendue des données originales. L'extrapolation est généralement considérée comme non fiable, car on ne peut pas supposer que la tendance linéaire se poursuit indéfiniment.
Exemple
Pour une enquête sur les heures d'étude et les notes d'examen (sur \(100\)), la calculatrice donne la droite d'ajustement \(y = 3{,}5x + 40\). Dans cette enquête, les heures d'étude allaient de 2 à 15 heures.
  1. Estimer la note d'examen d'un élève qui a étudié pendant 11 heures.
  2. Estimer la note d'examen d'un élève qui a étudié pendant 25 heures.
  3. Commenter la fiabilité de l'estimation de la question 2.

  1. Comme \(x=11\) est dans l'intervalle des valeurs observées, il s'agit d'une interpolation. $$ y = 3{,}5(11) + 40 = 38{,}5 + 40 = 78{,}5 $$ La note estimée est \(78{,}5\).
  2. Comme \(x=25\) est en dehors de l'intervalle des valeurs observées, il s'agit d'une extrapolation. $$ y = 3{,}5(25) + 40 = 87{,}5 + 40 = 127{,}5 $$ La note estimée est \(127{,}5\).
  3. L'estimation de la question 2 n'est pas fiable : c'est une extrapolation, et rien ne garantit que la tendance linéaire se poursuive jusqu'à 25 heures d'étude. De plus, le modèle donne une note supérieure à 100, ce qui est impossible : c'est le danger de l'extrapolation.

Compétences à pratiquer
  • Estimer des valeurs graphiquement
  • Estimer des valeurs avec une équation de droite
VIII Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Problèmes
  • Quiz