Éducation Nationale Française · ECGappliquées 2
Espaces vectoriels de dimension finie
Ce chapitre mesure les objets d'algèbre linéaire rencontrés dans le cours précédent Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\). On y avait construit le vocabulaire — sous-espace, combinaison linéaire, sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}\), famille libre, famille génératrice, base — sur les espaces de référence concrets. On associe ici à chacun de ces espaces un seul entier, sa dimension \(\dim(E)\), qui ne dépend pas de la base choisie et qui répond à toutes les questions pratiques : « cette famille est-elle une base ? », « quelle est la dimension de ce sous-espace ? ». Le chapitre se clôt sur le rang d'une famille, qui mesure la dimension du sous-espace qu'elle engendre. À ce niveau, les espaces vectoriels restent concrets : tout espace est l'un des espaces de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}_n[X]\), ou un sous-espace de l'un d'eux, de sorte que la dimension se lit toujours sur une base explicite. Notations. \(E\) est un espace vectoriel réel ; vecteurs \(u, v, w, x \in E\) ; scalaires \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) ; sous-espaces engendrés notés \(\operatorname{Vect}(\dots)\). Convention. l'espace trivial \(\{0_E\}\) admet la famille vide \(()\) pour base et \(\dim \{0_E\} = 0\). Les outils rassemblés ici alimentent directement le chapitre suivant, Applications linéaires et matrices.
I
Espaces vectoriels de dimension finie et dimension
Définition — Espace vectoriel réel
À ce niveau, on garde les espaces vectoriels concrets. Un espace vectoriel réel est un ensemble \(E\) muni d'une addition interne \(+\) et d'une multiplication externe par un scalaire réel, obéissant aux règles de calcul habituelles (associativité et commutativité de \(+\), un vecteur nul \(0_E\), des opposés, distributivité de la multiplication scalaire sur les deux additions, et \(1 \cdot u = u\)) — exactement les règles déjà vérifiées sur les espaces de référence dans le cours précédent. Concrètement, tout espace que l'on manipule est l'un des espaces de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}_n[X]\) — chacun portant sa base canonique du cours précédent — ou un sous-espace de l'un d'eux. La théorie abstraite générale n'est pas développée ici ; dans tout espace rencontré dans ce cours, on calcule directement avec les coordonnées lues sur une base explicite.
I.1
Espaces de dimension finie et existence de bases
Le point de départ est modeste : de nombreux espaces rencontrés dans Introduction aux espaces vectoriels sont atteints par une liste finie de vecteurs au moyen de combinaisons linéaires. C'est cette unique propriété qui donne un sens à « dimension » et qui est le cadre de tout le chapitre.
Définition — Espace vectoriel de dimension finie
Un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dit de dimension finie lorsqu'il admet une famille génératrice finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) et des vecteurs \(v_1, \dots, v_p \in E\) tels que \(E = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\). Par convention, l'espace trivial \(\{0_E\}\) est aussi de dimension finie, de famille génératrice la famille vide \(()\). Exemple — Les espaces de référence sont de dimension finie
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la base canonique \((e_1, \dots, e_n)\) de Introduction aux espaces vectoriels engendre \(\mathbb{R}^n\), donc \(\mathbb{R}^n\) est de dimension finie. De même, la famille \((1, X, X^2, \dots, X^n)\) engendre \(\mathbb{R}_n[X]\), et la famille des matrices élémentaires \((E_{i,j})_{1 \le i \le n,\, 1 \le j \le p}\) engendre \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) — les deux sont de dimension finie. Exemple — Les sous-espaces de référence sont de dimension finie
Tout sous-espace décrit comme un sous-espace engendré \(F = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) dans \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}_n[X]\) ou \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) est de dimension finie par définition. Par exemple, dans \(\mathbb{R}^4\), le sous-espace \(\operatorname{Vect}((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1))\) est de dimension finie, engendré par le couple ci-dessus.
Espaces qui ne sont pas de dimension finie
L'espace \(\mathbb{R}[X]\) de tous les polynômes n'est pas de dimension finie : une famille finie contient des polynômes de degré borné, donc son sous-espace engendré ne contient que des polynômes de degré au plus un certain entier \(N\), et laisse en dehors le polynôme \(X^{N+1}\). L'espace des suites \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) n'est pas non plus de dimension finie par un argument du même type : pour toute famille finie \((u^{(1)}, \dots, u^{(p)})\) dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), choisir un entier \(N\) assez grand pour que les coefficients \(u^{(1)}_N, \dots, u^{(p)}_N\) soient fixés (ils le sont) et considérer la suite \(e^{(N+1)} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)\) avec un \(1\) en position \(N + 1\) et \(0\) partout ailleurs — sa coordonnée en position \(N + 1\) vaut \(1\), mais toute combinaison linéaire \(\sum \lambda_i u^{(i)}\) y prend la valeur fixée \(\sum \lambda_i u^{(i)}_{N+1}\), qui ne peut pas valoir \(1\) pour tous les choix de \(N\). Donc aucune famille finie n'engendre \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) — esquisse uniquement, pas de démonstration. L'espace des fonctions \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R})\) pour un intervalle infini \(I\) — seul cas utilisé dans ce cours — n'est pas non plus de dimension finie. Aucun de ces espaces n'est dans le périmètre de ce chapitre ; on les mentionne pour fixer la frontière explicitement.
Proposition — Extraction d'une base
Soit \(E\) de dimension finie. De toute famille génératrice finie de \(E\), on peut extraire une base de \(E\) (la famille vide dans le cas \(E = \{0_E\}\)).
Admis. L'idée est simple : si une famille génératrice \((v_1, \dots, v_p)\) n'est pas déjà libre, l'un des \(v_i\) est combinaison linéaire des autres (Introduction aux espaces vectoriels, caractérisation d'une famille liée) ; on le retire — la famille reste génératrice (Introduction aux espaces vectoriels, égalité de sous-espaces engendrés). On recommence jusqu'à obtenir une famille libre ; c'est alors une base.
Proposition — Existence d'une base
Tout \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie admet une base.
Admis (conséquence immédiate de la proposition précédente : on extrait une base d'une famille génératrice finie). Convention : la base de l'espace trivial \(\{0_E\}\) est la famille vide \(()\).
Méthode — Reconnaître un espace de dimension finie
Dans toutes les situations de ce cours, \(E\) sera l'un des espaces de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}_n[X]\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), ou un sous-espace donné comme un sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) — de dimension finie par définition. Un sous-espace donné comme l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène dans l'un de ces espaces est également de dimension finie ; c'est démontré au Dimension d'un sous-espace en paramétrant l'ensemble des solutions comme un tel sous-espace engendré. Réciproquement, \(\mathbb{R}[X]\), \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) et \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R})\) pour \(I\) infini ne sont pas de dimension finie ; si \(E\) s'inscrit dans l'un de ces espaces mais est décrit par une liste finie de générateurs, le cadre de la dimension finie s'applique. Compétences à pratiquer
- Reconnaître un espace de dimension finie
- Lister une famille génératrice finie
I.2
L'inégalité de cardinal et le théorème de la dimension
Dans un espace de dimension finie, les familles libres et génératrices n'ont pas des tailles arbitraires : libre est toujours « au plus aussi grande » que génératrice. Cette borne impose que toutes les bases d'un même espace ont le même nombre de vecteurs — ce nombre commun est la dimension.
Proposition — Inégalité de cardinal
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Si \(L\) est une famille libre de \(E\) à \(\ell\) vecteurs et \(G\) une famille génératrice de \(E\) à \(g\) vecteurs, alors \(\ell \le g\).
Admis. Idée : chaque vecteur de \(L\) est combinaison des vecteurs de \(G\) ; en regroupant les coefficients dans un système linéaire d'inconnues les « combinaisons de vecteurs de \(L\) valant \(0_E\) » et en raisonnant par Gauss (Systèmes linéaires) — plus d'inconnues que d'équations donnerait une solution non triviale, contredisant la liberté de \(L\).
Théorème — Théorème de la dimension
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie avec \(E \ne \{0_E\}\). Toutes les bases de \(E\) ont le même cardinal. Ce cardinal commun s'appelle la dimension de \(E\), noté \(\dim(E)\) (une définition formelle suit).
Admis. Idée : deux bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\) quelconques sont chacune à la fois libre et génératrice ; par l'inégalité de cardinal, \(|\mathcal{B}| \le |\mathcal{B}'|\) et \(|\mathcal{B}'| \le |\mathcal{B}|\), d'où l'égalité.
Définition — Dimension
La dimension d'un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(E\) est le cardinal commun de ses bases, noté \(\dim(E)\), avec \(\dim(\{0_E\}) = 0\) par convention. Un espace de dimension \(1\) est appelé une droite vectorielle ; un espace de dimension \(2\), un plan vectoriel. Exemple — Dimensions de référence
En lisant les bases canoniques de Introduction aux espaces vectoriels : - \(\dim(\mathbb{R}^n) = n\) (la base canonique \((e_1, \dots, e_n)\) comporte \(n\) vecteurs) ;
- \(\dim(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})) = n\) (base canonique \((E_1, \dots, E_n)\)) ;
- \(\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n + 1\) (base canonique \((1, X, X^2, \dots, X^n)\)) ;
- \(\dim(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})) = n p\) (base canonique des matrices élémentaires, \(np\) vecteurs).
Exemple — Une base non canonique confirme la dimension
Le couple \(((1, 1), (1, -1))\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) (calculée dans Introduction aux espaces vectoriels) ; il comporte \(2\) vecteurs, ce qui confirme \(\dim(\mathbb{R}^2) = 2\). La dimension ne dépend pas du choix de la base. Méthode — Lire une dimension de référence
Pour les espaces de référence, compter les vecteurs de la base canonique de Introduction aux espaces vectoriels : \(\dim(\mathbb{R}^n) = n\), \(\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n + 1\), \(\dim(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})) = np\), \(\dim(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})) = n\). Pour un sous-espace donné par un sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\), la dimension est au plus \(p\) (Introduction aux espaces vectoriels, la famille est génératrice) ; elle vaut exactement \(p\) lorsque la famille est libre — et la famille est alors elle-même une base. Compétences à pratiquer
- Lire une dimension de référence
- Comparer les cardinaux des familles libres et génératrices
I.3
Caractérisation des bases par le cardinal
Dans un espace de dimension finie \(E\) de dimension connue \(n\), les deux conditions d'être une base (libre et génératrice) deviennent équivalentes dès que la famille a pour cardinal exactement \(n\). Une seule vérification suffit alors.
Théorème — Caractérisation des bases par le cardinal
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N}^*\). Pour une famille \(\mathcal{F}\) de \(n\) vecteurs de \(E\), les trois énoncés sont équivalents : - \(\mathcal{F}\) est libre ;
- \(\mathcal{F}\) est génératrice de \(E\) ;
- \(\mathcal{F}\) est une base de \(E\).
Admis. Idée : une famille libre de cardinal \(n\) qui ne serait pas génératrice pourrait être étendue en une famille libre à \(n + 1\) vecteurs, ce qui contredirait l'inégalité de cardinal appliquée avec une base comme famille génératrice. Symétriquement, une famille génératrice de cardinal \(n\) qui ne serait pas libre pourrait être réduite en une famille génératrice à \(n - 1\) vecteurs, contredisant à nouveau l'inégalité.
Proposition — Corollaires sur les cardinaux
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N}^*\). Alors : - toute famille libre de \(E\) a au plus \(n\) vecteurs ;
- toute famille génératrice de \(E\) a au moins \(n\) vecteurs ;
- toute famille de \(E\) comportant strictement plus de \(n\) vecteurs est liée ;
- toute famille de \(E\) comportant strictement moins de \(n\) vecteurs n'est pas génératrice.
Admis. Conséquence directe de l'inégalité de cardinal appliquée avec une base de \(E\) quelconque (cardinal \(n\)) jouant le rôle de \(G\) ou de \(L\).
Exemple — Montrer qu'une famille est une base par le cardinal
Dans \(\mathbb{R}^3\) (dimension \(3\)), considérons \(\mathcal{F} = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1))\), qui est de cardinal \(3\). Pour montrer que c'est une base, le théorème indique qu'il suffit de montrer que \(\mathcal{F}\) est libre. En résolvant \(\lambda(1, 0, 0) + \mu(0, 1, 0) + \nu(1, 1, 1) = (0, 0, 0)\) coordonnée par coordonnée, on obtient le système \(\lambda + \nu = 0\), \(\mu + \nu = 0\), \(\nu = 0\), d'où \(\lambda = \mu = \nu = 0\). Donc \(\mathcal{F}\) est libre, et le théorème conclut que \(\mathcal{F}\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Exemple — Une famille qui ne peut pas être une base par le cardinal
Dans \(\mathbb{R}^3\), le couple \(((1, 1, 1), (1, 2, 3))\) a cardinal \(2 < 3\) ; par les corollaires sur les cardinaux il ne peut pas être générateur de \(\mathbb{R}^3\), donc ne peut pas être une base. Au mieux (s'il est libre) c'est une base du sous-espace de dimension \(2\) qu'il engendre. Dans \(\mathbb{R}_2[X]\) (dimension \(3\)), la famille \((1, X, X^2, X + X^2)\) a cardinal \(4 > 3\), donc elle est liée — et une relation de dépendance non triviale explicite s'écrit \(1 \cdot X + 1 \cdot X^2 + (-1) \cdot (X + X^2) = 0\) (coefficients \(0, 1, 1, -1\) sur \((1, X, X^2, X + X^2)\), non tous nuls). Méthode — Démontrer qu'une famille de cardinal \(n\) est une base
Lorsque la dimension \(n\) de \(E\) est connue et que \(\mathcal{F}\) a cardinal exactement \(n\), vérifier une seule propriété (la plus simple) : la liberté (résoudre \(\sum \lambda_i v_i = 0_E\) et démontrer que tous les \(\lambda_i\) sont nuls) ou le caractère générateur (résoudre \(\sum \lambda_i v_i = w\) pour \(w\) arbitraire et démontrer qu'une solution existe). L'autre propriété en découle automatiquement. En pratique, la liberté est presque toujours plus rapide : elle mène à un système linéaire homogène, plus simple que le système inhomogène requis pour le caractère générateur. Compétences à pratiquer
- Démontrer une base par le cardinal et la liberté
- Montrer qu'une famille n'est pas une base par le cardinal
I.4
Dimension d'un sous-espace
Dans un espace ambiant \(E\) de dimension finie, tout sous-espace hérite d'une dimension finie majorée par \(\dim(E)\) ; l'égalité des dimensions force l'égalité des sous-espaces. C'est l'usage pratique principal du théorème du Caractérisation des bases par le cardinal.
Proposition — Dimension d'un sous-espace
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace \(F\) de \(E\) est lui-même de dimension finie, et \(\dim(F) \le \dim(E)\).
Admis. Idée : par les corollaires sur les cardinaux du Caractérisation des bases par le cardinal, toute famille libre de \(F\) a au plus \(\dim(E)\) vecteurs (une famille libre de \(F\) est une famille libre de \(E\), et les corollaires donnent la borne supérieure). On construit alors une base de \(F\) par avidité, en ajoutant des vecteurs libres un à un : le processus s'arrête nécessairement (le cardinal ne peut pas dépasser \(\dim(E)\)) et la famille finale est une base de \(F\). Donc \(F\) est de dimension finie avec \(\dim(F) \le \dim(E)\).
Proposition — Caractérisation de l'égalité de sous-espaces par la dimension
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(F\) un sous-espace de \(E\). Si \(\dim(F) = \dim(E)\), alors \(F = E\).
Posons \(n = \dim(F) = \dim(E)\). Si \(n = 0\), alors \(\dim(E) = 0\) impose \(E = \{0_E\}\) (par la convention du L'inégalité de cardinal et le théorème de la dimension il n'y a pas d'autre espace de dimension zéro), et de même \(F = \{0_E\}\), donc \(F = E\) trivialement. Sinon \(n \in \mathbb{N}^*\) : une base \((f_1, \dots, f_n)\) de \(F\) est une famille de \(n\) vecteurs de \(F \subset E\), donc de \(E\). Elle est libre (en tant que base de \(F\)), donc c'est une famille libre de cardinal \(n = \dim(E)\) dans \(E\). Par la caractérisation des bases par le cardinal, c'est une base de \(E\). Par conséquent \(E = \operatorname{Vect}(f_1, \dots, f_n) = F\).
Exemple — Un sous-espace strict a une dimension strictement plus petite
\(F = \mathbb{R}_2[X] \subset \mathbb{R}_3[X]\) vérifie \(\dim F = 3 < 4 = \dim \mathbb{R}_3[X]\), donc \(F \subsetneq \mathbb{R}_3[X]\) (cohérent avec le polynôme \(X^3 \in \mathbb{R}_3[X] \setminus \mathbb{R}_2[X]\)). Exemple — Un hyperplan de \(\mathbb{R}^3\)
Le sous-espace \(H = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) (exemple de Introduction aux espaces vectoriels). Un vecteur de \(H\) s'écrit \((x, y, z) = (x, y, -x - y) = x (1, 0, -1) + y (0, 1, -1)\), donc \(H = \operatorname{Vect}((1, 0, -1), (0, 1, -1))\). Le couple est libre (vérification rapide coordonnée par coordonnée : \(\lambda(1, 0, -1) + \mu(0, 1, -1) = (\lambda, \mu, -\lambda - \mu) = (0, 0, 0)\) impose \(\lambda = \mu = 0\)), donc c'est une base de \(H\) et \(\dim(H) = 2 < 3 = \dim \mathbb{R}^3\), d'où \(H \subsetneq \mathbb{R}^3\). Méthode — Trouver la dimension d'un sous-espace
Pour un sous-espace \(F\) donné par une équation linéaire (ou un système) à l'intérieur d'un espace de référence, paramétrer l'ensemble des solutions par des paramètres libres (résoudre, isoler, compter les degrés de liberté) ; la paramétrisation obtenue se lit comme un sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}(w_1, \dots, w_d)\) avec \(d\) vecteurs explicites. Vérifier que les \(d\) générateurs sont libres (système linéaire homogène) — ils forment une base de \(F\), et \(\dim(F) = d\). Pour démontrer \(F = E\), le critère du Dimension d'un sous-espace permet de conclure dès que \(F \subset E\) et \(\dim(F) = \dim(E)\) (inutile de vérifier l'inclusion réciproque). Compétences à pratiquer
- Trouver la dimension d'un sous-espace par une base
- Conclure F égale E par la dimension
I.5
Rang d'une famille
Une dernière mesure attachée à une famille finie de vecteurs est son rang : la dimension du sous-espace qu'elle engendre. Il compte les vecteurs « utiles » de la famille — ceux qui apportent réellement une direction nouvelle — et se calcule en pratique par le pivot de Gauss, exactement comme pour un système linéaire.
Définition — Rang d'une famille finie
Soit \(\mathcal{F} = (v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de vecteurs d'un espace vectoriel réel \(E\). Le rang de \(\mathcal{F}\), noté \(\operatorname{rg}(\mathcal{F})\), est la dimension du sous-espace qu'elle engendre : $$ \operatorname{rg}(\mathcal{F}) = \dim\bigl( \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p) \bigr). $$ Proposition — Propriétés du rang
Soit \(\mathcal{F} = (v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de \(p\) vecteurs d'un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie. Alors : - \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) \le p\) et \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) \le \dim(E)\) ;
- \(\mathcal{F}\) est libre si et seulement si \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = p\) ;
- \(\mathcal{F}\) est génératrice de \(E\) si et seulement si \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = \dim(E)\) ;
- \(\mathcal{F}\) est une base de \(E\) si et seulement si \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = p = \dim(E)\).
Exemple — Rang dans \(\mathbb{R}^4\)
Le rang de \(\mathcal{F} = ((1, 1, 0, 0), (2, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 1))\) dans \(\mathbb{R}^4\) vaut \(2\). Le second vecteur est le double du premier (\((2, 2, 0, 0) = 2(1, 1, 0, 0)\)), donc il n'apporte aucune direction nouvelle ; il reste le couple libre \(((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1))\). Ainsi \(\operatorname{Vect}(\mathcal{F}) = \operatorname{Vect}((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1))\) est de dimension \(2\), donc \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = 2\). Comme \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = 2 < 3 = p\), la famille n'est pas libre. Exemple — Rang de polynômes
Le rang de \((X + 1, 2X + 2, X^2)\) dans \(\mathbb{R}_2[X]\) vaut \(2\) : le second polynôme est le double du premier (\(2X + 2 = 2(X + 1)\)), donc le sous-espace engendré vaut \(\operatorname{Vect}(X + 1, X^2)\), couple libre (les degrés \(1\) et \(2\) sont distincts), de dimension \(2\). Ainsi \(\operatorname{rg} = 2\). À l'inverse, \((1, X, X^2)\) a pour rang \(3 = \dim(\mathbb{R}_2[X])\), c'est donc une base de \(\mathbb{R}_2[X]\). Méthode — Calculer le rang par Gauss
Pour calculer \(\operatorname{rg}(v_1, \dots, v_p)\) dans un espace de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) ou \(\mathbb{R}_n[X]\) : écrire chaque vecteur en coordonnées dans la base canonique (un \(d\)-uplet de scalaires, \(d\) étant la dimension de l'espace ambiant), puis empiler ces coordonnées en lignes dans une matrice \(A\) et réduire \(A\) par Gauss. Le rang est le nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée, car les trois opérations de Gauss sur les lignes (échange, multiplication par un scalaire non nul, ajout d'un multiple d'une autre ligne) préservent le sous-espace engendré, donc la dimension qu'il engendre.
Pour aller plus loin
La dimension et le rang rassemblés ici forment l'ossature du chapitre suivant, Applications linéaires et matrices : une application linéaire entre espaces de dimension finie sera mesurée par deux dimensions complémentaires — celle de son noyau et celle de son image — reliées par la formule du rang, et le rang d'une famille calculé ci-dessus coïncidera avec le rang de la matrice dont les colonnes sont ces vecteurs. Lire une dimension sur une base explicite, comme on l'a pratiqué tout au long de ce chapitre, est le geste sur lequel reposent tous les calculs ultérieurs.
Compétences à pratiquer
- Calculer le rang d'une famille
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