Éducation Nationale Française · Cinquième

Triangles

⌚ ~178 min ▢ 20 blocs ✓ 91 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Angles

I Types de triangles

Définition — Triangle

Un triangle est un polygone à trois côtés (et donc trois sommets et trois angles).

Définition — Triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle dont au moins deux côtés sont de même longueur. Quand exactement deux le sont, le troisième côté est appelé la base, et le sommet opposé à la base est appelé le sommet principal. Un triangle équilatéral, dont les trois côtés sont égaux, est donc lui aussi isocèle.

Définition — Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dans lequel les trois côtés sont égaux en longueur. C'est un cas particulier de triangle isocèle.

Définition — Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit ($90^\circ$). Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.

Définition — Triangle scalène

Un triangle scalène est un triangle dans lequel les trois côtés ont des longueurs différentes (aucun côté n’a la même longueur qu’un autre).

Compétences à pratiquer

Classifier les triangles selon la longueur des côtés
Identifier un triangle d'après ses propriétés

II La somme des angles d'un triangle

Découverte

Trois élèves dessinent chacun un triangle. Léa en trace un large et plat, Noah un haut et mince, Amir un qui a un angle droit. Chacun suit les cinq mêmes étapes.

Dessiner un triangle quelconque.
Marquer chaque angle du triangle avec une couleur différente.
Découper chaque coin (angle) du triangle en suivant les contours colorés autour de chaque sommet.
Disposer les angles découpés pour qu'ils soient adjacents, leurs sommets réunis en un seul point et sans chevauchement.
Observer que les trois angles forment alors un angle plat (un angle mesurant $180^\circ$).

À chaque fois, quel que soit le triangle tracé, les trois coins s'emboîtent exactement le long d'une droite, et un angle plat mesure $180^\circ$. Que cela suggère-t-il sur les trois angles d'un triangle ?

Proposition — Somme des angles d'un triangle

Dans tout triangle, la somme des trois angles intérieurs est de $180^\circ$.

Preuve

L'activité de découpage et de réarrangement suggère le résultat ; ici, on le démontre. Par le sommet $C$, on trace la droite parallèle au côté opposé $\LineFr{AB}$. Les deux côtés $\SegmentFr{CA}$ et $\SegmentFr{CB}$ sont alors des sécantes coupant deux droites parallèles.

Chaque angle à la base se retrouve en $C$ comme angle alterne-interne : la sécante $\SegmentFr{CA}$ donne $\AngleFr{LCA}=c^\circ$, et la sécante $\SegmentFr{CB}$ donne $\AngleFr{BCR}=b^\circ$. Les trois angles en $C$ sont alignés le long de la droite $\LineFr{LR}$ ; ils forment donc un angle plat : $$\begin{aligned}[t] \AngleFr{LCA}+\AngleFr{ACB}+\AngleFr{BCR} &= 180^\circ && \text{(angles sur une droite)}\\ c^\circ + a^\circ + b^\circ &= 180^\circ. && \text{(angles alternes-internes, droites parallèles)} \end{aligned}$$ Ainsi les trois angles intérieurs vérifient $a^\circ+b^\circ+c^\circ=180^\circ$.

Exemple

Calculer $x$.

Correction

La somme des angles d’un triangle est de $180^\circ$. Donc : $$\begin{aligned}[t] x^\circ + 45^\circ + 80^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ + 125^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ &= 180^\circ - 125^\circ \\ x^\circ &= 55^\circ \end{aligned}$$

Proposition — Angles d'un triangle isocèle

Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux (angles à la base) sont égaux. Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

Preuve

Dessiner un triangle isocèle quelconque avec deux côtés égaux.
Tracer le segment qui joint le sommet principal au milieu de la base. Il partage le triangle en deux triangles. Ombrer chacun différemment.
Découper le triangle isocèle et le plier le long de ce segment : les deux côtés égaux se superposent. On admet ici ce que l'étude de la symétrie axiale a montré — un triangle isocèle a un axe de symétrie, la droite qui passe par son sommet principal et le milieu de sa base ; le pliage le fait voir, il ne le démontre pas.
Observer que les deux moitiés coïncident lorsqu’elles sont pliées, ce qui montre que les angles à la base sont égaux en raison de la symétrie.

La réciproque — un triangle qui a deux angles égaux est isocèle — est admise ici.

Proposition — Angles d'un triangle équilatéral

Dans tout triangle équilatéral, chaque angle mesure $60^\circ$.

Preuve

Soit un triangle équilatéral, dont tous les côtés sont égaux. Puisque les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, les trois angles ont la même mesure, notée $x^\circ$.

Par la propriété de la somme des angles d’un triangle : $$\begin{aligned} x^\circ + x^\circ + x^\circ &= 180^\circ \\ 3x^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ &= 180^\circ \div 3 \\ x^\circ &= 60^\circ \end{aligned}$$ Ainsi, chaque angle d’un triangle équilatéral mesure $60^\circ$.

Compétences à pratiquer

Calculer la mesure d'un angle inconnu
Calculer les mesures des angles d'un triangle isocèle
Classifier un triangle à partir de ses angles
Évaluer les propriétés des angles
Déduire des angles dans des configurations de triangles

III L'inégalité triangulaire et les constructions

Découverte

Aligner 4 allumettes bout à bout pour former un côté d’un triangle. Construire ensuite un triangle avec les deux autres côtés ayant chacun une longueur de 3 allumettes. Faire un petit croquis pour illustrer la solution.
En utilisant 9 allumettes, est-il possible de construire un triangle avec un côté ayant une longueur de 5 allumettes ?

Correction

1. Placer 5 allumettes bout à bout pour former un côté du triangle.
2. Il reste 4 allumettes pour former les deux autres côtés.
3. On suppose que le deuxième côté utilise 1 allumette. Le troisième côté utilise alors les 3 allumettes restantes.
4. Essayer de former un triangle avec des côtés de 5, 1 et 3 allumettes. Lorsque l’on tente de relier les extrémités du côté de 5 allumettes avec les côtés de 1 et 3 allumettes, le côté de 1 allumette est trop court pour atteindre l’extrémité du côté de 3 allumettes, ce qui empêche les côtés de former une figure fermée.
5. Essayer une autre combinaison, par exemple utiliser 2 allumettes pour chacun des deux autres côtés. Là encore, lorsque l’on tente de relier les extrémités du côté de 5 allumettes avec deux côtés de 2 allumettes, les côtés ne se rejoignent pas pour former une figure fermée, car le côté de 5 allumettes est trop long par rapport aux deux autres. Aucune combinaison des 4 allumettes restantes (par exemple, 1 et 3, ou 2 et 2) ne permet aux côtés de se connecter correctement.
6. Donc, avec 9 allumettes, il n’est pas possible de construire un triangle avec un côté de longueur 5 allumettes.

Théorème — Théorème de l'inégalité triangulaire

Dans tout triangle, la longueur de chaque côté doit être inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Si un côté est plus long que la somme des deux autres côtés, les côtés ne peuvent pas former un triangle car ils ne se rejoignent pas pour fermer la figure.
Si un côté est égal à la somme des deux autres côtés, le résultat est un triangle dégénéré (ses trois sommets sont alignés), qui n’est pas compté comme un triangle.

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Exemple

Peut-on construire un triangle avec les longueurs suivantes ?

Correction

Le théorème de l’inégalité triangulaire stipule que chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres côtés. On vérifie pour les trois côtés :

$2 < 6 + 3 = 9$ (valide)
$3 < 6 + 2 = 8$ (valide)
$6 \not< 3 + 2 = 5$ (non valide)

Puisque toutes les inégalités ne sont pas respectées, ces longueurs de côtés ne peuvent pas former un triangle.

Méthode — Construire un triangle à partir de trois données

Trois données bien choisies suffisent pour construire un triangle — trois angles, par exemple, ne suffisent pas, puisqu'ils ne disent rien de sa taille. Voici les trois cas usuels ; c'est la construction elle-même qui montre si le triangle existe.

Trois longueurs (côté, côté, côté) : tracer un côté ; depuis chacune de ses extrémités, tracer un arc de cercle dont le rayon est la longueur voulue ; le troisième sommet est là où les deux arcs se coupent. Si les arcs ne se coupent pas, le triangle n'existe pas ; s'ils ne font que se toucher en un point, les trois points sont alignés et le triangle est aplati — c'est l'inégalité triangulaire, avec son cas d'égalité, qui décide.
Deux longueurs et l'angle entre elles (côté, angle, côté) : tracer un côté ; à l'une de ses extrémités, reporter l'angle au rapporteur, ce qui donne une demi-droite ; sur cette demi-droite, placer le point à la seconde longueur ; joindre.
Un côté et ses deux angles adjacents (angle, côté, angle) : tracer le côté ; reporter chaque angle à son extrémité, les deux demi-droites du même côté du segment ; le troisième sommet est là où elles se coupent. Les deux angles doivent totaliser moins de $180^\circ$.

Dans chacun des trois cas, tous les triangles que l'on peut construire sont des copies les uns des autres : les données déterminent le triangle.

Compétences à pratiquer

Écrire des inégalités
Déterminer l'existence d'un triangle
Appliquer l'inégalité triangulaire
Explorer la constructibilité des triangles
Construire des triangles avec une règle et un compas
Construire un triangle à partir de deux côtés et de l'angle compris
Construire un triangle à partir de deux angles et du côté compris

IV Médiatrices et cercle circonscrit

Définition — Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par son milieu et qui lui est perpendiculaire.

Méthode — Construire la médiatrice de $\SegmentFr{AB}$

Construire, à l’aide du compas, deux arcs de cercle de même rayon, supérieur à la moitié de $\SegmentFr{AB}$ pour que les arcs se coupent, et de centres $A$ et $B$.
Les arcs de cercle se coupent en $E$ et $F$.
La médiatrice de $\SegmentFr{AB}$ est la droite $\LineFr{EF}$.

Proposition — Médiatrice et équidistance

La médiatrice d'un segment $\SegmentFr{AB}$ est l'ensemble de tous les points situés à égale distance de $A$ et de $B$. Autrement dit, un point $M$ appartient à la médiatrice de $\SegmentFr{AB}$ si et seulement si $MA = MB$.

Preuve

La médiatrice passe par le milieu $I$ de $\SegmentFr{AB}$ (donc $IA = IB$) et lui est perpendiculaire. Plier la figure le long de cette droite amène donc $A$ exactement sur $B$.

Si $M$ est sur la droite, le pli laisse $M$ en place et amène $\SegmentFr{MA}$ sur $\SegmentFr{MB}$, donc $MA = MB$.
Si $M$ n'est pas sur la droite, il est du côté de $A$ ou du côté de $B$, et il est alors plus près du point de son côté : $MA \neq MB$. Ce second point, la réciproque, est admis ici — le pliage envoie $M$ sur un autre point $M'$, mais cela ne suffit pas à comparer $MA$ et $MB$ ; sa démonstration passe par l'inégalité triangulaire.

Les points tels que $MA = MB$ sont donc exactement les points de la médiatrice.

Proposition — Cercle circonscrit à un triangle

Soit $ABC$ un triangle. Les médiatrices de ses trois côtés passent par un même point $O$, situé à égale distance des trois sommets : $OA = OB = OC$. Le cercle de centre $O$ passant par $A$, $B$ et $C$ est appelé le cercle circonscrit au triangle.

Preuve

On note $O$ le point où se coupent les médiatrices de $\SegmentFr{AB}$ et de $\SegmentFr{BC}$.

$O$ est sur la médiatrice de $\SegmentFr{AB}$, donc $OA = OB$.
$O$ est sur la médiatrice de $\SegmentFr{BC}$, donc $OB = OC$.

Donc $OA = OB = OC$. En particulier $OA = OC$, donc $O$ est aussi à égale distance de $A$ et de $C$ et appartient également à la médiatrice de $\SegmentFr{CA}$ : les trois médiatrices se coupent en $O$. Enfin, puisque $OA = OB = OC$, le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ passe par les trois sommets.

Proposition — Triangle rectangle inscrit dans son cercle

Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle qui a pour diamètre son hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) : le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

Le milieu $O$ de l'hypoténuse $\SegmentFr{AB}$ est à égale distance des trois sommets : $OA = OB = OC$. Réciproquement, si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l'un de ses côtés, alors il est rectangle au sommet opposé. Ces deux propriétés sont admises.

Compétences à pratiquer

Construire des cercles circonscrits

V Hauteurs

Définition — Hauteur d'un triangle

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement). On dit : la hauteur issue de $B$, ou la hauteur relative au côté $\SegmentFr{AC}$ — on dit alors que ce côté est associé à la hauteur. Le mot hauteur désigne aussi le segment du sommet à son pied — le point où la hauteur rencontre la droite qui porte le côté opposé —, et la longueur de ce segment. Cette longueur est la hauteur $h$ de l'aire d'un triangle, $A = b \times h \div 2$, quand le côté associé est pris pour base $b$.

Si le triangle a un angle obtus, deux des hauteurs ne touchent le triangle qu'en leur sommet : leurs pieds tombent à l'extérieur, sur le prolongement du côté opposé. Si le triangle est rectangle, deux des hauteurs sont confondues avec les deux côtés de l'angle droit.

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Proposition — Orthocentre

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes : elles passent par un même point, appelé l'orthocentre du triangle. Cette propriété est admise ici.

Proposition — Aire d'un triangle par sa hauteur

L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d'une hauteur et de son côté associé : $$\text{Aire} = \dfrac{\text{hauteur} \times \text{côté associé}}{2}.$$ N'importe laquelle des trois hauteurs convient — le résultat est le même.

Compétences à pratiquer

Tracer des hauteurs
Calculer des aires avec les hauteurs

VI Médianes

Définition — Médiane d'un triangle

Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Méthode — Construire une médiane

Pour construire la médiane issue de $B$ :

Déterminer le milieu $M$ du côté opposé $\SegmentFr{AC}$ (à la règle, ou au compas en construisant la médiatrice de $\SegmentFr{AC}$) ;
Tracer la droite qui passe par le sommet $B$ et par le point $M$.

Proposition — Médiane et aires

Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire : ils ont la même hauteur issue du sommet, et leurs bases sont les deux moitiés du côté opposé.

Preuve

Soit $ABC$ un triangle, $M$ le milieu de $[BC]$, $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $h = AH$ la distance de $A$ à la droite $(BC)$.

Les triangles $ABM$ et $AMC$ ont tous deux le sommet $A$, et leurs bases $[BM]$ et $[MC]$ sont sur la même droite $(BC)$ : ils ont la même hauteur $h$. Leurs bases sont égales, puisque $M$ est le milieu de $[BC]$. Donc $$\text{Aire}(ABM) = \dfrac{BM \times h}{2} = \dfrac{MC \times h}{2} = \text{Aire}(AMC).$$ La médiane issue de $A$ partage le triangle en deux triangles de même aire — quelle que soit la forme du triangle.

Proposition — Centre de gravité

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes : elles passent par un même point, appelé le centre de gravité du triangle. C'est le point d'équilibre d'un triangle découpé dans un carton homogène. Cette propriété est admise ici.

Compétences à pratiquer

Construire des médianes

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Résoudre des problèmes de triangles plus difficiles
Quiz