Topologie de \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\)

• Stabilité par agrandissement. Puisque \(V\) est un voisinage de \(a\), il existe \(r > 0\) avec \(B(a, r) \subset V\). Alors \(B(a, r) \subset V \subset W\), donc \(W\) est un voisinage de \(a\).
• Intersection finie. Soient \(V_1, \dots, V_k\) des voisinages de \(a\). Pour chaque \(i\), il existe \(r_i > 0\) avec \(B(a, r_i) \subset V_i\). Posons \(r = \min\{r_1, \dots, r_k\} > 0\). Alors \(B(a, r) \subset B(a, r_i) \subset V_i\) pour tout \(i\), donc \(B(a, r) \subset V_1 \cap \dots \cap V_k\), qui est donc un voisinage de \(a\).
• Séparation de Hausdorff. Posons \(r = |a - b|/3 > 0\) (puisque \(a \ne b\)). L'inégalité triangulaire donne, pour \(x \in B(a, r) \cap B(b, r)\), \(|a - b| \le |a - x| + |x - b| < 2r = 2|a - b|/3\), contradiction. Donc \(V_a := B(a, r)\) et \(V_b := B(b, r)\) sont disjoints.

• \((i) \Rightarrow (ii)\). Soit \(V\) un voisinage de \(\ell\). Par définition il existe \(\varepsilon > 0\) avec \(B(\ell, \varepsilon) \subset V\). Appliquant (i) à ce \(\varepsilon\), on obtient \(N\) tel que \(|u_n - \ell| < \varepsilon\) pour \(n \ge N\), soit \(u_n \in B(\ell, \varepsilon) \subset V\).
• \((ii) \Rightarrow (i)\). Soit \(\varepsilon > 0\). L'ensemble \(V := B(\ell, \varepsilon)\) est un voisinage de \(\ell\) (il se contient lui-même). Appliquant (ii), il existe \(N\) tel que \(u_n \in V\) pour \(n \ge N\), soit \(|u_n - \ell| < \varepsilon\).

• Sens direct. Supposons \(z_n \to \ell\). Pour tout complexe \(w\), \(|\operatorname{Re}(w)| \le |w|\) et \(|\operatorname{Im}(w)| \le |w|\). Appliqué à \(w = z_n - \ell\) : $$ |\operatorname{Re}(z_n) - \operatorname{Re}(\ell)| \;=\; |\operatorname{Re}(z_n - \ell)| \;\le\; |z_n - \ell| \;\longrightarrow\; 0, $$ donc \(\operatorname{Re}(z_n) \to \operatorname{Re}(\ell)\) par théorème d'encadrement (chapitre Suites réelles). Même argument pour la partie imaginaire.
• Sens réciproque. Supposons \(\operatorname{Re}(z_n) \to \operatorname{Re}(\ell)\) et \(\operatorname{Im}(z_n) \to \operatorname{Im}(\ell)\). Pour tout complexe \(w\), l'inégalité triangulaire sur \(w = \operatorname{Re}(w) + i \operatorname{Im}(w)\) donne \(|w| \le |\operatorname{Re}(w)| + |\operatorname{Im}(w)|\). Appliqué à \(w = z_n - \ell\) : $$ |z_n - \ell| \;\le\; |\operatorname{Re}(z_n) - \operatorname{Re}(\ell)| + |\operatorname{Im}(z_n) - \operatorname{Im}(\ell)| \;\longrightarrow\; 0 + 0 \;=\; 0. $$ D'où \(z_n \to \ell\).

Soit \((z_n) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}\) bornée, c'est-à-dire qu'il existe \(M \ge 0\) avec \(|z_n| \le M\) pour tout \(n\). Comme \(|\operatorname{Re}(w)| \le |w|\) et \(|\operatorname{Im}(w)| \le |w|\) pour tout complexe \(w\) : $$ |\operatorname{Re}(z_n)| \;\le\; |z_n| \;\le\; M \quad \text{et} \quad |\operatorname{Im}(z_n)| \;\le\; M. $$ Donc les deux suites réelles \((\operatorname{Re}(z_n))\) et \((\operatorname{Im}(z_n))\) sont bornées. L'argument suit alors trois étapes parallèles.

• Première extraction. Par Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles (chapitre Suites réelles), il existe \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante telle que \(\operatorname{Re}(z_{\varphi(n)}) \to a\) pour un certain \(a \in \mathbb{R}\).
• Seconde extraction. La suite \((\operatorname{Im}(z_{\varphi(n)}))\) reste bornée (sous-suite d'une suite bornée). Par Bolzano-Weierstrass à nouveau, il existe \(\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante telle que \(\operatorname{Im}(z_{\varphi(\psi(n))}) \to b\) pour un certain \(b \in \mathbb{R}\).
• Composition. L'application \(\varphi \circ \psi\) est strictement croissante (composée d'applications strictement croissantes). Le long de cette extraction, \(\operatorname{Re}(z_{\varphi(\psi(n))}) \to a\) (sous-suite d'une suite tendant vers \(a\)) et \(\operatorname{Im}(z_{\varphi(\psi(n))}) \to b\) (par construction).

Par la caractérisation Re/Im, \(z_{\varphi(\psi(n))} \to a + ib \in \mathbb{C}\).

• Sens direct. Supposons \(x\) adhérent à \(A\). Pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), la boule \(B(x, 1/(n+1))\) rencontre \(A\) : on choisit \(a_n \in A \cap B(x, 1/(n+1))\). Alors \(|a_n - x| < 1/(n+1) \to 0\), donc \(a_n \to x\).
• Sens réciproque. Supposons \(a_n \to x\) avec \(a_n \in A\) pour tout \(n\). Pour tout \(r > 0\), la boule \(B(x, r)\) est un voisinage de \(x\), donc par convergence il existe \(N\) avec \(a_n \in B(x, r)\) pour \(n \ge N\). En particulier \(a_N \in A \cap B(x, r)\), qui est donc non vide. Donc \(x\) est adhérent à \(A\).

\(\mathring{A} \subset A\) : tout point intérieur à \(A\) est dans \(A\) (Définition). \(A \subset \overline{A}\) : tout point de \(A\) est adhérent à \(A\) (toute boule autour de \(x \in A\) contient \(x \in A\)). La réunion disjointe est \(\overline{A} = \mathring{A} \cup (\overline{A} \setminus \mathring{A}) = \mathring{A} \cup \partial A\) par définition de \(\partial A\). Monotonie : si \(A \subset B\) et \(B(x, r) \subset A\), alors \(B(x, r) \subset B\), donc \(x\) intérieur à \(B\) ; si toute \(B(x, r)\) rencontre \(A\), alors toute \(B(x, r)\) rencontre \(B\), donc \(x\) adhérent à \(B\).

\((i) \iff (iii)\) est la définition reformulée (« \(\exists r > 0, B(x, r) \subset O\) » est la définition de voisinage). \((i) \iff (ii)\) : « tout \(x \in O\) satisfait \(B(x, r) \subset O\) » signifie que tout \(x \in O\) est intérieur à \(O\), soit \(O \subset \mathring{O}\). L'inclusion réciproque \(\mathring{O} \subset O\) vaut toujours. Donc \(O\) ouvert ssi \(O = \mathring{O}\).

• Boule ouverte. Soient \(x \in B(a, r)\) et \(r' = r - |x - a| > 0\). Pour \(z \in B(x, r')\) : $$ |z - a| \;\le\; |z - x| + |x - a| \;<\; r' + |x - a| \;=\; r, $$ donc \(z \in B(a, r)\). D'où \(B(x, r') \subset B(a, r)\).
• Complémentaire d'une boule fermée. Soit \(x \notin \overline{B}(a, \rho)\), soit \(|x - a| > \rho\). Posons \(r' = |x - a| - \rho > 0\) (positif aussi quand \(\rho = 0\) et \(x \ne a\)). Pour \(z \in B(x, r')\) : $$ |z - a| \;\ge\; |x - a| - |z - x| \;>\; |x - a| - r' \;=\; \rho, $$ donc \(z \notin \overline{B}(a, \rho)\). D'où \(B(x, r') \subset \mathbb{K} \setminus \overline{B}(a, \rho)\).
• Intervalle \(\,]a, b[\,\). Pour \(x \in \,]a, b[\,\), posons \(r' = \min\{x - a, b - x\} > 0\). Alors \(B(x, r') = \,]x - r', x + r'[\, \subset \,]a, b[\,\).
• Intervalles non bornés. Pour \(\,]a, +\infty[\,\) et \(x > a\), posons \(r' = x - a > 0\) ; alors \(B(x, r') = \,]x - r', x + r'[\, = \,]a, x + r'[\, \subset \,]a, +\infty[\,\). Argument symétrique pour \(\,]-\infty, a[\,\).
• Produit \(O_1 + i O_2\). Soit \(z = x + iy\) avec \(x \in O_1, y \in O_2\). On choisit \(r_1 > 0\) avec \(\,]x - r_1, x + r_1[\, \subset O_1\) et \(r_2 > 0\) avec \(\,]y - r_2, y + r_2[\, \subset O_2\). Posons \(r = \min(r_1, r_2)\). Pour \(w \in B(z, r)\), \(|\operatorname{Re}(w) - x| \le |w - z| < r \le r_1\), donc \(\operatorname{Re}(w) \in O_1\) ; de même \(\operatorname{Im}(w) \in O_2\). D'où \(w \in O_1 + i O_2\).

• Réunion. Soit \((O_i)_{i \in I}\) une famille d'ouverts et \(U = \bigcup_i O_i\). Pour \(x \in U\), \(x \in O_{i_0}\) pour un certain \(i_0 \in I\) ; comme \(O_{i_0}\) est ouvert, il existe \(r > 0\) avec \(B(x, r) \subset O_{i_0} \subset U\).
• Intersection finie. Soient \(O_1, \dots, O_k\) ouverts et \(W = O_1 \cap \dots \cap O_k\). Pour \(x \in W\), \(x \in O_i\) pour chaque \(i\), donc il existe \(r_i > 0\) avec \(B(x, r_i) \subset O_i\). Posons \(r = \min\{r_1, \dots, r_k\} > 0\). Alors \(B(x, r) \subset O_i\) pour chaque \(i\), donc \(B(x, r) \subset W\).

• \(\mathring{A}\) est ouvert. Soit \(x \in \mathring{A}\). Par définition il existe \(r > 0\) avec \(B(x, r) \subset A\). Pour \(y \in B(x, r)\), par la preuve « boule ouverte est ouverte » ci-dessus, il existe \(r' > 0\) avec \(B(y, r') \subset B(x, r) \subset A\), donc \(y\) est intérieur à \(A\), soit \(y \in \mathring{A}\). D'où \(B(x, r) \subset \mathring{A}\), donc \(\mathring{A}\) est ouvert.
• Maximalité. Soit \(O\) ouvert avec \(O \subset A\). Pour \(x \in O\), il existe \(r > 0\) avec \(B(x, r) \subset O \subset A\), donc \(x\) est intérieur à \(A\), soit \(x \in \mathring{A}\). D'où \(O \subset \mathring{A}\).

On prouve le cycle \((i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i)\).

• \((i) \Rightarrow (ii)\). Toujours \(F \subset \overline{F}\). Réciproquement, soit \(x \in \overline{F}\). Par le théorème Caractérisation séquentielle des points adhérents, il existe \((u_n) \in F^{\mathbb{N}}\) avec \(u_n \to x\). Par (i), \(x \in F\). Donc \(\overline{F} \subset F\).
• \((ii) \Rightarrow (iii)\). Supposons \(\overline{F} = F\). Pour \(x \in \mathbb{K} \setminus F = \mathbb{K} \setminus \overline{F}\), \(x\) n'est pas adhérent à \(F\) : il existe \(r > 0\) avec \(B(x, r) \cap F = \emptyset\), soit \(B(x, r) \subset \mathbb{K} \setminus F\). Donc \(\mathbb{K} \setminus F\) est ouvert.
• \((iii) \Rightarrow (i)\). Supposons \(\mathbb{K} \setminus F\) ouvert. Soit \((u_n) \in F^{\mathbb{N}}\) avec \(u_n \to \ell\), et supposons par l'absurde \(\ell \notin F\), soit \(\ell \in \mathbb{K} \setminus F\). Comme \(\mathbb{K} \setminus F\) est un voisinage de \(\ell\), il existe \(N\) avec \(u_n \in \mathbb{K} \setminus F\) pour \(n \ge N\), contradiction avec \(u_n \in F\). Donc \(\ell \in F\).

Boule fermée \(\overline{B}(a, r)\) : son complémentaire est ouvert par Proposition Exemples d'ouverts, donc \(\overline{B}(a, r)\) est fermée. Complémentaire d'une boule ouverte : par la même Proposition (boule ouverte est ouverte), son complémentaire est fermé. Intervalles \([a, b]\) : complémentaire \(\,]-\infty, a[ \cup \,]b, +\infty[\,\) est une union de deux ouverts, donc ouvert (les intervalles ouverts non bornés ont été prouvés ouverts plus haut). Même argument pour \([a, +\infty[\,\) et \(\,]-\infty, b]\).
Partie finie \(F = \{a_1, \dots, a_k\}\). Preuve séquentielle directe : soit \((u_n) \in F^{\mathbb{N}}\) avec \(u_n \to \ell\). Supposons par l'absurde \(\ell \notin F\) et posons \(r = \tfrac{1}{2} \min_{1 \le j \le k} |\ell - a_j| > 0\). Alors \(|u_n - \ell| \ge r\) pour tout \(n\) (car \(u_n \in F\) et tout élément de \(F\) est à distance \(\ge 2r\) de \(\ell\)), contradiction avec \(u_n \to \ell\). Donc \(\ell \in F\), et \(F\) est fermée.
Produit \(F_1 + i F_2\). Si \(z_n = x_n + i y_n \to z = x + iy\) avec \(x_n \in F_1, y_n \in F_2\), alors \(x_n \to x\) et \(y_n \to y\) par Re/Im, donc \(x \in F_1, y \in F_2\) par fermeture de \(F_1, F_2\), d'où \(z \in F_1 + i F_2\).

Par De Morgan : \(\mathbb{K} \setminus \bigcap_i F_i = \bigcup_i (\mathbb{K} \setminus F_i)\) est une réunion d'ouverts, donc ouverte, d'où \(\bigcap_i F_i\) fermée. De même \(\mathbb{K} \setminus (F_1 \cup \dots \cup F_k) = (\mathbb{K} \setminus F_1) \cap \dots \cap (\mathbb{K} \setminus F_k)\) est une intersection finie d'ouverts, donc ouverte, d'où la réunion fermée.

• \(\overline{A}\) est fermée. Soit \((x_n) \in \overline{A}^{\mathbb{N}}\) avec \(x_n \to x\). Pour chaque \(n\), \(x_n \in \overline{A}\), donc par le théorème Caractérisation séquentielle des points adhérents il existe \(a_n \in A\) avec \(|a_n - x_n| < 1/(n+1)\). Alors : $$ |a_n - x| \;\le\; |a_n - x_n| + |x_n - x| \;<\; \frac{1}{n+1} + |x_n - x| \;\longrightarrow\; 0, $$ donc \(a_n \to x\) avec \(a_n \in A\). D'où \(x\) adhérent à \(A\), soit \(x \in \overline{A}\). Par caractérisation séquentielle des fermés, \(\overline{A}\) est fermée.
• Minimalité. Soit \(F\) fermé avec \(A \subset F\). Pour \(x \in \overline{A}\), il existe \((a_n) \in A^{\mathbb{N}}\) avec \(a_n \to x\). Comme \(A \subset F\), \((a_n) \in F^{\mathbb{N}}\). Par caractérisation séquentielle appliquée à \(F\), \(x \in F\). D'où \(\overline{A} \subset F\).
• Frontière fermée. \(\partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A} = \overline{A} \cap (\mathbb{K} \setminus \mathring{A})\). Comme \(\overline{A}\) est fermée (point précédent) et \(\mathring{A}\) ouvert (par le théorème Intérieur \(\equal\) plus grand ouvert), \(\mathbb{K} \setminus \mathring{A}\) est fermée, et \(\partial A\) est l'intersection de deux fermés, donc fermée.

Par la Définition « Partie dense », \(D\) est dense si elle rencontre tout intervalle ouvert non vide.
(\(\Rightarrow\)) Supposons \(D\) dense et soit \(x \in \mathbb{R}\). Pour tout \(\varepsilon > 0\) l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) est un intervalle ouvert non vide, puisqu'il contient \(x\), donc il rencontre \(D\). Par la Proposition « Limites de termes d'une partie » (\(\Leftarrow\)), \(x\) est limite d'une suite d'éléments de \(D\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons que tout réel soit limite d'une suite d'éléments de \(D\), et soient \(a < b\). Posons \(x = \frac{a+b}{2}\) et \(\varepsilon = \frac{b-a}{2} > 0\), de sorte que \(]a, b[ \, = \, ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\). Le réel \(x\) est limite d'une suite d'éléments de \(D\), donc par la Proposition « Limites de termes d'une partie » (\(\Rightarrow\)) l'intervalle \(]x - \varepsilon, x + \varepsilon[\) rencontre \(D\). Donc \(D\) rencontre tout intervalle ouvert non vide : \(D\) est dense.

Soient \(a < b\). Montrons que \(]a, b[\) contient un rationnel et un irrationnel.
Rationnels. Par le Théorème « Densité des décimaux », \(]a, b[\) contient un nombre décimal, qui est un rationnel puisque \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\). Donc \(\mathbb{Q}\) est dense.
Irrationnels. La densité de \(\mathbb{Q}\), appliquée à l'intervalle \(]a - \sqrt{2}, b - \sqrt{2}[\), donne \(q \in \mathbb{Q}\) avec \(a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}\). Alors \(a < q + \sqrt{2} < b\), et \(q + \sqrt{2}\) est irrationnel par la Proposition « Somme et produit avec un rationnel », puisque \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Donc \(]a, b[\) contient un irrationnel, et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) est dense.
Seconde démonstration : par une construction directe. Rationnels. Par la Proposition « Conséquences de la propriété d'Archimède », il existe \(q \in \mathbb{N}^*\) avec \(\frac1q < b - a\), c'est-à-dire \(q(b - a) > 1\). Posons \(p = \lfloor qa \rfloor + 1\). Alors $$ \begin{aligned} qa &< p && (qa < \lfloor qa \rfloor + 1) \\ &\le qa + 1 && (\lfloor qa \rfloor \le qa) \\ &< qb, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(qb - qa = q(b - a) > 1\). En divisant par \(q > 0\), \(a < \frac{p}{q} < b\). Irrationnels. Soit \(m\) le milieu de \(]\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}[\). Le cas des rationnels, appliqué à \(]\frac{a}{\sqrt{2}}, m[\) et à \(]m, \frac{b}{\sqrt{2}}[\), donne deux rationnels \(r < m < r'\) dans l'intervalle, et l'un au moins d'entre eux, \(s\), est non nul. Alors \(s\sqrt{2}\) est irrationnel par la Proposition « Somme et produit avec un rationnel », et \(a < s\sqrt{2} < b\) par le produit par \(\sqrt{2} > 0\).

Par la Proposition « Deux formes de la densité », il suffit d'approcher tout réel d'aussi près qu'on veut. Soient \(x \in \mathbb{R}\) et \(\varepsilon > 0\).
Choix de la précision. Par la Proposition « Conséquences de la propriété d'Archimède », un \(n \in \mathbb{N}^*\) vérifie \(\frac1n < \varepsilon\). De plus \(10^n > n\) pour \(n \ge 1\), par récurrence : initialisation, \(10^1 > 1\) ; hérédité, si \(10^n > n\), alors $$ \begin{aligned} 10^{n+1} &= 10 \cdot 10^n && \text{(règle des puissances)} \\ &> 10n && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &\ge n + 1, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que \(9n \ge 1\) ; d'après le principe de récurrence l'inégalité vaut pour tout \(n \ge 1\). Donc $$ \begin{aligned} 10^{-n} &= \frac{1}{10^n} && \text{(exposant négatif)} \\ &< \frac1n && \text{(inversion des nombres strictement positifs \(n < 10^n\))} \\ &< \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par le choix de \(n\).
L'approximation. Soit \(r_n\) l'approximation de \(x\) à \(10^{-n}\) près par défaut. C'est un nombre décimal, et par la Proposition « Approximations décimales », \(0 \le x - r_n < 10^{-n} < \varepsilon\), donc \(\lvert x - r_n \rvert < \varepsilon\). Par la Proposition « Deux formes de la densité », \(\mathbb{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).