\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Éducation Nationale Française · MPSI

Intégration sur un segment

⌚ ~346 min ▢ 41 blocs ✓ 175 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Dérivabilité, Fonctions réelles

Vue d'ensemble du chapitre

Ce chapitre construit l'intégrale \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t\) d'une fonction continue par morceaux \(f\) sur un segment \([a, b]\), à valeurs dans \(K = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et démontre les règles qu'utilise tout calcul d'intégrale. La construction comporte trois étapes. D'abord, l'intégrale d'une fonction en escalier est définie géométriquement, comme une somme de « base \(\times\) hauteur ». Ensuite, toute fonction continue par morceaux est approchée uniformément par des fonctions en escalier — c'est là qu'interviennent la continuité uniforme et le théorème de Heine. Enfin, l'intégrale d'une fonction continue par morceaux est définie comme la limite des intégrales de ses approximations, et la linéarité, la positivité, l'inégalité triangulaire et la relation de Chasles s'obtiennent par passage à la limite.
Pourquoi construire ? Le chapitre Intégration sur un segment admet l'aire sous une courbe ; ici rien ne l'est : l'intégrale est définie à partir de sommes finies, et ses règles sont démontrées au lieu d'être lues sur une figure. Trois résultats des chapitres précédents sont utilisés sans démonstration : le théorème de Bolzano-Weierstrass, le théorème des bornes atteintes et le théorème des valeurs intermédiaires.
Les trois dernières sections — sommes de Riemann, lien avec les primitives (théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable) et formules de Taylor globales — sont communes avec le chapitre Intégration sur un segment, ainsi que la méthode de majoration des intégrales et les règles de symétrie de la troisième section.
Convention. Dans tout le chapitre, \(K\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ; les énoncés qui font intervenir l'ordre (\(\le\), positivité, croissance) portent sur des fonctions à valeurs réelles.

Signaler une erreur

Prérequis

Ce chapitre suppose connu le chapitre Intégrales qui le précède : les primitives des fonctions usuelles (puissances, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus, \(\frac{1}{1 + t^2}\)) et la règle \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)\) pour une fonction continue \(f\) de primitive \(F\). La construction elle-même (les trois premières sections) ne s'en sert pas ; les exercices, si, dès la section Intégrale d'une fonction continue par morceaux — pour calculer une intégrale, une valeur moyenne ou la limite d'une somme de Riemann — alors que la règle n'est démontrée ici que dans la section Lien avec les primitives. C'est le seul endroit où le chapitre utilise, avant de le démontrer, un résultat repris d'un chapitre antérieur. Les techniques de cette section (intégration par parties, changement de variable, dérivation de \(x \mapsto \int_a^x f\)) ne sont pas supposées connues et n'apparaissent qu'à partir de là.
Du chapitre sur la continuité : le théorème de Heine — une fonction continue sur un segment est uniformément continue.

Signaler une erreur

I Continuité uniforme

I.1 Définition et exemples

Pourquoi la continuité uniforme ?

Une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\) vérifie : en chaque point \(y \in I\) et pour chaque tolérance \(\varepsilon > 0\), il existe un rayon \(\alpha > 0\) tel que \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \le \varepsilon\) dès que \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\). Le rayon dépend du point \(y\) : il peut se rétrécir quand \(y\) varie, comme la fonction \(x \mapsto x^2\) le montre en des points de plus en plus grands. La continuité uniforme exige qu'un seul rayon convienne pour tous les points à la fois. C'est une propriété plus forte, puisque \(x \mapsto x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et n'y est pas uniformément continue. Sur un segment, en revanche, la continuité suffit, et c'est le théorème de Heine.

Signaler une erreur

Définition — Continuité uniforme

Soient \(I\) un intervalle et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) une fonction. On dit que \(f\) est uniformément continue sur \(I\) si $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x, y \in I, \quad \lvert x - y \rvert \le \alpha \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \le \varepsilon. $$ Le rayon \(\alpha\) dépend de \(\varepsilon\) mais pas des points \(x\) et \(y\) : le même \(\alpha\) convient pour tout couple de points à distance au plus \(\alpha\). La continuité sur \(I\) a les quantificateurs dans un autre ordre, \(\forall y \in I, \ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x \in I\), et là \(\alpha\) peut dépendre de \(y\). Les mêmes mots définissent la continuité uniforme d'une fonction à valeurs complexes, la valeur absolue étant le module.

Figure — continuité uniforme

Comparaison schématique. Pour la même tolérance \(\varepsilon\) en deux points \(y_1\) et \(y_2\), le rayon qui convient est petit là où la courbe est raide et grand là où elle est plate ; la continuité uniforme exige un seul rayon valable en tout point de l'intervalle.

Signaler une erreur

Exemple — L'identité est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\)

Montrer que l'identité \(f(x) = x\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(\varepsilon > 0\) et prenons \(\alpha = \varepsilon\). Pour \(x, y \in \mathbb{R}\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\), $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - f(y) \rvert &= \lvert x - y \rvert && \text{(définition de \(f\))} \\ &\le \alpha && \text{(\(\lvert x - y \rvert \le \alpha\))} \\ &= \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\alpha = \varepsilon\). Le rayon \(\alpha = \varepsilon\) ne dépend pas de \(x\) et \(y\) : \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

Exemple — \(x^2\) est continue mais pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\)

La fonction \(f(x) = x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) mais pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

Continuité. La fonction \(x \mapsto x^2\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}\), d'après l'Exemple « \(x \mapsto x^2\) est continue en tout \(a\) ».
Pas de continuité uniforme. La négation de la Définition « Continuité uniforme » s'écrit : il existe \(\varepsilon_0 > 0\) tel que pour tout \(\alpha > 0\) il existe \(x, y \in \mathbb{R}\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\). Prenons \(\varepsilon_0 = 1\). Pour \(\alpha > 0\), prenons \(x = \frac{1}{\alpha}\) et \(y = \frac{1}{\alpha} + \alpha\). Alors \(\lvert x - y \rvert = \alpha \le \alpha\), et $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= \left(\frac{1}{\alpha} + \alpha\right)^2 - \frac{1}{\alpha^2} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{1}{\alpha^2} + 2 + \alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} && \text{(développement)} \\ &= 2 + \alpha^2 && \text{(simplification)} \\ &> 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\alpha^2 > 0\) donne \(2 + \alpha^2 > 2\). Donc \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > 1 = \varepsilon_0\) : aucun rayon \(\alpha\) ne convient pour la tolérance \(1\), quelle que soit sa taille. La fonction \(f\) n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\) : les points \(x\) et \(y\) sont à une distance \(\alpha\) aussi petite qu'on veut, mais la parabole est si raide loin de \(0\) que leurs images sont à une distance supérieure à \(1\).

Proposition — Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue

Soient \(I\) un intervalle et \(f \colon I \to \mathbb{R}\). Si \(f\) est lipschitzienne sur \(I\), alors \(f\) est uniformément continue sur \(I\). Si \(f\) est uniformément continue sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\). Aucune réciproque n'est vraie : \(x \mapsto x^2\) est continue et non uniformément continue sur \(\mathbb{R}\), et l'Exemple « \(\sqrt{x}\) est uniformément continue mais non lipschitzienne » donne une fonction uniformément continue et non lipschitzienne.

Lipschitzienne implique uniformément continue. Soit \(f\) une fonction \(K\)-lipschitzienne sur \(I\) avec \(K > 0\) (une fonction \(0\)-lipschitzienne est aussi \(1\)-lipschitzienne). Soient \(\varepsilon > 0\) et \(\alpha = \frac{\varepsilon}{K}\). Pour \(x, y \in I\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\), $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\le K \lvert x - y \rvert && \text{(\(f\) est \(K\)-lipschitzienne)} \\ &\le K \alpha && \text{(\(\lvert x - y \rvert \le \alpha\))} \\ &= \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(K \alpha = K \cdot \frac{\varepsilon}{K}\). Donc \(f\) est uniformément continue sur \(I\), avec le rayon \(\alpha\) qui ne dépend que de \(\varepsilon\) et de \(K\).
Uniformément continue implique continue. Soient \(f\) uniformément continue sur \(I\), \(y \in I\) et \(\varepsilon > 0\). Le rayon \(\alpha > 0\) donné par la Définition « Continuité uniforme » vérifie, pour tout \(x \in I\), \(\lvert x - y \rvert \le \alpha \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \le \varepsilon\) : c'est la Définition « Continuité en un point » au point \(y\). Donc \(f\) est continue en tout point de \(I\).

Compétences à pratiquer

Établir la continuité uniforme par la définition ★★
Réfuter la continuité uniforme ★★

I.2 Le théorème de Heine

Sur un segment, la continuité suffit

La continuité uniforme est une exigence forte : la fonction \(x \mapsto x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et n'y est pas uniformément continue. Sur un segment, en revanche, la continuité suffit : c'est le théorème de Heine, démontré ici de deux façons, avec une suite extraite et avec une bissection. Sur un intervalle qui n'est pas un segment, l'extrémité manquante décide : une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert est uniformément continue exactement quand elle a une limite finie à l'extrémité manquante, comme le montre la Proposition « Continuité uniforme sur un intervalle semi-ouvert et limite finie ».

Signaler une erreur

Théorème — Théorème de Heine

Soient \(a < b\) et \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) continue sur le segment \([a, b]\). Alors \(f\) est uniformément continue sur \([a, b]\).

Première démonstration : une suite extraite. Raisonnons par l'absurde. Supposons que \(f\) ne soit pas uniformément continue sur \([a, b]\). En niant la Définition « Continuité uniforme », il existe \(\varepsilon_0 > 0\) tel que pour tout \(\alpha > 0\) il existe \(x, y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), appliquons cela à \(\alpha = \frac{1}{n + 1}\) : cela donne \(x_n, y_n \in [a, b]\) avec \(\lvert x_n - y_n \rvert \le \frac{1}{n + 1}\) et \(\lvert f(x_n) - f(y_n) \rvert > \varepsilon_0\).
La suite \((x_n)\) est bornée, puisque \(a \le x_n \le b\). D'après le Théorème « Bolzano–Weierstrass » du chapitre Suites réelles, il existe une extraction \(\varphi\) avec \(x_{\varphi(n)} \to c \in \mathbb{R}\), et le passage à la limite dans \(a \le x_{\varphi(n)} \le b\) donne \(c \in [a, b]\). La suite \((y_{\varphi(n)})\) tend aussi vers \(c\). Comme \(\lvert x_n - y_n \rvert \le \frac{1}{n + 1}\), la Proposition « Encadrement à zéro » du chapitre Suites réelles donne \(x_n - y_n \to 0\), et sa suite extraite \(x_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)}\) tend vers \(0\) par la Proposition « La limite passe aux suites extraites » du même chapitre. Par les opérations sur les limites finies de suites, $$ \begin{aligned} y_{\varphi(n)} &= x_{\varphi(n)} - \left(x_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)}\right) && \text{(calcul)} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} c - 0 = c. \end{aligned} $$ Comme \(f\) est continue en \(c \in [a, b]\), la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » donne \(f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)\) et \(f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)\), donc \(f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \to 0\). Mais \(\lvert f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \rvert > \varepsilon_0\) pour tout \(n\), et le passage à la limite dans cette inégalité donne \(0 \ge \varepsilon_0\), ce qui est faux. Donc \(f\) est uniformément continue sur \([a, b]\).
Seconde démonstration : la bissection. Supposons de nouveau que \(f\) ne soit pas uniformément continue sur \([a, b]\), et soit \(\varepsilon_0 > 0\) comme ci-dessus : pour tout \(\alpha > 0\) il existe \(x, y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\). Disons qu'une partie \(S \subset [a, b]\) est mauvaise si pour tout \(\alpha > 0\) il existe \(x \in S\) et \(y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\). Le segment \([a, b]\) est mauvais, par le choix de \(\varepsilon_0\).
Découpage. Si un segment \(S = [p, q]\) est mauvais, l'une de ses moitiés \(S' = [p, m]\) et \(S'' = [m, q]\), avec \(m = \frac{p + q}{2}\), est mauvaise. Supposons qu'aucune ne le soit. Il existe \(\alpha' > 0\) tel qu'aucun \(x \in S'\) n'ait de partenaire \(y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha'\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\), et de même \(\alpha'' > 0\) pour \(S''\). Soient \(\alpha = \min(\alpha', \alpha'')\) et \(x \in S = S' \cup S''\). Un partenaire \(y\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\) vérifierait \(\lvert x - y \rvert \le \alpha'\) si \(x \in S'\), et \(\lvert x - y \rvert \le \alpha''\) si \(x \in S''\), ce qui est exclu. Donc aucun point de \(S\) n'a un tel partenaire à distance au plus \(\alpha\) : \(S\) n'est pas mauvais, une contradiction.
Segments emboîtés. En partant de \(S_0 = [a, b]\), le découpage donne des segments mauvais \(S_n = [a_n, b_n]\), chacun moitié du précédent, avec \(b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \to 0\). D'après la Proposition « Segments emboîtés » du chapitre Suites réelles, \(a_n \to c\) et \(b_n \to c\) pour un point \(c\) qui appartient à tous les \(S_n\), en particulier \(c \in [a, b]\).
Contradiction. Comme \(f\) est continue en \(c\), il existe \(\eta > 0\) tel que \(\lvert f(t) - f(c) \rvert \le \frac{\varepsilon_0}{2}\) pour tout \(t \in [a, b]\) avec \(\lvert t - c \rvert \le \eta\). Choisissons \(n\) avec \(b_n - a_n \le \frac{\eta}{2}\), et soit \(\alpha = \frac{\eta}{2}\). Soient \(x \in S_n\) et \(y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\). Comme \(c \in S_n\), \(\lvert x - c \rvert \le b_n - a_n \le \eta\), et \(\lvert y - c \rvert \le \lvert y - x \rvert + \lvert x - c \rvert \le \alpha + \frac{\eta}{2} = \eta\). Alors $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\le \lvert f(x) - f(c) \rvert + \lvert f(c) - f(y) \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \frac{\varepsilon_0}{2} + \frac{\varepsilon_0}{2} && \text{(\(\lvert x - c \rvert \le \eta\) et \(\lvert y - c \rvert \le \eta\))} \\ &= \varepsilon_0, \end{aligned} $$ la dernière étape étant un calcul. Donc aucun point de \(S_n\) n'a de partenaire \(y\) à distance au plus \(\alpha\) avec \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\) : \(S_n\) n'est pas mauvais, ce qui contredit sa construction. Donc \(f\) est uniformément continue sur \([a, b]\).

Première démonstration : une suite extraite. Raisonnons par l'absurde. Supposons que \(f\) ne soit pas uniformément continue sur \([a, b]\). En niant la Définition « Continuité uniforme », il existe \(\varepsilon_0 > 0\) tel que pour tout \(\alpha > 0\) il existe \(x, y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), appliquons cela à \(\alpha = \frac{1}{n + 1}\) : cela donne \(x_n, y_n \in [a, b]\) avec \(\lvert x_n - y_n \rvert \le \frac{1}{n + 1}\) et \(\lvert f(x_n) - f(y_n) \rvert > \varepsilon_0\).
La suite \((x_n)\) est bornée, puisque \(a \le x_n \le b\). D'après le Théorème « Bolzano–Weierstrass » du chapitre Suites réelles, il existe une extraction \(\varphi\) avec \(x_{\varphi(n)} \to c \in \mathbb{R}\), et le passage à la limite dans \(a \le x_{\varphi(n)} \le b\) donne \(c \in [a, b]\). La suite \((y_{\varphi(n)})\) tend aussi vers \(c\). Comme \(\lvert x_n - y_n \rvert \le \frac{1}{n + 1}\), la Proposition « Encadrement à zéro » du chapitre Suites réelles donne \(x_n - y_n \to 0\), et sa suite extraite \(x_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)}\) tend vers \(0\) par la Proposition « La limite passe aux suites extraites » du même chapitre. Par les opérations sur les limites finies de suites, $$ \begin{aligned} y_{\varphi(n)} &= x_{\varphi(n)} - \left(x_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)}\right) && \text{(calcul)} \\ &\xrightarrow[n \to +\infty]{} c - 0 = c. \end{aligned} $$ Comme \(f\) est continue en \(c \in [a, b]\), la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » donne \(f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)\) et \(f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)\), donc \(f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \to 0\). Mais \(\lvert f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \rvert > \varepsilon_0\) pour tout \(n\), et le passage à la limite dans cette inégalité donne \(0 \ge \varepsilon_0\), ce qui est faux. Donc \(f\) est uniformément continue sur \([a, b]\).
Seconde démonstration : la bissection. Supposons de nouveau que \(f\) ne soit pas uniformément continue sur \([a, b]\), et soit \(\varepsilon_0 > 0\) comme ci-dessus : pour tout \(\alpha > 0\) il existe \(x, y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\). Disons qu'une partie \(S \subset [a, b]\) est mauvaise si pour tout \(\alpha > 0\) il existe \(x \in S\) et \(y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\). Le segment \([a, b]\) est mauvais, par le choix de \(\varepsilon_0\).
Découpage. Si un segment \(S = [p, q]\) est mauvais, l'une de ses moitiés \(S' = [p, m]\) et \(S'' = [m, q]\), avec \(m = \frac{p + q}{2}\), est mauvaise. Supposons qu'aucune ne le soit. Il existe \(\alpha' > 0\) tel qu'aucun \(x \in S'\) n'ait de partenaire \(y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha'\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\), et de même \(\alpha'' > 0\) pour \(S''\). Soient \(\alpha = \min(\alpha', \alpha'')\) et \(x \in S = S' \cup S''\). Un partenaire \(y\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\) et \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\) vérifierait \(\lvert x - y \rvert \le \alpha'\) si \(x \in S'\), et \(\lvert x - y \rvert \le \alpha''\) si \(x \in S''\), ce qui est exclu. Donc aucun point de \(S\) n'a un tel partenaire à distance au plus \(\alpha\) : \(S\) n'est pas mauvais, une contradiction.
Segments emboîtés. En partant de \(S_0 = [a, b]\), le découpage donne des segments mauvais \(S_n = [a_n, b_n]\), chacun moitié du précédent, avec \(b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \to 0\). D'après la Proposition « Segments emboîtés » du chapitre Suites réelles, \(a_n \to c\) et \(b_n \to c\) pour un point \(c\) qui appartient à tous les \(S_n\), en particulier \(c \in [a, b]\).
Contradiction. Comme \(f\) est continue en \(c\), il existe \(\eta > 0\) tel que \(\lvert f(t) - f(c) \rvert \le \frac{\varepsilon_0}{2}\) pour tout \(t \in [a, b]\) avec \(\lvert t - c \rvert \le \eta\). Choisissons \(n\) avec \(b_n - a_n \le \frac{\eta}{2}\), et soit \(\alpha = \frac{\eta}{2}\). Soient \(x \in S_n\) et \(y \in [a, b]\) avec \(\lvert x - y \rvert \le \alpha\). Comme \(c \in S_n\), \(\lvert x - c \rvert \le b_n - a_n \le \eta\), et \(\lvert y - c \rvert \le \lvert y - x \rvert + \lvert x - c \rvert \le \alpha + \frac{\eta}{2} = \eta\). Alors $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\le \lvert f(x) - f(c) \rvert + \lvert f(c) - f(y) \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \frac{\varepsilon_0}{2} + \frac{\varepsilon_0}{2} && \text{(\(\lvert x - c \rvert \le \eta\) et \(\lvert y - c \rvert \le \eta\))} \\ &= \varepsilon_0, \end{aligned} $$ la dernière étape étant un calcul. Donc aucun point de \(S_n\) n'a de partenaire \(y\) à distance au plus \(\alpha\) avec \(\lvert f(x) - f(y) \rvert > \varepsilon_0\) : \(S_n\) n'est pas mauvais, ce qui contredit sa construction. Donc \(f\) est uniformément continue sur \([a, b]\).

Méthode — Utiliser Heine en pratique

Pour décider ou utiliser la continuité uniforme d'une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\) :

Sur un segment : si \(f\) est continue sur un segment \([a, b]\), elle y est uniformément continue, d'après le Théorème « Théorème de Heine » ; étant donné \(\varepsilon > 0\), il fournit un rayon \(\alpha > 0\) valable en tout point de \([a, b]\). Ce rayon ne dépend que de \(\varepsilon\) et de \(f\), pas du point, donc on peut l'utiliser pour tous les points de \([a, b]\) à la fois.
Sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert : regarder les limites aux extrémités manquantes. Si \(f\) est continue sur \(]a, b]\) avec une limite finie en \(a\), elle est uniformément continue, d'après la Proposition « Continuité uniforme sur un intervalle semi-ouvert et limite finie » ; si la limite en \(a\) est infinie ou n'existe pas, elle ne l'est pas.
Quand \(f\) est lipschitzienne : une majoration \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \le K \lvert x - y \rvert\) donne directement le rayon \(\frac{\varepsilon}{K}\), d'après la Proposition « Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue », sur tout intervalle.
Pour réfuter : utiliser la Méthode « Prouver qu'une fonction n'est pas uniformément continue ».

Compétences à pratiquer

Utiliser le théorème de Heine en pratique ★★

II Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux

II.1 Fonctions en escalier

Les briques de construction

La construction de l'intégrale se fait par étapes. Les fonctions en escalier — constantes par morceaux sur une subdivision — ont une intégrale géométrique définie par sommation « base \(\times\) hauteur ». Les fonctions continues par morceaux étendent cela à une classe plus riche contenant toutes les fonctions continues, et l'intégrale s'étendra par approximation uniforme. Cette section introduit les deux classes et leur structure algébrique.
Convention. Sauf mention contraire, la construction sur un segment \([a, b]\) suppose \(a < b\). Le cas dégénéré \(a = b\) est traité plus loin par la convention \(\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0\) (Définition « Extension de la notation à \(b \le a\) »).

Signaler une erreur

Définition — Subdivision d'un segment

Une subdivision de \([a, b]\) est une famille finie \(\sigma = (x_0, x_1, \dots, x_p)\) de points de \([a, b]\) vérifiant \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_p = b\). Le réel $$ \textcolor{colordef}{\operatorname{pas}(\sigma) := \max_{0 \le k \le p-1} (x_{k+1} - x_k) > 0} $$ est appelé le pas de \(\sigma\).

Exemple

\(\sigma = (0, 1, 2, 3)\) est une subdivision de \([0, 3]\) de pas \(\operatorname{pas}(\sigma) = 1\). La famille \((0 \,;\, 0{,}5 \,;\, 1 \,;\, 3)\) est une autre subdivision de \([0, 3]\), de pas \(2\) (l'écart le plus grand est \(3 - 1 = 2\)).

Définition — Fonction en escalier

Une fonction \(f : [a, b] \to K\) est dite en escalier s'il existe une subdivision \(\sigma = (x_0, \dots, x_p)\) de \([a, b]\), appelée subdivision adaptée à \(f\), telle que $$ \textcolor{colordef}{f \text{ est constante sur chaque sous-intervalle ouvert } ]x_k, x_{k+1}[ \text{ pour tout } k \in \{0, \dots, p-1\}}. $$ Les valeurs de \(f\) aux points \(x_0, x_1, \dots, x_p\) ne sont pas contraintes par cette définition.

Exemple

Toute fonction constante \(f \equiv c\) sur \([a, b]\) est en escalier : prendre la subdivision triviale \((a, b)\) et \(f\) est constante sur l'unique sous-intervalle ouvert \(\,]a, b[\). La fonction partie entière \(\lfloor \cdot \rfloor\) sur \([0, 3]\) est en escalier de subdivision adaptée \((0, 1, 2, 3)\) et de valeurs \(0, 1, 2\) sur les trois sous-intervalles ouverts.

Figure — fonction en escalier

Une fonction en escalier sur \([a, b]\) avec subdivision \((x_0, x_1, x_2, x_3, x_4)\) et valeurs constantes \(y_0, y_1, y_2, y_3\) sur les sous-intervalles ouverts.

Signaler une erreur

Proposition — Stabilité des fonctions en escalier

Soient \(f, g : [a, b] \to K\) deux fonctions en escalier et \(\lambda, \mu \in K\). La réunion d'une subdivision adaptée à \(f\) et d'une subdivision adaptée à \(g\) est adaptée aux deux. De plus, \(|f|\), \(\operatorname{Re}(f)\), \(\operatorname{Im}(f)\), \(\lambda f + \mu g\) et \(f g\) sont en escalier sur \([a, b]\). En particulier, l'ensemble des fonctions en escalier sur \([a, b]\) à valeurs dans \(K\) est une sous-algèbre de \(K^{[a, b]}\).

Sur la réunion de deux subdivisions adaptées, \(f\) et \(g\) sont chacune constante sur chaque sous-intervalle ouvert ; toute combinaison algébrique de valeurs constantes y est donc constante. Idem pour \(|f|\), \(\operatorname{Re}\), \(\operatorname{Im}\) (appliquées à des valeurs constantes). La propriété de sous-algèbre en découle.

Compétences à pratiquer

Construire des subdivisions adaptées à une fonction ★★

II.2 Fonctions continues par morceaux

Un nombre fini de sauts

Les fonctions en escalier sont trop pauvres pour contenir les fonctions continues. La classe que vise la construction est celle des fonctions continues par morceaux : continues entre les points d'une subdivision, avec des limites finies de chaque côté de ces points — un graphe formé d'un nombre fini d'arcs continus, avec d'éventuels sauts entre eux.

Signaler une erreur

Définition — Fonction continue par morceaux

Une fonction \(f : [a, b] \to K\) est continue par morceaux sur \([a, b]\) s'il existe une subdivision \((x_0, \dots, x_p)\) de \([a, b]\), appelée adaptée à \(f\), telle que :

\(f\) est continue sur chaque sous-intervalle ouvert \(\,]x_k, x_{k+1}[\) ;
\(f\) admet une limite finie en \(x_k^+\) et en \(x_{k+1}^-\), pour chaque sous-intervalle ouvert \(\,]x_k, x_{k+1}[\).

L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur \([a, b]\) à valeurs dans \(K\) est noté \(\mathcal{CM}([a, b], K)\).

Figure — fonction continue par morceaux

Une fonction continue par morceaux avec des discontinuités de saut aux points de subdivision \(x_1, x_2\).

Signaler une erreur

Exemple

La fonction partie entière \(\lfloor \cdot \rfloor\) est continue par morceaux sur \([0, 3]\) (elle est même en escalier, avec subdivision \((0, 1, 2, 3)\)).

Exemple

La fonction \(f(x) = 1/x\) sur \(\,]0, 1]\) prolongée par une valeur quelconque en \(0\) n'est pas continue par morceaux sur \([0, 1]\) : elle est continue sur \(\,]0, 1]\) mais n'admet pas d'extension continue finie en \(0^+\) (car \(1/x \to +\infty\)).

Proposition — Les fonctions continues par morceaux forment une sous-algèbre

L'ensemble \(\mathcal{CM}([a, b], K)\) est une sous-algèbre de \(K^{[a, b]}\) : \(|f|\), \(\operatorname{Re}(f)\), \(\operatorname{Im}(f)\), \(\lambda f + \mu g\), et \(f g\) sont continues par morceaux sur \([a, b]\) dès que \(f, g\) le sont. Elle contient toutes les fonctions en escalier sur \([a, b]\) et toutes les fonctions continues sur \([a, b]\).

Sur la réunion de deux subdivisions adaptées, les extensions continues de \(f\) et \(g\) sur chaque sous-intervalle ouvert sont bien définies ; toute combinaison algébrique de ces extensions est elle-même continûment prolongeable. Le cas en escalier (constante sur chaque sous-intervalle ouvert) s'inscrit trivialement, et une fonction globalement continue utilise la subdivision triviale \((a, b)\).

Proposition — Continue par morceaux \(\Rightarrow\) bornée

Toute fonction \(f \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) est bornée sur \([a, b]\) ; en particulier, sa norme infinie \(\|f\|_\infty = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|\) est finie. Notons que \(|f|\) n'atteint pas nécessairement sa borne supérieure (elle peut n'être approchée que comme limite unilatérale en un point de subdivision, sans être atteinte).

Soit \((x_0, \dots, x_p)\) une subdivision adaptée. Sur chaque sous-intervalle ouvert \(\,]x_k, x_{k+1}[\), l'extension continue \(\tilde f_k\) de \(f\) est continue sur le sous-intervalle fermé \([x_k, x_{k+1}]\) ; par le théorème des bornes atteintes, \(|\tilde f_k|\) est majorée par un certain \(M_k\). Le maximum de \(M_0, \dots, M_{p-1}\) et des valeurs \(|f(x_0)|, \dots, |f(x_p)|\) majore \(|f|\) sur \([a, b]\).

Compétences à pratiquer

Identifier les fonctions en escalier et les fonctions continues par morceaux ★
Utiliser la structure de sous-algèbre des fonctions continues par morceaux ★★

II.3 Approximation uniforme par des fonctions en escalier

Proche en tout point à la fois

Le pont entre les deux classes : toute fonction continue par morceaux peut être approchée, d'aussi près que l'on veut et uniformément sur \([a, b]\), par une fonction en escalier. « Uniformément » signifie qu'une même borne vaut en tout point à la fois : \(\|f - \varphi\|_\infty < \varepsilon\), si bien que \(|f(x) - \varphi(x)| < \varepsilon\) pour tout \(x \in [a, b]\). Une suite \((\varphi_n)\) de fonctions en escalier converge uniformément vers \(f\) quand \(\|f - \varphi_n\|_\infty \to 0\) : pour \(n\) grand, \(\varphi_n\) est proche de \(f\) en tout point à la fois.

Signaler une erreur

Théorème — Approximation uniforme par fonctions en escalier

Toute fonction \(f \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) est la limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier sur \([a, b]\). En particulier, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe une fonction en escalier \(\varphi\) telle que \(\|f - \varphi\|_\infty < \varepsilon\).

Deux cas, par un argument de subdivision adaptée.

Cas 1 — \(f\) continue sur \([a, b]\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), posons \(x_{n, k} = a + k (b - a)/n\) pour \(k \in \{0, \dots, n\}\), et soit \(\varphi_n\) la fonction en escalier définie par $$ \varphi_n(x) = f(x_{n, k}) \text{ pour } x \in [x_{n, k}, x_{n, k+1}[, \quad \varphi_n(b) = f(b). $$ Par le théorème de Heine, \(f\) est uniformément continue sur \([a, b]\) : pour \(\varepsilon > 0\) donné, il existe \(\alpha > 0\) avec \(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\) dès que \(|x - y| < \alpha\). Choisissons \(N \in \mathbb{N}^*\) tel que \((b - a)/N < \alpha\). Pour \(n \ge N\) et \(x \in [a, b[\), \(x\) appartient à un certain \([x_{n, k}, x_{n, k+1}[\) avec \(|x - x_{n, k}| < (b - a)/n \le (b - a)/N < \alpha\), donc \(|\varphi_n(x) - f(x)| = |f(x_{n, k}) - f(x)| < \varepsilon\). D'où \(\|\varphi_n - f\|_\infty \le \varepsilon\), donc \(\varphi_n \to f\) uniformément.
Cas 2 — \(f\) continue par morceaux sur \([a, b]\). Soit \((x_0, \dots, x_p)\) une subdivision adaptée. Sur chaque \([x_k, x_{k+1}]\), l'extension continue \(\tilde f_k\) de \(f\) sur la partie ouverte est continue sur un segment fermé, donc par le Cas 1 il existe une suite \((\varphi_{k, n})_n\) de fonctions en escalier sur \([x_k, x_{k+1}]\) qui approche \(\tilde f_k\) uniformément. Recollons : posons \(\varphi_n(x) = \varphi_{k, n}(x)\) pour \(x \in \,]x_k, x_{k+1}[\) et \(\varphi_n(x_k) = f(x_k)\) en chaque point de subdivision. Alors \(\varphi_n\) est une fonction en escalier sur \([a, b]\), et \(\|\varphi_n - f\|_\infty = \max_k \|\varphi_{k, n} - \tilde f_k\|_{\infty, \,]x_k, x_{k+1}[} \to 0\).

Figure — approximation uniforme

Une fonction \(f\) continue sur \([a, b]\) et une fonction en escalier \(\varphi_n\) prenant la valeur \(f(x_{n, k})\) sur chaque \([x_{n, k}, x_{n, k+1}[\) d'une partition uniforme : \(\|\varphi_n - f\|_\infty \to 0\) quand \(n \to +\infty\) par Heine.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Approcher une fonction continue par des fonctions en escalier ★★★

III Intégrale d'une fonction continue par morceaux

III.1 Intégrale d'une fonction en escalier

Stratégie

On définit d'abord l'intégrale \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t\) d'une fonction en escalier \(f\) comme la somme géométrique « base \(\times\) hauteur » sur ses paliers. Cette définition est indépendante de la subdivision adaptée (argument de raffinement). Pour une fonction continue par morceaux \(f\) générale, on approche \(f\) uniformément par des fonctions en escalier \(\varphi_n\) (Théorème « Approximation uniforme par fonctions en escalier ») et on définit \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t\) comme la limite de \(\int_{[a, b]} \varphi_n\). L'essentiel du travail est de vérifier que cette limite existe et ne dépend pas du choix de \((\varphi_n)\). Les propriétés standards (linéarité, inégalité triangulaire, Chasles) en découlent par passage à la limite depuis le cas en escalier.

Signaler une erreur

Définition — Intégrale d'une fonction en escalier

Soit \(f : [a, b] \to K\) une fonction en escalier de subdivision adaptée \((x_0, \dots, x_p)\), et soit \(y_k \in K\) la valeur constante de \(f\) sur \(\,]x_k, x_{k+1}[\) pour \(k \in \{0, \dots, p - 1\}\). Le nombre $$ \textcolor{colordef}{\sum_{k=0}^{p - 1} y_k (x_{k+1} - x_k)} $$ ne dépend que de \(f\) et non du choix de la subdivision adaptée. Il s'appelle l'intégrale de \(f\) sur \([a, b]\), notée $$ \textcolor{colordef}{\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t}. $$ Les valeurs de \(f\) aux points \(x_0, x_1, \dots, x_p\) n'apparaissent pas dans cette somme, et n'affectent donc pas l'intégrale.

Preuve Indépendance de la subdivision adaptée

Pour deux subdivisions adaptées \(\sigma\) et \(\sigma'\) de \([a, b]\), leur réunion \(\sigma \cup \sigma'\) est adaptée (Proposition « Stabilité des fonctions en escalier »). Il suffit de prouver que la somme a la même valeur sur \(\sigma\) et sur un raffinement \(\sigma'\) de \(\sigma\) obtenu en ajoutant un point. Ajouter un point \(x'\) entre \(x_k\) et \(x_{k+1}\) scinde le terme \(y_k (x_{k+1} - x_k)\) en \(y_k (x' - x_k) + y_k (x_{k+1} - x') = y_k (x_{k+1} - x_k)\) — inchangé. En itérant : la somme est la même sur \(\sigma\) que sur \(\sigma \cup \sigma'\), et de même sur \(\sigma'\) que sur \(\sigma \cup \sigma'\), donc égale sur \(\sigma\) et \(\sigma'\).

Exemple

Calculer \(\int_{[0, 3]} f(t)\,\mathrm{d}t\) pour la fonction en escalier \(f\) définie par \(f = 2\) sur \(\,]0, 1[\), \(f = -1\) sur \(\,]1, 3[\), avec des valeurs arbitraires en \(0, 1, 3\).

La subdivision adaptée est \((0, 1, 3)\). Par la Définition « Intégrale d'une fonction en escalier » : $$ \int_{[0, 3]} f(t)\,\mathrm{d}t = 2 \cdot (1 - 0) + (-1) \cdot (3 - 1) = 2 - 2 = 0. $$ Les valeurs de \(f\) en \(0\), \(1\), \(3\) n'interviennent pas dans le calcul.

Proposition — Linéarité et inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier

Soient \(f, g : [a, b] \to K\) deux fonctions en escalier et \(\lambda, \mu \in K\). Alors

Linéarité : \(\int_{[a, b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t + \mu \int_{[a, b]} g(t)\,\mathrm{d}t\).
Inégalité triangulaire : \(\left| \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_{[a, b]} |f(t)|\,\mathrm{d}t \le (b - a) \|f\|_\infty\).

Sur une subdivision adaptée commune (réunion des subdivisions adaptées à \(f\) et \(g\)), notons les valeurs constantes \(y_k\) pour \(f\) et \(z_k\) pour \(g\) sur \(\,]x_k, x_{k+1}[\).

La valeur constante de \(\lambda f + \mu g\) sur \(\,]x_k, x_{k+1}[\) est \(\lambda y_k + \mu z_k\), donc $$ \int_{[a, b]} (\lambda f + \mu g) = \sum_k (\lambda y_k + \mu z_k)(x_{k+1} - x_k) = \lambda \sum_k y_k(x_{k+1} - x_k) + \mu \sum_k z_k(x_{k+1} - x_k). $$
L'inégalité triangulaire sur les sommes donne \(|\int f| = |\sum_k y_k (x_{k+1} - x_k)| \le \sum_k |y_k|(x_{k+1} - x_k) = \int |f(t)|\,\mathrm{d}t\). La seconde inégalité vient de \(|y_k| \le \|f\|_\infty\) et \(\sum (x_{k+1} - x_k) = b - a\).

Compétences à pratiquer

Calculer l'intégrale d'une fonction en escalier ★

III.2 Passage à la limite

Deux points à vérifier

Une fonction continue par morceaux \(f\) est approchée par des fonctions en escalier \(\varphi_n\) avec \(\|f - \varphi_n\|_\infty \to 0\), et son intégrale est définie comme la limite des intégrales des \(\varphi_n\). Deux points doivent être vérifiés pour que cette définition ait un sens : la limite existe, et elle ne dépend pas de la suite \((\varphi_n)\) choisie. Tous deux reposent sur l'inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier, le premier aussi sur le théorème de Bolzano-Weierstrass. Un troisième point est alors immédiat : sur une fonction en escalier, la nouvelle définition coïncide avec l'ancienne.

Signaler une erreur

Définition — Intégrale d'une fonction continue par morceaux

Soit \(f \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) et \((\varphi_n)\) une suite de fonctions en escalier sur \([a, b]\) convergeant uniformément vers \(f\) (une telle suite existe par le Théorème « Approximation uniforme par fonctions en escalier »). Alors la suite \(\left( \int_{[a, b]} \varphi_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge dans \(K\), et sa limite ne dépend pas du choix de \((\varphi_n)\). Cette limite commune est l'intégrale de \(f\) sur \([a, b]\), notée $$ \textcolor{colordef}{\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t := \lim_{n \to +\infty} \int_{[a, b]} \varphi_n}. $$ Pour une fonction en escalier, cette définition coïncide avec la précédente (la Définition « Intégrale d'une fonction en escalier »).

Trois points à vérifier.

Convergence. Pour \(m, n \in \mathbb{N}\), par linéarité et l'inégalité triangulaire (Proposition « Linéarité et inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier ») : $$ \left| \int \varphi_n - \int \varphi_m \right| = \left| \int (\varphi_n(t) - \varphi_m(t))\,\mathrm{d}t \right| \le (b - a) \|\varphi_n - \varphi_m\|_\infty \le (b - a) (\|\varphi_n - f\|_\infty + \|f - \varphi_m\|_\infty). $$ Posons \(\ell_n = \int_{[a, b]} \varphi_n\) et \(\varepsilon_n = \|\varphi_n - f\|_\infty \to 0\), de sorte que \(|\ell_n - \ell_m| \le (b - a)(\varepsilon_n + \varepsilon_m)\) pour tous \(m, n\). La suite \((\ell_n)\) est bornée dans \(K\) (\(|\ell_n| \le |\ell_0| + (b - a)(\varepsilon_n + \varepsilon_0)\), et \((\varepsilon_n)\), convergente, est bornée), donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass (valable pour les suites bornées de \(\mathbb{R}\) comme de \(\mathbb{C}\)) elle admet une sous-suite convergente \(\ell_{\sigma(p)} \to L\). Fixons \(n\) : pour tout \(p\), $$ |\ell_n - L| \le |\ell_n - \ell_{\sigma(p)}| + |\ell_{\sigma(p)} - L| \le (b - a)(\varepsilon_n + \varepsilon_{\sigma(p)}) + |\ell_{\sigma(p)} - L|, $$ et en faisant \(p \to +\infty\) : \(|\ell_n - L| \le (b - a)\,\varepsilon_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\). Donc la suite entière converge vers \(L\), avec la majoration \(\left| \int \varphi_n - L \right| \le (b - a)\|\varphi_n - f\|_\infty\) pour tout \(n\).
Indépendance de la suite. Si \((\psi_n)\) est une autre suite de fonctions en escalier avec \(\psi_n \to f\) uniformément, la même estimation donne $$ \left| \int \varphi_n - \int \psi_n \right| \le (b - a)(\|\varphi_n - f\|_\infty + \|f - \psi_n\|_\infty) \to 0, $$ donc \(\lim \int \varphi_n = \lim \int \psi_n\).
Coïncidence avec le cas en escalier. Si \(f\) est elle-même en escalier, prenons \(\varphi_n = f\) pour tout \(n\) ; alors \(\int \varphi_n = \int f(t)\,\mathrm{d}t\) est constante, et sa limite est \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\).

Proposition — Comparaison avec une fonction en escalier

Soient \(f\) continue par morceaux sur \([a, b]\) et \(\varphi\) une fonction en escalier sur \([a, b]\). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\left| \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t - \int_{[a, b]} \varphi \right| \le (b - a)\,\|f - \varphi\|_\infty}. $$ Cette seule inégalité porte la suite : la positivité, les propriétés de l'intégrale et les sommes de Riemann sont trois façons d'approcher \(f\) par des fonctions en escalier.

Soit \((\psi_n)\) une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers \(f\). Par linéarité et inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier, $$ \left| \int_{[a, b]} \psi_n - \int_{[a, b]} \varphi \right| \le (b - a)\,\|\psi_n - \varphi\|_\infty \le (b - a)\bigl( \|\psi_n - f\|_\infty + \|f - \varphi\|_\infty \bigr). $$ Quand \(n \to +\infty\), \(\int_{[a, b]} \psi_n \to \int_{[a, b]} f\) (Définition) et \(\|\psi_n - f\|_\infty \to 0\) ; le passage à la limite donne l'inégalité.

Exemple

Calculer \(\int_{[0, 1]} t\,\mathrm{d}t\) à partir de la définition, avec les fonctions en escalier de la démonstration du Théorème « Approximation uniforme par fonctions en escalier » : \(\varphi_n = \frac{k}{n}\) sur \([\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}[\) pour \(k \in \{0, \dots, n - 1\}\), et \(\varphi_n(1) = 1\).

Pour \(x \in [\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}[\), \(0 \le x - \varphi_n(x) < \frac{1}{n}\), et \(\varphi_n(1) = 1\), donc \(\|f - \varphi_n\|_\infty \le \frac{1}{n} \to 0\) : la suite \((\varphi_n)\) converge uniformément vers \(f : t \mapsto t\). Par la Définition « Intégrale d'une fonction en escalier » : $$\begin{aligned} \int_{[0, 1]} \varphi_n &= \sum_{k=0}^{n - 1} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} && \text{(base \(\times\) hauteur)} \\ &= \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n - 1)}{2} = \frac{n - 1}{2n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2}. \end{aligned}$$ Donc \(\int_{[0, 1]} t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\) : l'aire du triangle sous le graphe.

Compétences à pratiquer

Calculer une intégrale comme limite de fonctions en escalier ★

III.3 Propriétés

D'abord pour les fonctions en escalier, puis à la limite

Les règles de la première proposition ci-dessous se démontrent en deux temps : sur les fonctions en escalier, où elles portent sur des sommes finies, puis pour une fonction continue par morceaux, par passage à la limite le long d'une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers elle. Les règles du cas réel en découlent, et d'une comparaison avec une fonction en escalier bien choisie.

Signaler une erreur

Proposition — Propriétés de l'intégrale

Soient \(f, g \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) avec \(a < b\) et \(\lambda, \mu \in K\).

Linéarité : \(\int_{[a, b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t + \mu \int_{[a, b]} g(t)\,\mathrm{d}t\).
Inégalité triangulaire : \(\left| \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_{[a, b]} |f(t)|\,\mathrm{d}t \le (b - a) \|f\|_\infty\).
Chasles : Pour tout \(c \in \,]a, b[\), \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{[a, c]} f(t)\,\mathrm{d}t + \int_{[c, b]} f(t)\,\mathrm{d}t\).
Parties réelle et imaginaire : \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{[a, b]} \operatorname{Re}(f) + i \int_{[a, b]} \operatorname{Im}(f)\). En particulier, si \(f\) est réelle, \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \in \mathbb{R}\).
Modification sur un ensemble fini : Si \(f\) et \(g\) coïncident sur \([a, b]\) sauf sur un ensemble fini, alors \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{[a, b]} g(t)\,\mathrm{d}t\).

Pour chaque propriété, on prouve le résultat d'abord pour les fonctions en escalier, puis on passe à la limite via une suite \((\varphi_n)\) approchant uniformément \(f\) (et \((\psi_n)\) pour \(g\)). Soient \((\varphi_n)\), \((\psi_n)\) des fonctions en escalier avec \(\varphi_n \to f\), \(\psi_n \to g\) uniformément.

Pour les fonctions en escalier, la linéarité est le (i) de la Proposition « Linéarité et inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier ». Pour le cas continu par morceaux : \(\lambda \varphi_n + \mu \psi_n\) est en escalier et \(\to \lambda f + \mu g\) uniformément, donc \(\int (\lambda \varphi_n + \mu \psi_n) = \lambda \int \varphi_n + \mu \int \psi_n\) tend vers \(\lambda \int f(t)\,\mathrm{d}t + \mu \int g(t)\,\mathrm{d}t\), et par définition de \(\int (\lambda f + \mu g)\) tend aussi vers \(\int (\lambda f + \mu g)\).
Pour les fonctions en escalier, c'est le (ii) de la même Proposition. Pour le cas continu par morceaux : \(|\int \varphi_n| \le \int |\varphi_n| \le (b - a) \|\varphi_n\|_\infty\). Passons à la limite : \(|\int f| \le \int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) (car \(|\varphi_n|\) est en escalier et \(\to |f|\) uniformément, par inégalité triangulaire inverse), et \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t \le (b - a) \|f\|_\infty\) puisque \(\|\varphi_n\|_\infty \to \|f\|_\infty\).
Pour les fonctions en escalier, \(f\) admet une subdivision adaptée contenant \(c\) (raffiner si nécessaire), et la relation de Chasles est un scindage direct de la somme à l'indice \(q\) avec \(x_q = c\). Pour le cas continu par morceaux : restreindre \(\varphi_n\) à \([a, c]\) et \([c, b]\) ; chaque restriction est en escalier sur son segment et approche uniformément \(f|_{[a, c]}\) et \(f|_{[c, b]}\) respectivement. Passer à la limite.
Pour les fonctions en escalier, \(\operatorname{Re}\) et \(\operatorname{Im}\) commutent avec la somme. Pour le cas continu par morceaux : \(\operatorname{Re}(\varphi_n) \to \operatorname{Re}(f)\) uniformément (car \(|\operatorname{Re}(z)| \le |z|\)), idem pour \(\operatorname{Im}\).
Si \(f, g \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) coïncident sur \([a, b] \setminus \{a_1, \dots, a_q\}\) pour un ensemble fini \(\{a_1, \dots, a_q\}\), alors \(g - f\) est en escalier sur \([a, b]\) avec valeur \(0\) sur le complémentaire ouvert des \(a_j\), donc \(\int (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t = 0\) (la somme n'a que des contributions nulles). Par linéarité, \(\int g(t)\,\mathrm{d}t = \int f(t)\,\mathrm{d}t\).

Proposition — Cas réel

Soient \(f, g \in \mathcal{CM}([a, b], \mathbb{R})\) avec \(a < b\).

Positivité : \(f \ge 0 \Rightarrow \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0\).
Croissance : \(f \le g \Rightarrow \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_{[a, b]} g(t)\,\mathrm{d}t\).
Positivité stricte : Si \(f \ge 0\) sur \([a, b]\), \(f\) est continue en un certain \(x_0 \in [a, b]\) avec \(f(x_0) > 0\), et \(a < b\), alors \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t > 0\).
Nullité pour les fonctions continues positives : Si \(f \in C([a, b], \mathbb{R}_+)\), \(a < b\), et \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = 0\), alors \(f \equiv 0\) sur \([a, b]\).

Corollaire de (iv) : si \(f\) est continue sur \([a, b]\) et de signe constant avec \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = 0\) et \(a < b\), alors \(f \equiv 0\) (appliquer (iv) à \(f\) ou à \(-f\)).

Soit \((\varphi_n)\) une suite quelconque de fonctions en escalier convergeant uniformément vers \(f\). Alors \(|\varphi_n|\) est en escalier (Proposition « Stabilité des fonctions en escalier »), \(|\varphi_n| \ge 0\), et $$ \bigl\| |\varphi_n| - f \bigr\|_\infty = \bigl\| |\varphi_n| - |f| \bigr\|_\infty \le \|\varphi_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \qquad \text{(\(|f| = f\) car \(f \ge 0\) ; inégalité triangulaire renversée).} $$ Donc \((|\varphi_n|)\) converge aussi uniformément vers \(f\), et \(\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{n \to +\infty} \int_{[a, b]} |\varphi_n| \ge 0\), chaque \(\int_{[a, b]} |\varphi_n|\) étant une somme de termes positifs ou nuls.
Appliquer (i) à \(g - f \ge 0\), puis utiliser la linéarité.
Argument de minoration. Comme \(f\) est continue en \(x_0\) et \(f(x_0) > 0\), il existe \(\eta > 0\) et un intervalle fermé \(J = [x_0 - \delta, x_0 + \delta] \cap [a, b]\) autour de \(x_0\) avec \(\delta > 0\) et \(f \ge \eta\) sur \(J\). Posons \(\varphi = \eta \cdot 1_J\) (fonction en escalier sur \([a, b]\)). Alors \(0 \le \varphi \le f\) sur \([a, b]\), donc par croissance (ii) : $$ \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \ge \int_{[a, b]} \varphi = \eta \cdot |J| > 0. $$
Appliquer (iii) par contraposition : si \(f\) n'est pas identiquement nulle, il existe \(x_0 \in [a, b]\) avec \(f(x_0) > 0\) ; comme \(f\) est continue sur \([a, b]\), (iii) s'applique et \(\int f(t)\,\mathrm{d}t > 0\), contredisant \(\int f(t)\,\mathrm{d}t = 0\).

Notation avec bornes

Pour \(a < b\), l'intégrale sur \([a, b]\) s'écrit aussi avec des bornes : \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t := \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t\). La Définition « Extension de la notation à \(b \le a\) » ci-dessous donne un sens au cas \(b \le a\).

Signaler une erreur

Méthode — Majorer ou comparer des intégrales

Pour majorer ou comparer des intégrales sans les calculer (ici \(a \le b\)) :

Majorer : trouver une constante \(M\) telle que \(|f| \le M\) sur \([a, b]\) ; alors \(\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t \le M (b - a)\).
Comparer : si \(f \le g\) sur \([a, b]\) (fonctions à valeurs réelles), alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\).
Encadrer une suite d'intégrales : encadrer, pour tout \(n\), la fonction intégrée entre deux fonctions dont on connaît les intégrales, puis faire tendre \(n\) vers \(+\infty\).

Les inégalités doivent valoir sur tout le segment (sauf éventuellement en un nombre fini de points, qui ne changent pas une intégrale), et les bornes d'intégration doivent être dans l'ordre croissant. Si \(b < a\), les appliquer sur \([b, a]\) à \(\int_b^a f(t)\,\mathrm{d}t = -\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) : cela donne \(\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le M \, |b - a|\), et une comparaison entre deux intégrales change de sens.

Exemple

Montrer que \(I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\mathrm{d}t\) vérifie \(0 \le I_n \le \frac{1}{n + 1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), et en déduire la limite de \((I_n)\).

Pour \(t \in [0, 1]\), \(1 + t \ge 1\) et \(t^n \ge 0\), donc \(0 \le \frac{t^n}{1 + t} \le t^n\). Les trois fonctions sont continues sur \([0, 1]\), donc, par positivité et croissance de l'intégrale : $$\begin{aligned} 0 \le I_n &\le \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t && \text{(croissance)} \\ &= \left[\frac{t^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1 = \frac{1}{n + 1}. \end{aligned}$$ Comme \(\frac{1}{n + 1} \to 0\), le théorème des gendarmes donne \(I_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\).

Définition — Extension de la notation à \(b \le a\)

Pour \(f \in \mathcal{CM}(I, K)\) définie sur un intervalle plus large \(I\) et \(a, b \in I\) avec \(b < a\), on étend la notation par $$ \textcolor{colordef}{\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t := -\int_b^a f(t)\,\mathrm{d}t}. $$ Le cas \(b = a\) donne \(\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0\). La linéarité et Chasles restent valables pour la notation étendue ; dans le (ii) de la Proposition « Propriétés de l'intégrale », la majoration devient \(\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le |b - a| \|f\|_\infty\) (avec \(|b - a|\) à la place de \(b - a\)).

Compétences à pratiquer

Lire le signe d'une intégrale ★
Utiliser la linéarité et la relation de Chasles ★
Établir des inégalités par positivité et croissance ★★

III.4 Valeur moyenne et symétrie

Hauteur moyenne, graphes symétriques

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a, b]\) est la hauteur du rectangle de base \([a, b]\) qui a la même aire algébrique que \(f\). Les symétries du graphe — parité, périodicité — deviennent des égalités entre intégrales, qui épargnent souvent un calcul.

Signaler une erreur

Définition — Valeur moyenne

La valeur moyenne de \(f \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) sur \([a, b]\) (avec \(a < b\)) est $$ \textcolor{colordef}{\bar f := \frac{1}{b - a} \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t}. $$

Proposition — Encadrement de la valeur moyenne

Soit \(f \in \mathcal{CM}([a, b], \mathbb{R})\) avec \(a < b\). Si \(m \le f(x) \le M\) pour tout \(x \in [a, b]\), alors $$ \textcolor{colorprop}{m (b - a) \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le M (b - a)}, \qquad \text{donc} \qquad m \le \bar f \le M. $$ Si de plus \(f\) est continue sur \([a, b]\), alors il existe \(c \in [a, b]\) tel que \(\bar f = f(c)\).

L'inégalité \(m \le f \le M\) sur \([a, b]\) donne, par croissance de l'intégrale (Proposition « Cas réel », (ii)) : $$ \int_a^b m \, \mathrm{d}t \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b M\,\mathrm{d}t, \qquad \text{soit} \qquad m(b - a) \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le M(b - a). $$ En divisant par \(b - a > 0\) : \(m \le \bar f \le M\).
Si \(f\) est continue sur \([a, b]\), le théorème des bornes atteintes donne \(m_0, M_0 \in [a, b]\) avec \(f(m_0) = \min f\) et \(f(M_0) = \max f\). Alors \(f(m_0) \le \bar f \le f(M_0)\), et par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à \(f\) entre \(m_0\) et \(M_0\), il existe \(c\) entre \(m_0\) et \(M_0\) (donc dans \([a, b]\)) avec \(f(c) = \bar f\).

Proposition — Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques

Soient \(a \ge 0\) et \(f \in C([-a, a], K)\).

Si \(f\) est paire : \(\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x\).
Si \(f\) est impaire : \(\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0\).

Pour \(f \in C(\mathbb{R}, K)\) \(T\)-périodique et tout \(a \in \mathbb{R}\) : \(\int_a^{a+T} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x\).
Règles familières. Ces propriétés servent couramment de règles de calcul. On les redonne ici pour référence ; leur démonstration utilise le théorème de changement de variable (dans la section Lien avec les primitives), énoncé pour des fonctions continues — d'où l'hypothèse de continuité ici.

Méthode — Calculer une intégrale par symétrie

Pour une intégrale \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) :

Vérifier si le domaine d'intégration est symétrique (\([-A, A]\)) et \(f\) paire ou impaire : utiliser la Proposition « Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques » (cas pair / impair).
Vérifier si \(f\) est \(T\)-périodique et le domaine de longueur \(T\) : translater à \([0, T]\) par la même Proposition (cas périodique).
Sinon, scinder par Chasles en sous-intervalles où \(f\) a une forme plus simple.

Toujours chercher les symétries en premier — elles peuvent réduire une intégrale compliquée à une triviale (par exemple, un intégrande impair sur \([-A, A]\) donne \(0\) sans calcul).

Exemple

Calculer \(\int_{-\pi}^\pi \sin t \, \mathrm{d}t\).

L'intégrande \(\sin\) est impair et le domaine \([-\pi, \pi]\) est symétrique, donc \(\int_{-\pi}^\pi \sin t \, \mathrm{d}t = 0\) par la Proposition « Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques » (cas impair).

Exemple

Calculer \(\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, \mathrm{d}t\) par périodicité et la formule de duplication.

La fonction \(\cos^2\) est \(\pi\)-périodique (puisque \(\cos^2(t + \pi) = (-\cos t)^2 = \cos^2 t\)), donc $$ \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, \mathrm{d}t = 2 \int_0^\pi \cos^2 t \, \mathrm{d}t. $$ En utilisant \(\cos^2 t = (1 + \cos 2t)/2\) : $$ \begin{aligned} \int_0^\pi \cos^2 t \, \mathrm{d}t &= \int_0^\pi \frac{1 + \cos 2t}{2} \, \mathrm{d}t && \text{(formule de duplication)} \\ &= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos 2t \, \mathrm{d}t && \text{(linéarité)} \\ &= \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} && \text{(car \(\int_0^\pi \cos 2t \,\mathrm{d}t = [\sin 2t / 2]_0^\pi = 0\)).} \end{aligned} $$ D'où \(\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, \mathrm{d}t = \pi\).

Compétences à pratiquer

Calculer une valeur moyenne ★
Calculer des intégrales par symétrie et relation de Chasles ★★
Étudier la valeur moyenne d'une fonction ★★

IV Sommes de Riemann

IV.1 Le théorème

Du discret au continu

Les sommes de Riemann approchent \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) par une somme rectangulaire à gauche (ou à droite) sur une partition uniforme de \([a, b]\) en \(n\) morceaux. Géométriquement, chaque rectangle a pour base \((b - a)/n\) et pour hauteur \(f(a + k(b - a)/n)\). Quand \(n \to +\infty\), les sommes convergent vers l'intégrale. La démonstration est donnée ci-dessous dans le cas lipschitzien ; le cas général continu par morceaux est admis.

Signaler une erreur

Théorème — Sommes de Riemann

Pour toute \(f \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) (avec \(a < b\)) : $$ \textcolor{colorprop}{\frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} f\!\left( a + k \frac{b - a}{n} \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t} $$ et la variante à droite \(\frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^n f(a + k (b - a)/n)\) a la même limite. Si de plus \(f\) est \(K_0\)-lipschitzienne sur \([a, b]\), l'erreur est majorée par $$ \left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t - \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} f\!\left(a + k \frac{b - a}{n}\right) \right| \le \frac{K_0 (b - a)^2}{2 n}. $$

Cas continu. Soient \(f\) continue sur \([a, b]\), \(x_{n, k} = a + k\,\frac{b - a}{n}\) pour \(0 \le k \le n\), et \(S_n = \frac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{n, k})\) la somme aux points à gauche.
Soit \(\varepsilon > 0\). Par le théorème de Heine (Prérequis), \(f\) est uniformément continue sur \([a, b]\) : il existe \(\alpha > 0\) tel que \(|f(t) - f(s)| \le \varepsilon\) dès que \(|t - s| \le \alpha\).
Pour \(n \ge \frac{b - a}{\alpha}\), chaque sous-intervalle a une longueur \(\frac{b - a}{n} \le \alpha\), donc \(|f(t) - f(x_{n, k})| \le \varepsilon\) pour \(t \in [x_{n, k}, x_{n, k+1}]\). Donc $$ \begin{aligned} \left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t - S_n \right| &= \left| \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} \bigl( f(t) - f(x_{n, k}) \bigr)\,\mathrm{d}t \right| && \text{(Chasles ; \(\int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} f(x_{n, k})\,\mathrm{d}t = \frac{b - a}{n}\,f(x_{n, k})\))} \\ &\le \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} |f(t) - f(x_{n, k})|\,\mathrm{d}t && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \sum_{k=0}^{n-1} \frac{b - a}{n}\,\varepsilon = (b - a)\,\varepsilon. && \text{(croissance)} \end{aligned} $$ Donc \(S_n \to \int_a^b f\). La somme aux points à droite vaut \(S_n + \frac{b - a}{n}\bigl(f(b) - f(a)\bigr)\) et a la même limite.
Cas continu par morceaux. Soit \((c_0, \dots, c_p)\) une subdivision adaptée à \(f\). Sur chaque \(]c_j, c_{j+1}[\), \(f\) se prolonge continûment à \([c_j, c_{j+1}]\), donc y est uniformément continue : il existe \(\alpha > 0\) tel que \(|f(t) - f(s)| \le \varepsilon\) dès que \(t, s\) sont dans le même \(]c_j, c_{j+1}[\) avec \(|t - s| \le \alpha\). Soit \(n \ge \frac{b - a}{\alpha}\). Un sous-intervalle \([x_{n, k}, x_{n, k+1}[\) ou bien ne contient aucun \(c_j\) — il est alors dans un \(]c_j, c_{j+1}[\) et \(|f(t) - f(x_{n, k})| \le \varepsilon\) dessus — ou bien en contient un : au plus \(p + 1\) sous-intervalles, sur lesquels \(|f(t) - f(x_{n, k})| \le 2\|f\|_\infty\) (\(f\) est bornée). Le même calcul donne $$ \left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t - S_n \right| \le (b - a)\,\varepsilon + (p + 1)\,\frac{b - a}{n}\,2\|f\|_\infty, $$ qui est au plus \(2(b - a)\varepsilon\) pour \(n\) grand. Donc \(S_n \to \int_a^b f\) encore, et de même pour la somme aux points à droite. Seconde preuve : le cas lipschitzien, avec une vitesse.
Posons \(x_{n, k} = a + k (b - a)/n\) pour \(k \in \{0, \dots, n\}\). La somme de Riemann à gauche est l'intégrale de la fonction en escalier \(\varphi_n\) définie par \(\varphi_n(x) = f(x_{n, k})\) sur \([x_{n, k}, x_{n, k+1}[\) et \(\varphi_n(b) = f(b)\) : $$ \int_{[a, b]} \varphi_n = \sum_{k=0}^{n - 1} f(x_{n, k}) \cdot \frac{b - a}{n}. $$ Calculons l'erreur en utilisant que \(f\) est lipschitzienne : $$ \begin{aligned} \left| \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t - \int_{[a, b]} \varphi_n \right| &= \left| \int_{[a, b]} (f(t) - \varphi_n(t))\,\mathrm{d}t \right| && \text{(linéarité)} \\ &\le \sum_{k=0}^{n - 1} \int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} |f(x) - f(x_{n, k})| \, \mathrm{d}x && \text{(inégalité triangulaire \(+\) Chasles)} \\ &\le \sum_{k=0}^{n - 1} \int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} K_0 (x - x_{n, k}) \, \mathrm{d}x && \text{(borne lipschitzienne)} \\ &= \sum_{k=0}^{n - 1} K_0 \cdot \frac{(b - a)^2}{2 n^2} && \text{(intégrer \(K_0 (x - x_{n, k})\) sur \([x_{n, k}, x_{n, k+1}]\))} \\ &= \frac{K_0 (b - a)^2}{2 n}. \end{aligned} $$ Cela tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\). La variante à droite se démontre de la même façon, avec la fonction en escalier égale à \(f(x_{n, k+1})\) sur \([x_{n, k}, x_{n, k+1}[\).

Fonctions de classe C1

Une fonction de classe \(C^1\) sur \([a, b]\) est lipschitzienne : par l'inégalité des accroissements finis, \(|f(x) - f(y)| \le \|f'\|_\infty \, |x - y|\) pour tous \(x, y \in [a, b]\). La démonstration ci-dessus couvre donc toute fonction de classe \(C^1\) sur \([a, b]\), avec \(K_0 = \|f'\|_\infty\).

Signaler une erreur

Cas général continu par morceaux — admis

Le cas général continu par morceaux est admis ici. Une preuve complète s'obtient en combinant deux faits : d'abord, le résultat se vérifie directement pour les fonctions en escalier ; ensuite, toute fonction continue par morceaux est approchée uniformément par des fonctions en escalier, et les sommes de Riemann sont stables par erreur uniforme.

Signaler une erreur

Le cas général, grâce à la construction

La construction de ce chapitre démontre le cas général. On note \(x_{n, k} = a + k \frac{b - a}{n}\) et \(R_n(g) = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} g(x_{n, k})\).
Fonctions en escalier. Soit \(\varphi\) une fonction en escalier de subdivision adaptée \((y_0, \dots, y_p)\). Par la relation de Chasles, \(\int_a^b \varphi(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{k=0}^{n - 1} \int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} \varphi(t)\,\mathrm{d}t\). Si l'intervalle fermé \([x_{n, k}, x_{n, k+1}]\) ne contient aucun point \(y_j\), il est inclus dans un \(]y_j, y_{j+1}[\), où \(\varphi\) est constante, égale à \(\varphi(x_{n, k})\) : le \(k\)-ième terme vaut exactement \(\frac{b - a}{n} \varphi(x_{n, k})\). Chaque \(y_j\) appartient à au plus deux de ces intervalles fermés, il reste donc au plus \(2(p + 1)\) indices \(k\), et pour chacun l'écart entre le \(k\)-ième terme et \(\frac{b - a}{n} \varphi(x_{n, k})\) est au plus \(2 \|\varphi\|_\infty \frac{b - a}{n}\) (inégalité triangulaire). Donc $$\left| \int_a^b \varphi(t)\,\mathrm{d}t - R_n(\varphi) \right| \le \frac{4 (p + 1) \|\varphi\|_\infty (b - a)}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ Fonctions continues par morceaux. Soient \(f \in \mathcal{CM}([a, b], K)\) et \(\varepsilon > 0\). Par le Théorème « Approximation uniforme par fonctions en escalier », il existe une fonction en escalier \(\varphi\) telle que \(\|f - \varphi\|_\infty \le \varepsilon\), et par le cas des fonctions en escalier il existe \(N\) tel que \(\left| \int_a^b \varphi(t)\,\mathrm{d}t - R_n(\varphi) \right| \le \varepsilon\) pour \(n \ge N\). Pour \(n \ge N\), l'inégalité triangulaire, puis les propriétés de l'intégrale et le cas des fonctions en escalier donnent : $$\begin{aligned} \left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t - R_n(f) \right| &\le \left| \int_a^b (f - \varphi)(t)\,\mathrm{d}t \right| + \left| \int_a^b \varphi(t)\,\mathrm{d}t - R_n(\varphi) \right| + |R_n(\varphi) - R_n(f)| \\ &\le (b - a)\,\varepsilon + \varepsilon + \frac{b - a}{n} \cdot n\,\varepsilon \\ &= (2(b - a) + 1)\,\varepsilon. \end{aligned}$$ Donc \(R_n(f) \to \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\). Les sommes à droite se traitent de la même façon.

Signaler une erreur

Figure — somme de Riemann (à gauche)

Somme de Riemann à gauche sur une partition uniforme : chaque rectangle a pour base \((b - a)/n\) et pour hauteur \(f(a + k(b - a)/n)\).

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Calculer une limite de sommes de Riemann ★
Calculer des limites par identification intégrale ★★
Utiliser les sommes de Riemann pour encadrer une suite ★★★

IV.2 Reconnaître une somme de Riemann

Lire le théorème à l'envers

En pratique, on lit le théorème à l'envers : une somme dont les termes dépendent de \(k/n\), précédée d'un facteur \(\frac{1}{n}\) — parfois caché dans les termes — est une somme de Riemann, et sa limite est une intégrale. Le travail consiste à trouver la fonction et le segment.

Signaler une erreur

Méthode — Reconnaître une somme comme somme de Riemann

Pour calculer la limite d'une somme \(\sum_{k} u_{n, k}\) quand \(n \to +\infty\) :

Réécrire sous la forme \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n)\) pour une fonction \(f : [0, 1] \to K\) continue par morceaux adéquate, si possible.
La limite est alors \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\) par le Théorème « Sommes de Riemann » sur l'intervalle \([0, 1]\).
Plus généralement, \(\frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} f(a + k(b-a)/n) \to \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).

Réécriture classique. Une somme de la forme \(\sum \frac{1}{n + k}\) ou \(\sum \frac{k^p}{n^{p+1}}\) cache un facteur \(1/n\) ; l'isoler explicitement. L'intégrale finale est évaluée avec les primitives usuelles (chapitre Intégrales) ; elles seront justifiées rigoureusement dans la section Lien avec les primitives (TFCI).

Exemple

Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k}\).

Factorisons \(1/n\) : $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n (1 + k/n)} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + k/n} && \text{(factorisation de \(1/n\)).} \end{aligned} $$ C'est la somme de Riemann à droite de \(f(x) = 1/(1 + x)\) sur \([0, 1]\). Par le Théorème « Sommes de Riemann » : $$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1 + x} = [\ln(1 + x)]_0^1 = \ln 2. $$

Exemple

Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin\!\left( \frac{k \pi}{n} \right)\).

Reconnaissons la somme de Riemann à droite de \(f(x) = \sin(\pi x)\) sur \([0, 1]\) : $$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin\!\left(\frac{k \pi}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 \sin(\pi x) \, \mathrm{d}x = \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 = \frac{2}{\pi}. $$

Compétences à pratiquer

Identifier l'intégrale derrière une somme de Riemann ★
Reconnaître une somme comme somme de Riemann ★★

V Lien avec les primitives

V.1 Le théorème fondamental

Le pont fondamental

Le Théorème fondamental du calcul intégral (TFCI) relie deux notions à première vue sans rapport : l'intégration (aire algébrique sous une courbe) et la dérivation (pente d'une tangente). Pour \(f\) continue sur un intervalle \(I\), la fonction \(F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est dérivable avec \(F'(x) = f(x)\) — toute fonction continue admet une primitive, et l'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est la différence d'une primitive aux deux bornes. Le TFCI permet aussi deux techniques pratiques — intégration par parties et changement de variable — démontrées ici comme théorèmes rigoureux (les versions informelles figurent dans le chapitre Intégrales).

Signaler une erreur

Définition — Primitive

Soit \(f : I \to K\) une fonction sur un intervalle \(I\). Une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction \(F : I \to K\) dérivable sur \(I\) vérifiant \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\).

Proposition — Unicité des primitives à une constante additive près

Si \(F_1, F_2 : I \to K\) sont deux primitives de la même fonction \(f : I \to K\) sur un intervalle \(I\), alors \(F_1 - F_2\) est constante sur \(I\). En particulier, les primitives de \(f\) sont exactement les fonctions \(F + \lambda\) pour \(\lambda \in K\), où \(F\) est une primitive quelconque.

Posons \(G = F_1 - F_2\). Alors \(G' = F_1' - F_2' = f - f = 0\) sur \(I\). Pour \(K = \mathbb{C}\), raisonnons composante par composante : \((\operatorname{Re} G)' = \operatorname{Re}(G') = 0\) et \((\operatorname{Im} G)' = \operatorname{Im}(G') = 0\), toutes deux réelles dérivables sur un intervalle. Par le théorème des accroissements finis réel appliqué séparément à \(\operatorname{Re} G\) et à \(\operatorname{Im} G\), chacune est constante, donc \(G\) est constante. Pour \(K = \mathbb{R}\), cela se réduit à l'unique argument réel.

Théorème — Théorème fondamental du calcul intégral

Soit \(f : I \to K\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). Alors :

La fonction \(F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
Pour toute primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) et tout \(b \in I\) : \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = G(b) - G(a)\).

En particulier, toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive.

Fixons \(x \in I\) et soit \(h \ne 0\) avec \(x + h \in I\) ; notons \(J_h\) le segment d'extrémités \(x\) et \(x + h\). Par Chasles, \(F(x + h) - F(x) = \int_x^{x + h} f(t)\,\mathrm{d}t\), et \(\int_x^{x + h} f(x)\,\mathrm{d}t = h\,f(x)\), donc $$ \begin{aligned} \left| \frac{F(x + h) - F(x)}{h} - f(x) \right| &= \frac{1}{|h|} \left| \int_x^{x + h} \bigl( f(t) - f(x) \bigr)\,\mathrm{d}t \right| && \text{(linéarité)} \\ &\le \frac{1}{|h|} \cdot |h| \cdot \sup_{t \in J_h} |f(t) - f(x)| && \text{(\(\left|\int_a^b g\right| \le |b - a|\,\sup|g|\))} \\ &= \sup_{t \in J_h} |f(t) - f(x)| \xrightarrow[h \to 0]{} 0. && \text{(continuité de \(f\) en \(x\))} \end{aligned} $$ Donc \(F\) est dérivable en \(x\) avec \(F'(x) = f(x)\). Pour \(K = \mathbb{R}\) on peut aussi dire : \(\frac{F(x + h) - F(x)}{h}\) est la valeur moyenne de \(f\) sur \(J_h\), donc vaut \(f(c_h)\) pour un \(c_h \in J_h\) (Proposition « Encadrement de la valeur moyenne ») ; quand \(h \to 0\), \(c_h \to x\) et \(f(c_h) \to f(x)\).
D'après (i), \(F\) est une primitive de \(f\). Par la Proposition « Unicité des primitives à une constante additive près », \(G = F + \lambda\) pour un certain \(\lambda \in K\). Alors \(G(b) - G(a) = (F(b) + \lambda) - (F(a) + \lambda) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t - \int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\).

Méthode — Dériver une intégrale à borne mobile

Pour \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(u : J \to I\) dérivable sur un intervalle \(J\), posons \(H(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,\mathrm{d}t\) sur \(J\). Alors \(H\) est dérivable sur \(J\) avec $$ \textcolor{colorprop}{H'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)}. $$ Démonstration : \(H = F \circ u\) avec \(F(y) = \int_a^y f(t)\,\mathrm{d}t\), et appliquer la règle de la chaîne.
Attention. La variable \(x\) doit apparaître seulement dans les bornes ; si \(x\) apparaît aussi dans l'intégrande, la règle ne s'applique pas directement — séparer d'abord la dépendance dans les bornes de celle dans l'intégrande.

Exemple

Calculer la dérivée de \(H(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) sur \(\mathbb{R}\).

L'intégrande \(f(t) = e^{-t^2}\) est continu sur \(\mathbb{R}\), et \(u(x) = x^2\) est \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). Par la règle de borne mobile : $$ H'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) = e^{-(x^2)^2} \cdot 2x = 2x \, e^{-x^4}. $$

Compétences à pratiquer

Calculer une intégrale à partir d'une primitive ★
Dériver une intégrale à borne supérieure mobile ★
Dériver des intégrales à bornes variables ★★

V.2 Intégration par parties

La dérivée d'un produit, intégrée

L'intégration par parties est la dérivée d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\) relue à travers le théorème fondamental. Elle échange l'intégrale de \(u'v\) contre celle de \(uv'\) : elle sert quand dériver \(v\) le simplifie (un polynôme, un logarithme, une fonction trigonométrique réciproque) et que \(u'\) s'intègre facilement.

Signaler une erreur

Théorème — Intégration par parties (IPP)

Soient \(u, v \in C^1(I, K)\) et \(a, b \in I\). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\int_a^b u'(t) v(t)\,\mathrm{d}t = \left[ u(t) v(t) \right]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\,\mathrm{d}t}. $$

Comme \(u, v \in C^1(I, K)\), le produit \(uv\) est \(C^1\) avec \((uv)' = u'v + uv'\). La fonction \((uv)'\) est continue, donc par TFCI (ii) : $$ \begin{aligned} [u(t) v(t)]_a^b &= \int_a^b (uv)'(t)\,\mathrm{d}t && \text{(TFCI)} \\ &= \int_a^b u'(t) v(t)\,\mathrm{d}t + \int_a^b u(t) v'(t)\,\mathrm{d}t && \text{(linéarité \(+\) règle du produit).} \end{aligned} $$ En réarrangeant, on obtient la formule d'IPP.

Méthode — Appliquer l'intégration par parties

Pour une intégrale \(\int_a^b u'(t) v(t)\,\mathrm{d}t\) :

Identifier \(u'\) (le facteur facile à primitiver) et \(v\) (le facteur facile à dériver).
Calculer \(u\) (primitive de \(u'\)) et \(v'\).
Appliquer la formule et intégrer le second morceau \(\int u(t) v'(t)\,\mathrm{d}t\) — il doit être plus simple que l'original.

Cibles classiques. \(\int t \ln t\,\mathrm{d}t\), \(\int t^2 e^t\,\mathrm{d}t\), \(\int t \sin t\,\mathrm{d}t\), \(\int \arctan t\,\mathrm{d}t\), \(\int \ln t\,\mathrm{d}t\). Le choix de \(u'\) vs \(v\) est gouverné par ce qui devient plus simple après dérivation/primitivation.

Exemple

Calculer \(\int_0^1 t e^t\,\mathrm{d}t\) par IPP.

Posons \(u'(t) = e^t\), \(v(t) = t\). Alors \(u(t) = e^t\), \(v'(t) = 1\). Appliquons l'IPP : $$ \begin{aligned} \int_0^1 t e^t\,\mathrm{d}t &= [t e^t]_0^1 - \int_0^1 e^t\,\mathrm{d}t && \text{(IPP)} \\ &= (1 \cdot e^1 - 0) - [e^t]_0^1 && \text{(évaluer le crochet)} \\ &= e - (e - 1) = 1. \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Intégrer par parties un polynôme fois une exponentielle ★
Intégrer par parties avec un logarithme ou une fonction trigonométrique réciproque ★
Appliquer l'intégration par parties ★★
Établir une relation de récurrence par parties ★★★

V.3 Changement de variable

La dérivée d'une composée, intégrée

Le changement de variable est la dérivée d'une composée \((F \circ \varphi)' = (F' \circ \varphi)\,\varphi'\) relue à travers le théorème fondamental. Il transforme une intégrale qui contient une composée \(f(\varphi(t))\) accompagnée du facteur \(\varphi'(t)\) en une intégrale de \(f\) seule, entre des bornes transportées.

Signaler une erreur

Théorème — Changement de variable

Soient \(\varphi \in C^1(I, \mathbb{R})\) à valeurs dans \(J\), \(f \in C(J, K)\) et \(a, b \in I\). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\int_a^b f(\varphi(t)) \, \varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x}. $$

Comme \(f\) est continue sur \(J\), elle admet une primitive \(F\) sur \(J\) par TFCI. La composée \(F \circ \varphi\) est \(C^1\) sur \(I\) (composée de \(C^1\) et \(C^1\) par règle de la chaîne), avec \((F \circ \varphi)'(t) = F'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\). La fonction \((F \circ \varphi)'\) est continue, donc par TFCI (ii) : $$ \begin{aligned} \int_a^b f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm{d}t &= \int_a^b (F \circ \varphi)'(t)\,\mathrm{d}t && \text{(chaîne sur \(F \circ \varphi\))} \\ &= (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) && \text{(TFCI sur \(F \circ \varphi\))} \\ &= F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\ &= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x && \text{(TFCI sur \(F\)).} \end{aligned} $$

Méthode — Appliquer un changement de variable

Pour une intégrale \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) qui contient une composition explicite \(g(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)\) :

Identifier \(x = \varphi(t)\) ; calculer \(\mathrm{d}x = \varphi'(t)\,\mathrm{d}t\).
Transporter les bornes : \(t = a \to x = \varphi(a)\), \(t = b \to x = \varphi(b)\).
Réécrire en \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x\) et intégrer.

Substitutions classiques. Trigonométriques : \(x = \sin t\) avec \(t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) pour \(\sqrt{1 - x^2}\) (sur cet intervalle, \(\sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t\)), \(x = \tan t\) pour les fractions rationnelles en \(\cos / \sin\). Exponentielle : \(x = e^t\). Puissance : \(x = t^n\).

Exemple

Calculer \(\int_0^1 \frac{2t}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t\) par changement de variable.

Posons \(\varphi(t) = 1 + t^2\), \(\varphi'(t) = 2t\), et \(f(x) = 1/x\). Alors \(f(\varphi(t)) \varphi'(t) = 2t / (1 + t^2)\). Les bornes se transportent : \(\varphi(0) = 1\), \(\varphi(1) = 2\). Par le théorème de changement de variable : $$ \int_0^1 \frac{2t}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t = \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x} = [\ln x]_1^2 = \ln 2. $$

Démonstration différée : intégrales des fonctions paires, impaires et périodiques

La Proposition « Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques » (section I) avait été admise ; le théorème fondamental et le changement de variable la démontrent maintenant.
Périodicité. Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (théorème fondamental) et \(G(a) = \int_a^{a + T} f(x)\,\mathrm{d}x = F(a + T) - F(a)\). Alors \(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec $$ G'(a) = F'(a + T) - F'(a) = f(a + T) - f(a) = 0 \qquad \text{(\(T\)-périodicité),} $$ donc \(G\) est constante sur \(\mathbb{R}\) (Proposition « Unicité des primitives à une constante près ») : \(G(a) = G(0) = \int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x\).
Parité. Avec le changement de variable \(x = -t\) (\(\varphi(t) = -t\), \(\varphi'(t) = -1\), de \(t = a\) à \(t = 0\)) : $$ \begin{aligned} \int_{-a}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x &= \int_{a}^{0} f(-t)\,(-1)\,\mathrm{d}t && \text{(changement de variable)} \\ &= \int_0^a f(-t)\,\mathrm{d}t && \text{(orientation)} \\ &= \pm \int_0^a f(t)\,\mathrm{d}t, && \text{(\(+\) si \(f\) est paire, \(-\) si \(f\) est impaire)} \end{aligned} $$ et Chasles donne $$ \int_{-a}^a f = \int_{-a}^0 f + \int_0^a f = 2 \int_0^a f \ \text{ ou } \ 0. $$ Une seconde méthode pour \(\int_0^{2\pi} \cos^2 t\,\mathrm{d}t\) (section I). Posons \(I = \int_0^{2\pi} \cos^2 t\,\mathrm{d}t\) et \(J = \int_0^{2\pi} \sin^2 t\,\mathrm{d}t\). Avec \(t = u + \frac{\pi}{2}\) : $$ \begin{aligned} J &= \int_{-\pi/2}^{3\pi/2} \sin^2\!\left(u + \tfrac{\pi}{2}\right)\mathrm{d}u && \text{(changement de variable)} \\ &= \int_{-\pi/2}^{3\pi/2} \cos^2 u\,\mathrm{d}u \\ &= I, && \text{(périodicité : \(\cos^2\) est \(2\pi\)-périodique, l'intervalle est de longueur \(2\pi\))} \end{aligned} $$ et \(I + J = \int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t)\,\mathrm{d}t = 2\pi\). Donc \(I = \pi\) — aucune formule de trigonométrie ; le même argument donne \(\int_0^{2\pi} \cos^2(kt)\,\mathrm{d}t = \pi\) pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\).

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Changer de variable ★
Appliquer un changement de variable ★★

VI Formules de Taylor globales

VI.1 Taylor avec reste intégral

Local vs global

La formule de Taylor-Young est locale : elle énonce qu'au voisinage d'un point \(a\), une fonction suffisamment dérivable vérifie \(f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + o((x - a)^n)\) quand \(x \to a\). Les formules de Taylor globales de ce paragraphe donnent un contrôle explicite du reste sur un segment entier, valable pour tout \(b\) dans l'intervalle. La forme à reste intégral est la plus précise ; l'inégalité de Taylor-Lagrange en est la majoration en norme.

Signaler une erreur

Théorème — Taylor avec reste intégral

Soit \(f \in C^{n+1}(I, K)\) et \(a, b \in I\). Alors $$ \textcolor{colorprop}{f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k + \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,\mathrm{d}t}. $$ Le dernier terme est appelé reste intégral.

Définissons \(\varphi : I \to K\) par $$ \varphi(t) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-t)^k}{k!}\, f^{(k)}(t). $$ Comme \(f \in C^{n+1}(I, K)\), chaque \(f^{(k)}\) avec \(k \le n\) est \(C^1\), donc \(\varphi\) est \(C^1\) sur \(I\), et $$ \begin{aligned} \varphi'(t) &= \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-t)^k}{k!}\, f^{(k+1)}(t) - \sum_{k=1}^{n} \frac{(b-t)^{k-1}}{(k-1)!}\, f^{(k)}(t) && \text{(dérivée d'un produit ; le terme \(k = 0\) n'a pas de seconde part)} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-t)^k}{k!}\, f^{(k+1)}(t) - \sum_{j=0}^{n-1} \frac{(b-t)^{j}}{j!}\, f^{(j+1)}(t) && \text{(réindexation \(j = k - 1\))} \\ &= \frac{(b-t)^n}{n!}\, f^{(n+1)}(t). && \text{(télescopage : seul \(k = n\) survit)} \end{aligned} $$ La dérivée \(\varphi'\) est continue, donc par le théorème fondamental (ii) : $$ \begin{aligned} \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(b-t)^n\,\mathrm{d}t &= \varphi(b) - \varphi(a) && \text{(théorème fondamental appliqué à \(\varphi\))} \\ &= f(b) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k, && \text{(dans \(\varphi(b)\) seul \(k = 0\) survit : \((b-b)^k = 0\) pour \(k \ge 1\))} \end{aligned} $$ ce qui est la formule. Rien ne dépend de l'ordre de \(a\) et \(b\), ni de \(K = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Seconde preuve, par récurrence.
Par récurrence sur \(n\).

Initialisation (\(n = 0\)). Pour \(f \in C^1(I, K)\), la formule se réduit à \(f(b) = f(a) + \int_a^b f'(t)\,\mathrm{d}t\), qui est exactement TFCI (ii).
Hérédité. Supposons la formule vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\) et pour toute fonction \(C^{n+1}\) sur \(I\). Soit \(f \in C^{n+2}(I, K)\). Alors \(f \in C^{n+1}\), donc par hypothèse de récurrence : $$ f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k + \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,\mathrm{d}t. $$ Appliquons l'IPP à l'intégrale avec \(u'(t) = (b - t)^n / n!\) (primitive \(u(t) = -(b - t)^{n+1}/(n + 1)!\)) et \(v(t) = f^{(n+1)}(t)\) (dérivée \(v'(t) = f^{(n+2)}(t)\), continue car \(f \in C^{n+2}\)) : $$ \begin{aligned} \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,\mathrm{d}t &= \left[ f^{(n+1)}(t) \cdot \left( -\frac{(b - t)^{n+1}}{(n+1)!} \right) \right]_a^b - \int_a^b f^{(n+2)}(t) \cdot \left( -\frac{(b - t)^{n+1}}{(n+1)!} \right)\,\mathrm{d}t \\ &= \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!} (b - a)^{n+1} + \int_a^b \frac{f^{(n+2)}(t)}{(n+1)!} (b - t)^{n+1}\,\mathrm{d}t && \text{(IPP).} \end{aligned} $$ Substituer pour obtenir la formule au rang \(n + 1\).

Compétences à pratiquer

Écrire la formule de Taylor avec reste intégral ★★
Démontrer des inégalités par la formule de Taylor ★★★

VI.2 L'inégalité de Taylor-Lagrange

Majorer le reste

Le reste intégral est exact mais rarement calculable. Ce qui compte en pratique est une majoration : si \(|f^{(n+1)}| \le M\) entre \(a\) et \(b\), l'erreur commise en remplaçant \(f(b)\) par son polynôme de Taylor en \(a\) est au plus \(M \frac{|b - a|^{n+1}}{(n + 1)!}\) — petite quand \(b\) est proche de \(a\), ou quand \(n\) est grand et que les dérivées restent bornées.

Signaler une erreur

Théorème — Inégalité de Taylor-Lagrange

Soit \(f \in C^{n+1}(I, K)\) et \(a, b \in I\). Soit \(J\) le segment d'extrémités \(a\) et \(b\) (c'est-à-dire \(J = [\min(a, b), \max(a, b)]\)). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\left| f(b) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k \right| \le \frac{|b - a|^{n+1}}{(n + 1)!} \, \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}}. $$ L'usage de \(J\) (plutôt que \([a, b]\)) rend l'énoncé valable aussi pour \(b < a\).

Soit \(g(s) = f\bigl(a + s(b-a)\bigr)\), définie sur l'intervalle \(\{ s \in \mathbb{R} : a + s(b-a) \in I \}\), qui contient \([0, 1]\). Par dérivation des composées (récurrence sur \(k\)), \(g\) est \(C^{n+1}\) avec \(g^{(k)}(s) = (b-a)^k f^{(k)}\bigl(a + s(b-a)\bigr)\). Le Théorème « Taylor avec reste intégral » pour \(g\) entre \(0\) et \(1\) donne $$ \begin{aligned} f(b) = g(1) &= \sum_{k=0}^{n} \frac{g^{(k)}(0)}{k!} + \int_0^1 \frac{g^{(n+1)}(s)}{n!}(1-s)^n\,\mathrm{d}s \\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \frac{(b-a)^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1-s)^n f^{(n+1)}\bigl(a + s(b-a)\bigr)\,\mathrm{d}s. \end{aligned} $$ Les bornes \(0 \le 1\) sont dans l'ordre croissant, et \(a + s(b-a) \in J\) pour tout \(s \in [0,1]\), quel que soit l'ordre de \(a\) et \(b\). Donc $$ \begin{aligned} \left| f(b) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k \right| &\le \frac{|b-a|^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1-s)^n \left| f^{(n+1)}\bigl(a + s(b-a)\bigr) \right| \mathrm{d}s && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \frac{|b-a|^{n+1}}{n!}\, \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J} \int_0^1 (1-s)^n\,\mathrm{d}s && \text{(majoration sur \(J\), croissance)} \\ &= \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\, \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}. && \text{(\(\int_0^1 (1-s)^n\,\mathrm{d}s = \frac{1}{n+1}\))} \end{aligned} $$ Le reparamétrage sur \([0, 1]\) est ce qui rend le signe de \(b - a\) indifférent : l'orientation n'est portée que par le facteur \((b-a)^{n+1}\).

Remarque — l'égalité de Taylor-Lagrange

L'égalité de Taylor-Lagrange n'est pas utilisée ici : seule l'inégalité (le Théorème ci-dessus) l'est. Dans le cas réel, la forme égalité énonce \(f(b) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (b - a)^{n+1}\) pour un certain \(c\) entre \(a\) et \(b\) ; elle est démontrée dans un chapitre ultérieur. La forme égalité ne se généralise pas telle quelle aux fonctions à valeurs complexes, ce qui est une des raisons de la laisser de côté.

Signaler une erreur

Méthode — Borner une fonction par Taylor-Lagrange

Pour borner l'erreur dans une approximation par polynôme de Taylor de \(f\) autour de \(a\), sur un voisinage \(J\) de \(a\) :

Calculer le polynôme de Taylor \(P_n(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k\) à un ordre \(n\) choisi.
Calculer ou borner \(f^{(n+1)}\) sur \(J\) ; posons \(M = \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}\).
Par le Théorème « Inégalité de Taylor-Lagrange » : \(|f(b) - P_n(b)| \le \frac{M \cdot |b - a|^{n+1}}{(n + 1)!}\) pour tout \(b \in J\).

Choisir \(n\) avec discernement. Un \(n\) plus grand donne une borne plus fine lorsque les dérivées de \(f\) restent de taille modérée, au prix de plus de termes à calculer ; il peut aussi en donner une moins bonne — pour \(f(t) = e^{10t}\) sur \([0, 1]\), la borne en \(b = 1\) passe de \(10e^{10}\) pour \(n = 0\) à \(50e^{10}\) pour \(n = 1\).

Exemple

Montrer que pour tout \(x \ge 0\) : $$ x - \frac{x^2}{2} \le \ln(1 + x) \le x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}. $$

Appliquons Taylor à reste intégral à \(f(t) = \ln(1 + t)\) en \(a = 0\). Calcul de \(f^{(k)}(t) = (-1)^{k-1} (k - 1)! / (1 + t)^k\) pour \(k \ge 1\), d'où \(f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1} (k - 1)!\).

Ordre 2. \(f(x) = x - x^2/2 + \int_0^x \frac{2}{(1 + t)^3} \cdot \frac{(x - t)^2}{2}\,\mathrm{d}t\). Le reste est \(\int_0^x \frac{(x - t)^2}{(1 + t)^3}\,\mathrm{d}t \ge 0\) car \(x \ge 0\) et l'intégrande est positif ou nul. Donc \(\ln(1 + x) \ge x - x^2/2\).
Ordre 3. \(f(x) = x - x^2/2 + x^3/3 - \int_0^x \frac{6}{(1 + t)^4} \cdot \frac{(x - t)^3}{6}\,\mathrm{d}t\). Le reste \(-\int_0^x \frac{(x - t)^3}{(1 + t)^4}\,\mathrm{d}t \le 0\) car \(x \ge 0\) et l'intégrande est positif ou nul. Donc \(\ln(1 + x) \le x - x^2/2 + x^3/3\).

Seconde méthode : intégrer une inégalité. Pour \(t \ge 0\), \(\dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + \dfrac{t^2}{1 + t}\) avec \(0 \le \dfrac{t^2}{1 + t} \le t^2\), donc \(1 - t \le \dfrac{1}{1 + t} \le 1 - t + t^2\) sur \([0, x]\). En intégrant sur \([0, x]\) (bornes dans l'ordre croissant car \(x \ge 0\)) : $$ \begin{aligned} \int_0^x (1 - t)\,\mathrm{d}t \ \le\ \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t} \ &\le\ \int_0^x \left( 1 - t + t^2 \right) \mathrm{d}t && \text{(croissance de l'intégrale)} \\ x - \frac{x^2}{2} \ \le\ \ln(1 + x) \ &\le\ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}. && \text{(théorème fondamental : \(\ln(1 + x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t}\))} \end{aligned} $$ Aucune dérivée à calculer : le reste intégral est écrit explicitement, et \(\frac{1}{1 + t} = \sum_{k=0}^{n} (-t)^k + \frac{(-t)^{n+1}}{1 + t}\) donne l'encadrement alterné à tout ordre d'un coup.

Exemple

Borner \(|\sin x - (x - x^3/6)|\) par l'inégalité de Taylor-Lagrange sur \([-1, 1]\).

\(f(t) = \sin t\) est \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(|f^{(k)}(t)| \le 1\) pour tous \(t, k\). En \(a = 0\) : le polynôme de Taylor d'ordre 3 est \(P_3(x) = x - x^3/6\) (les termes d'ordre 2 et 4 s'annulent par parité). Appliquons le Théorème « Inégalité de Taylor-Lagrange » avec \(n = 4\), sur \(J = [-1, 1]\) : $$ \left| \sin x - \left( x - \frac{x^3}{6} \right) \right| \le \frac{|x|^5}{5!} \, \|f^{(5)}\|_{\infty, J} \le \frac{|x|^5}{120} \le \frac{1}{120}, $$ car \(|f^{(5)}| = |\cos t| \le 1\) et \(|x|^5 \le 1\) sur \(J\).

Pour aller plus loin

L'intégrale peut se construire de plusieurs manières, chacune plus générale que la précédente. Cauchy (1823) définit \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) pour \(f\) continue comme limite de sommes de Riemann sur des subdivisions régulières. La construction par densité de ce chapitre définit d'abord l'intégrale sur les fonctions en escalier, puis l'étend par approximation uniforme à toute fonction continue par morceaux — la voie la plus courte vers la classe de fonctions utilisée en pratique. Riemann (1854), puis Darboux (1875) avec les sommes supérieures et inférieures, vont plus loin, jusqu'aux fonctions bornées dont l'oscillation se contrôle par des subdivisions. Enfin, l'intégrale de Lebesgue (début du vingtième siècle) intègre une vaste classe de fonctions et se comporte beaucoup mieux vis-à-vis des passages à la limite ; elle sous-tend les probabilités et l'analyse moderne. Toutes ces constructions s'accordent sur les fonctions continues : l'intégrale sur un segment est sans ambiguïté, seules la stratégie de preuve et la classe des fonctions intégrables changent. Sur un intervalle qui n'est pas un segment, comme \([1, +\infty[\), l'intégrale devient une limite d'intégrales sur des segments : ce sont les intégrales généralisées.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Écrire une inégalité de Taylor à un ordre donné ★
Majorer une fonction par l'inégalité de Taylor-Lagrange ★★★

VII Exercices de colle

Compétences à pratiquer

Travailler un exercice de colle ★
Travailler un exercice de colle ★★
Travailler un exercice de colle ★★★
Travailler un exercice de colle ★★★★

VIII Problèmes d'écrit

Compétences à pratiquer

Travailler un problème d'écrit ★
Travailler un problème d'écrit ★★
Travailler un problème d'écrit ★★★
Travailler un problème d'écrit ★★★★
Quiz

Devoir facile : deux fonctions définies par des intégrales

2 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

Devoir difficile : la fonction de Wallis

3 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 3 h.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

Aller à la section