Éducation Nationale Française · CP
Le rang et les suites
I
Le rang
Cinq enfants font la queue devant le toboggan. Le point et la flèche montrent par où commence la file. 
Qui est le premier ? Qui est le dernier ?
On compte les enfants à partir du point de départ : un, deux, trois, quatre, cinq. 
L'enfant que l'on compte en premier est le premier : personne n'est devant lui. L'enfant que l'on compte en dernier est le dernier : personne n'est derrière lui.
Définition — Le rang d'un objet
Dans une file, le rang d'un objet est sa place quand on compte à partir du début. Le point montre où l'on commence, et la flèche montre dans quel sens on avance. 
Méthode — Trouver le rang
Pour trouver le rang d'un objet dans une file : - on cherche le point : il montre par où l'on commence ;
- on compte les objets un par un, en suivant la flèche ;
- on s'arrête sur l'objet demandé : le dernier nombre dit est son rang.
Le rang dépend du départ et du sens
Le même objet n'a pas toujours le même rang : cela dépend de l'endroit où la file commence et du sens dans lequel on avance. 
En comptant à partir du point de gauche, le citron encadré a le rang 2. 
En comptant à partir du point de droite — on part de l'autre bout, donc on avance aussi dans l'autre sens — le même citron a le rang 4. Avant de dire un rang, on regarde toujours par où l'on commence et dans quel sens on avance.
Compétences à pratiquer
- Trouver le rang
- Trouver le rang en partant de l'autre bout
II
Le rang jusqu'à vingtième
Six enfants font la queue au toboggan. Léa dit : « Je suis la troisième. » Combien d'enfants y a-t-il devant elle ? Et combien derrière elle ? 
Léa est la troisième : le premier et le deuxième sont devant elle, donc \(2\) enfants sont devant. Derrière elle viennent le quatrième, le cinquième et le sixième : \(3\) enfants. Vérification : \(2 + 1 + 3 = 6\).
Définition — Les nombres ordinaux jusqu'à vingtième
Le rang d'un objet dans une file est sa place quand on compte à partir du début. Les mots qui disent un rang sont les nombres ordinaux : | \(1\) premier | \(6\) sixième | \(11\) onzième | \(16\) seizième |
| \(2\) deuxième | \(7\) septième | \(12\) douzième | \(17\) dix-septième |
| \(3\) troisième | \(8\) huitième | \(13\) treizième | \(18\) dix-huitième |
| \(4\) quatrième | \(9\) neuvième | \(14\) quatorzième | \(19\) dix-neuvième |
| \(5\) cinquième | \(10\) dixième | \(15\) quinzième | \(20\) vingtième |
Méthode — Le rang et ceux qui précèdent
- Du rang à ceux qui précèdent : ceux qui précèdent sont un de moins que le rang (tous les rangs plus petits). Le septième en a \(6\) devant lui.
- De ceux qui précèdent au rang : si \(4\) personnes sont devant moi, je suis le cinquième (\(4 + 1\)).
- Le rang dépend du départ : compté depuis l'autre bout de la file, le rang peut changer (le troisième de six devient le quatrième ; le troisième de cinq reste le troisième).
Exemple
Voici une liste de nombres : \(2\), \(6\), \(10\), \(14\), \(18\), \(22\). (a) En quelle position est \(10\) ? (b) Quel nombre est en cinquième position ? (c) Combien de nombres viennent avant \(14\) ?
On compte les positions depuis le début : \(2\) premier, \(6\) deuxième, \(10\) troisième, \(14\) quatrième, \(18\) cinquième, \(22\) sixième. (a) \(10\) est en troisième position. (b) Le cinquième nombre est \(18\). (c) \(14\) est quatrième, donc \(3\) nombres viennent avant lui. Une position dans une liste est un rang : les nombres de la liste sont les objets, pas les rangs.
Compétences à pratiquer
- Dire le rang
- Compter ceux qui précèdent
- Trouver le rang dans une liste de nombres
III
Les motifs organisés
Définition — Motif
Un motif est une file d'objets rangés selon une règle. Le plus souvent, la règle dit de répéter un petit groupe, toujours dans le même ordre. 
Méthode — Lire un motif
Pour continuer un motif qui se répète : - on dit le motif à voix haute, comme une petite chanson ;
- on cherche le petit groupe qui se répète — la règle dit de le répéter — et on le chante ;
- on continue de chanter : la chanson dit ce qui vient ensuite.
Deux colliers – une chanson
Le premier collier chante : pomme, cerise, pomme, cerise. Le second chante : carré, rond, carré, rond. 
Les objets sont différents, mais le rythme de la chanson est le même : un, deux, un, deux. Un même motif peut porter des habits différents.
Compétences à pratiquer
- Trouver l'intrus
- Trouver la même chanson
IV
Suite périodique
Définition — Suite périodique
Une suite périodique est un motif qui répète toujours le même paquet, dans le même ordre. Ce paquet s'appelle la période. Il peut être fait de formes, de couleurs, de sons ou de nombres. Exemple
En observant le motif qui se répète, quelle est la couleur du prochain ballon de la suite ? 
La couleur du prochain ballon est rouge. La suite suit un motif simple qui se répète : rouge, bleu, rouge, bleu, et ainsi de suite. 
Méthode — Trouver la forme à un rang donné
Dans une suite qui se répète, il n'est pas nécessaire de tout dessiner jusqu'au rang demandé. - Trouver la période : le paquet qui se répète, et compter ses formes. Dans A B A B A B…, le paquet est « A B », il a \(2\) formes.
- Compter par paquets entiers jusqu'au rang demandé, puis compter ce qui reste. Pour la dix-neuvième lettre : \(9\) paquets de \(2\) font \(18\) lettres, et il en reste \(1\).
- Lire le reste dans le paquet : \(1\) de reste, c'est la première lettre du paquet : la dix-neuvième lettre est A. S'il ne reste rien, c'est la dernière forme du paquet.
Exemple
Dans la suite \(\triangle\) \(\times\) \(\square\) \(\circ\) \(\triangle\) \(\times\) \(\square\) \(\circ\) …, quel est le vingtième symbole ? Et le neuvième ?
Le paquet est « \(\triangle\) \(\times\) \(\square\) \(\circ\) » : \(4\) symboles. Vingtième : \(5\) paquets de \(4\) font exactement \(20\), il ne reste rien, c'est donc le dernier symbole du paquet : \(\circ\). Neuvième : \(2\) paquets de \(4\) font \(8\), il reste \(1\), c'est donc le premier symbole : \(\triangle\).
Compétences à pratiquer
- Trouver la prochaine forme dans le motif 1-1
- Trouver la prochaine forme dans le motif 1-1-1
- Trouver la prochaine forme dans le motif 1-1-1-1
- Trouver la prochaine forme dans le motif 2-1
- La forme à un rang donné
- Créer un motif
V
Suite numérique
Définition — Suite numérique
Une suite numérique est une liste de nombres dans un ordre précis. Chaque nombre de la suite s’appelle un terme, et les termes suivent une règle qui permet de trouver le nombre suivant. Exemple
Quel est le prochain nombre dans la suite ? $$0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,?$$
Le prochain nombre dans la suite est \(5\). Dans cette suite, on commence à \(0\) et on ajoute \(1\) à chaque fois pour obtenir le nombre suivant. 
Méthode — Trouver le nombre à un rang donné
Dans une suite de nombres qui avance par pas égaux, on trouve le pas (le saut d'un nombre au suivant), puis on avance pas à pas depuis le premier nombre, en comptant les rangs au fur et à mesure : pour \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\)…, le pas est \(+2\) ; premier \(1\), deuxième \(3\), troisième \(5\), quatrième \(7\), cinquième \(9\), sixième \(11\), septième \(13\). Un rang compte les nombres, il n'est pas l'un d'eux. Exemple
Dans la suite \(5\), \(10\), \(15\), \(20\)…, quel est le huitième nombre ?
Le pas est \(+5\). Premier \(5\), deuxième \(10\), troisième \(15\), quatrième \(20\), cinquième \(25\), sixième \(30\), septième \(35\), huitième \(40\).
Compétences à pratiquer
- Trouver le nombre suivant
- Le nombre à un rang donné
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Compléter des suites et leurs règles
- Problèmes
- Relier un motif à sa suite
- Quiz
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