Éducation Nationale Française · Cinquième
Angles
I
Les angles
Définition — Classification des angles
| Nom | Fraction d’un tour complet | Mesure de l’angle | Figure |
| Angle aigu | Moins d’un quart de tour | Plus de \(0^{\circ}\), moins de \(90^{\circ}\) |  |
| Angle droit | Un quart de tour | Exactement \(90^{\circ}\) |  |
| Angle obtus | Entre un quart et un demi-tour | Plus de \(90^{\circ}\), moins de \(180^{\circ}\) |  |
| Angle plat | Un demi-tour | Exactement \(180^{\circ}\) |  |
Définition — Angle nul et angle plein
Deux angles complètent la classification, les deux cas extrêmes. - Un angle nul mesure \(0^\circ\) : ses deux côtés sont superposés, le tour n'est pas commencé.
- Un angle plein mesure \(360^\circ\) : ses deux côtés sont de nouveau superposés, après un tour complet.
Définition — Angles adjacents
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun. 
Une trousse de géométrie contient deux équerres, et les angles de chacune sont connus une fois pour toutes. La première a un angle droit et deux angles égaux de \(45^\circ\). La seconde a un angle droit, un angle de \(60^\circ\) et un angle de \(30^\circ\). 
Les quatre mesures \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) et \(90^\circ\) peuvent donc être tracées ou vérifiées à l'équerre seule, sans rapporteur : il suffit de poser sur le sommet de l'angle le coin qui porte la mesure voulue.
Compétences à pratiquer
- Classer des angles
- Angle nul et angle plein
- Angles adjacents
- Utiliser les angles de l'équerre
II
Angles complémentaires et supplémentaires
Pour caler l'équerre de l'étagère dans le coin, le menuisier scie une baguette en deux pièces : posées côte à côte, elles doivent remplir exactement un angle droit. La première est coupée à \(35^\circ\). Combien doit mesurer la seconde — et que faudrait-il si elles devaient remplir un angle plat ? 
Posées côte à côte, les deux pièces doivent remplir le coin en entier.
- Pour l'angle droit : \(35^\circ + {?} = 90^\circ\), donc la seconde pièce mesure \(90^\circ - 35^\circ = \boldsymbol{55^\circ}\) — les deux angles sont complémentaires.
- Pour l'angle plat : \(35^\circ + {?} = 180^\circ\), il faudrait \(180^\circ - 35^\circ = \boldsymbol{145^\circ}\) — les deux angles sont supplémentaires.
Définition — Complémentaires
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est \(90^\circ\). Placés côte à côte, des angles complémentaires forment un angle droit, comme le coin d’un carré. Exemple
Calculer la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\) s’il est complémentaire d’un angle de \(28^\circ\). 
Définition — Supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est \(180^\circ\). Placés côte à côte, des angles supplémentaires forment un angle plat (une ligne droite). Exemple
Calculer la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\) s’il est supplémentaire d’un angle de \(110^\circ\). 
Compétences à pratiquer
- Calculer des angles complémentaires
- Vérifier des angles complémentaires
- Calculer des angles supplémentaires
- Vérifier des angles supplémentaires
III
Angles opposés par le sommet
Définition — Angles opposés par le sommet
Les angles opposés par le sommet sont des angles situés l’un en face de l’autre au point où deux droites se coupent. Ils partagent le même sommet. 
Proposition — Égalité des angles opposés par le sommet
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. 
\(\textcolor{colordef}{a^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ}\)
On considère deux droites se coupant en un point, formant des angles opposés \(a^\circ\) et \(b^\circ\), et un angle adjacent \(c^\circ\). 
Puisque \(a^\circ\) et \(c^\circ\) forment un angle plat : $$\textcolor{colordef}{a^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = 180^\circ \quad (\text{angle plat})$$ De même, \(b^\circ\) et \(c^\circ\) forment un angle plat : $$\textcolor{colorprop}{b^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = 180^\circ \quad (\text{angle plat})$$ Ainsi, \(\textcolor{colordef}{a^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ}\). En soustrayant \(\textcolor{olive}{c^\circ}\) aux deux membres, on obtient : $$\textcolor{colordef}{a^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ}$$
Exemple
Calculer la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\). 
Les angles opposés par le sommet sont égaux. $$\begin{aligned} x^\circ &= 70^\circ \quad (\text{les angles opposés sont égaux}) \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Identifier les angles opposés par le sommet
- Déterminer les relations entre angles
- Calculer des angles inconnus
IV
La bissectrice d'un angle
Reporter deux fois un même angle en donne le double. L'inverse, le partager en deux moitiés égales, se fait par pliage. La demi-droite du pli porte un nom, et on peut la tracer exactement au compas, sans rapporteur.
Définition — Bissectrice d'un angle
Les angles considérés ici sont saillants : ils mesurent moins de \(180^\circ\). La bissectrice d'un tel angle est la demi-droite, issue de son sommet, qui partage l'angle en deux angles égaux. C'est l'axe de symétrie de l'angle : en pliant le long de la bissectrice, un côté se pose exactement sur l'autre. 
Méthode — Construire la bissectrice au compas
- Placer la pointe du compas sur le sommet \(O\) et tracer un arc qui coupe les deux côtés de l'angle, en \(P\) et \(Q\).
- Placer la pointe du compas sur \(P\) et, avec un écartement assez grand, tracer un arc à l'intérieur de l'angle. Sans changer l'écartement, la placer sur \(Q\) et tracer un second arc qui coupe le premier, en \(R\).
- Tracer la demi-droite issue de \(O\) passant par \(R\). Cette demi-droite est la bissectrice : elle partage l'angle en deux angles égaux.
Exemple
On trace la bissectrice d'un angle de \(70^\circ\). Quelle est la mesure de chacun des deux angles obtenus ?
La bissectrice partage l'angle en deux moitiés égales ; chacune mesure donc la moitié de \(70^\circ\) : $$\begin{aligned}[t] 70^\circ \div 2 &= 35^\circ. && \text{(moitié de l'angle)} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer des demi-angles
- Construire des bissectrices
V
Angles alternes-internes et correspondants
Définition — Angles alternes-internes et correspondants
Deux droites coupées, en deux points distincts, par une troisième — une sécante — forment huit angles, en deux paquets de quatre. Parmi eux : - deux angles sont alternes-internes lorsque : ils n'ont pas le même sommet ; ils sont tous les deux entre les deux droites ; ils sont de part et d'autre de la sécante ;
- deux angles sont correspondants lorsque : ils n'ont pas le même sommet ; un seul des deux est entre les deux droites ; ils sont du même côté de la sécante.
Exemple
Sur la figure, les droites \((d)\) et \((d')\) sont coupées par la sécante \((t)\). Parmi les quatre angles marqués, citer une paire d'angles alternes-internes et une paire d'angles correspondants, en contrôlant les trois critères à chaque fois. 
- Les angles \(1\) et \(3\) sont alternes-internes : sommets différents ; tous deux entre \((d)\) et \((d')\) ; l'angle \(1\) est à droite de \((t)\) et l'angle \(3\) à gauche — de part et d'autre.
- Les angles \(2\) et \(4\) sont correspondants : sommets différents ; l'angle \(2\) est entre les droites et l'angle \(4\) ne l'est pas — un seul entre les deux ; tous deux à gauche de \((t)\) — du même côté.
Compétences à pratiquer
- Identifier les angles alternes-internes et correspondants
VI
Angles et parallélisme
Deux droites parallèles sont coupées par une troisième droite. Un angle est marqué \(70^\circ\) ; trois autres sont marqués d'un point d'interrogation. Le rapporteur est inutile : connaître un seul angle suffit pour déterminer tous les autres — c'est la chasse aux angles. En partant de ce \(70^\circ\), combien mesurent tous les autres angles ? 
Proposition — Angles correspondants sur des droites parallèles
Lorsqu'une sécante coupe deux droites parallèles, les angles correspondants sont égaux. On l'admet comme point de départ — un postulat — et c'est à partir de lui que les deux autres propriétés sont démontrées, et non simplement énoncées. 
Proposition — Les angles alternes-internes sont égaux
Lorsqu'une sécante coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont égaux. 
Au sommet du haut, \(\textcolor{olive}{c^\circ}\) et \(\textcolor{colorprop}{a^\circ}\) sont opposés par le sommet, donc égaux. Et \(\textcolor{colorprop}{a^\circ}\) et \(\textcolor{purple}{e^\circ}\) sont correspondants, égaux d'après le postulat. Donc : $$\begin{aligned}[t] \textcolor{olive}{c^\circ} &= \textcolor{colorprop}{a^\circ} && \text{(opposés par le sommet)}\\
&= \textcolor{purple}{e^\circ}. && \text{(correspondants, postulat)} \end{aligned}$$ Ainsi \(\textcolor{olive}{c^\circ}=\textcolor{purple}{e^\circ}\) : les angles alternes-internes sont égaux.
Exemple
Calculer la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\), sachant que les droites sont parallèles. 
Puisque les angles sont alternes-internes et que les droites sont parallèles, ils sont égaux. $$\begin{aligned} x^\circ &= 70^\circ \quad (\text{les angles alternes-internes sont égaux}) \end{aligned}$$
Proposition — Droites parallèles à partir d’angles égaux
Si deux angles correspondants ou deux angles alternes-internes formés par une même sécante sont égaux, alors les droites sont parallèles. 
On suppose les angles correspondants \(\textcolor{colorprop}{a^\circ}\) et \(\textcolor{purple}{e^\circ}\) égaux, et — pour aboutir à une contradiction — que les deux droites ne sont pas parallèles. Par le sommet du haut, il passe exactement une droite parallèle à la droite du bas. D'après le postulat, cette parallèle forme avec la sécante un angle correspondant égal à \(\textcolor{purple}{e^\circ}\) — donc égal à \(\textcolor{colorprop}{a^\circ}\). Mais depuis le sommet, d'un côté donné de la sécante, il n'existe qu'une seule demi-droite formant avec elle l'angle donné : cette parallèle est donc confondue avec la droite du haut. La droite du haut est alors parallèle à la droite du bas, ce qui contredit la supposition. Les deux droites sont donc parallèles. Si maintenant deux angles alternes-internes sont égaux, l'angle opposé par le sommet à l'un d'eux est correspondant à l'autre et de même mesure (les opposés sont égaux) : on est ramené au cas précédent.
Exemple
Démontrer que les droites sont parallèles à partir des mesures d’angles données. 
Puisque les angles correspondants sont égaux (\(110^\circ = 110^\circ\)), les droites sont parallèles.
Compétences à pratiquer
- Calculer des angles inconnus : niveau 1
- Calculer des angles inconnus : niveau 2
- Chasser les angles en justifiant
VII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Démontrer les propriétés des droites parallèles
- Problèmes
- Quiz
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