Éducation Nationale Française · Cinquième
Parallélogrammes
I
Types de quadrilatères
Définition — Quadrilatère
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés (et donc quatre sommets et quatre angles).
Quadrilatère croisé, quadrilatère non croisé
Relier quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) dans cet ordre donne les quatre côtés \(\SegmentFr{AB}\), \(\SegmentFr{BC}\), \(\SegmentFr{CD}\), \(\SegmentFr{DA}\). Si ces côtés ne se rencontrent qu'en leurs extrémités, le quadrilatère \(ABCD\) est non croisé — c'est le cas habituel. Si deux côtés se coupent, le quadrilatère est croisé, en forme de nœud papillon. 
Cette distinction compte : les propriétés des quadrilatères usuels, étudiées plus bas, supposent toujours un quadrilatère non croisé.
Définition — Carré
Un carré est un quadrilatère avec quatre angles droits et quatre côtés égaux. 
Définition — Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère avec quatre angles droits (chaque angle mesure \(90^\circ\)). 
Définition — Losange
Un losange est un quadrilatère avec quatre côtés égaux. 
Définition — Trapèze
Un trapèze est un quadrilatère avec au moins une paire de côtés opposés parallèles. Une paire de côtés parallèles est prise pour bases ; les deux autres côtés sont les côtés latéraux. 
Compétences à pratiquer
- Classifier les quadrilatères
- Reconnaître un polygone dans une figure complexe
II
Le parallélogramme et ses propriétés
Léa pose deux bandes de papier l'une sur l'autre et regarde la forme de la partie commune. 
Les bandes se croisent (et sont assez longues pour que leurs extrémités restent hors de la partie commune), donc leurs bords ne sont pas parallèles entre eux. Les deux bords d'une bande sont parallèles. La partie commune a deux côtés sur les bords de la première bande et deux côtés sur les bords de la seconde : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, donc la partie commune est toujours un parallélogramme — c'est exactement la définition du parallélogramme. 
- si les bandes sont perpendiculaires, la partie commune a des angles droits : c'est un rectangle ;
- si les bandes ont la même largeur, la partie commune a quatre côtés égaux : c'est un losange (on peut le vérifier en mesurant — calculer de deux façons l'aire de la partie commune explique pourquoi) ;
- perpendiculaires et de même largeur : un carré.
Définition — Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel les deux paires de côtés opposés sont parallèles. 
Proposition — Propriétés d’un parallélogramme
- Les côtés opposés sont de longueur égale.
- Les angles opposés sont égaux.
- Les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme est égale à \(180^\circ\)).
- Les diagonales se coupent en leur milieu (chacune coupe l'autre en son milieu).
Proposition — Centre de symétrie d'un parallélogramme
Le point \(O\) où se croisent les deux diagonales d'un parallélogramme est son centre de symétrie : le demi-tour autour de \(O\) transforme le parallélogramme exactement en lui-même, en envoyant chaque sommet sur le sommet opposé (\(A\) sur \(C\), et \(B\) sur \(D\)). 
On note \(O\) le milieu de la diagonale \(\SegmentFr{AC}\) : le demi-tour de centre \(O\) envoie \(A\) sur \(C\) et \(C\) sur \(A\). D'après les propriétés de conservation de la symétrie centrale, l'image de la droite \((AB)\) est une droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\), l'image de \(A\) : c'est la droite \((CD)\), puisque \(ABCD\) est un parallélogramme. De même, l'image de la droite \((CB)\) est la parallèle à \((CB)\) passant par \(A\) : c'est \((AD)\). Le point \(B\) est à la fois sur \((AB)\) et sur \((CB)\), donc son image est à la fois sur \((CD)\) et sur \((AD)\) : c'est \(D\).
Le demi-tour de centre \(O\) envoie donc \(A\) sur \(C\) et \(B\) sur \(D\) : le parallélogramme retombe exactement sur lui-même, \(O\) est un centre de symétrie, et les propriétés en découlent aussitôt :
Le demi-tour de centre \(O\) envoie donc \(A\) sur \(C\) et \(B\) sur \(D\) : le parallélogramme retombe exactement sur lui-même, \(O\) est un centre de symétrie, et les propriétés en découlent aussitôt :
- le demi-tour amène le côté \([AB]\) sur le côté \([CD]\), et le côté \([AD]\) sur le côté \([CB]\), donc les côtés opposés sont égaux et les angles opposés sont égaux ;
- le demi-tour envoie \(B\) sur \(D\) en laissant \(O\) fixe, donc \(O\) est aussi le milieu de \([BD]\) : les diagonales se coupent en \(O\), en leur milieu.
Compétences à pratiquer
- Utiliser les propriétés du parallélogramme
III
Reconnaître un parallélogramme
Les propriétés précédentes partent d'un parallélogramme et disent ce qu'il possède. On a souvent besoin de l'inverse : partir d'un quadrilatère et décider s'il s'agit d'un parallélogramme. Pour cela on utilise des caractérisations — des conditions qui suffisent, à elles seules, à garantir un parallélogramme. La plupart sont les réciproques des propriétés précédentes. Toutes supposent un quadrilatère non croisé : dans le nœud papillon de « Quadrilatère croisé, quadrilatère non croisé », \(AB = CD\) et \(BC = DA\) — les côtés opposés sont égaux deux à deux — et pourtant \(ABCD\) n'est pas un parallélogramme.
Proposition — Reconnaître un parallélogramme
Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si l'une des conditions suivantes est vraie : - ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (c'est la définition) ;
- ses côtés opposés sont égaux deux à deux ;
- deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu commun.
Exemple
\(EFGH\) est un quadrilatère non croisé dans lequel les côtés opposés \([EF]\) et \([HG]\) sont parallèles et de même longueur, \(EF = HG = 4\) cm. \(EFGH\) est-il un parallélogramme ?
Deux côtés opposés, \([EF]\) et \([HG]\), sont à la fois parallèles et de même longueur. D'après la caractérisation « deux côtés opposés parallèles et de même longueur » (pour un quadrilatère non croisé), \(EFGH\) est un parallélogramme.
Compétences à pratiquer
- Décider si un quadrilatère est forcément un parallélogramme
- Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
- Construire des parallélogrammes
IV
Parallélogrammes particuliers
Proposition — Propriétés d’un rectangle
- Les côtés opposés sont de longueur égale.
- Les côtés opposés sont parallèles.
- Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de longueur égale.
Proposition — Propriétés d’un losange
- Les côtés opposés sont parallèles.
- Les angles opposés sont égaux.
- Les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme est égale à \(180^\circ\)).
- Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Proposition — Propriétés d’un carré
- Les côtés opposés sont parallèles.
- Les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de longueur égale.
Proposition — Reconnaître les parallélogrammes particuliers
Un parallélogramme devient un quadrilatère particulier dès qu'une condition supplémentaire est vraie : - un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle ;
- un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle ;
- un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange ;
- un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange ;
- un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.
Exemple
\(ABCD\) est un parallélogramme avec \(AB = 5\) cm et \(BC = 5\) cm. Quel quadrilatère particulier est-ce ?
\(ABCD\) est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux (\(AB = BC = 5\) cm). D'après la caractérisation du losange, \(ABCD\) est un losange. 
Proposition — La famille des quadrilatères
Les quadrilatères particuliers ne sont pas des sortes séparées : certains sont des cas particuliers d'autres. - Un carré a quatre angles droits, donc tout carré est aussi un rectangle ; un carré a aussi quatre côtés égaux, donc tout carré est aussi un losange.
- Un rectangle et un losange ont chacun leurs deux paires de côtés opposés parallèles, donc tout rectangle et tout losange est aussi un parallélogramme.
- Un parallélogramme a une paire de côtés parallèles, donc tout parallélogramme est aussi un trapèze ; et tout trapèze est un quadrilatère.
Compétences à pratiquer
- Évaluer la famille des quadrilatères
- Démontrer qu'un parallélogramme est particulier
- Construire des quadrilatères avec une règle et une équerre
V
Les unités d'aire
Définition — Unités d’aire
- Kilomètre carré \(\left(\mathrm{km}^2\right)\) : une très grande unité d’aire, l’aire d’un carré de \(1\) km de côté : environ \(140\) terrains de football.
- Mètre carré \(\left(\mathrm{m}^2\right)\) : une unité d’aire de tous les jours, l’aire d’un carré de \(1\) m de côté : à peu près la taille du dessus d’une petite table.
- Centimètre carré \(\left(\mathrm{cm}^2\right)\) : une petite unité d’aire, à peu près l’ongle d’un doigt.
- Millimètre carré \(\left(\mathrm{mm}^2\right)\) : une très petite unité d’aire, à peu près la taille d’un petit point fait par un crayon.
Comment les unités d'aire sont-elles liées ? On considère un carré d'une aire de 1 cm\(^2\). Comme 1 cm = 10 mm, chaque côté de ce carré mesure 10 mm de long. 
Chaque petit carré fait 1 mm\(^2\). Pour trouver l'aire en mm\(^2\), on multiplie sa longueur en mm par sa largeur en mm : $$ \begin{aligned} 1 \, \mathrm{cm}^2 &= 1 \, \mathrm{cm} \times 1 \, \mathrm{cm} \\
&= 10 \, \mathrm{mm} \times 10 \, \mathrm{mm} \\
&= 100 \, \mathrm{mm}^2 \end{aligned} $$ Ainsi, 1 cm\(^2\) est égal à 100 mm\(^2\). Le facteur de conversion est au carré : \(10 \times 10 = 100\).
Proposition — Conversion des unités d’aire
Comme on multiplie deux longueurs pour obtenir une aire, les facteurs de conversion sont au carré. - \(1 \, \text{cm}^2 = (10 \times 10) \, \text{mm}^2 = \mathbf{100} \, \text{mm}^2\)
- \(1 \, \text{dm}^2 = (10 \times 10) \, \text{cm}^2 = \mathbf{100} \, \text{cm}^2\)
- \(1 \, \text{m}^2 = (10 \times 10) \, \text{dm}^2 = \mathbf{100} \, \text{dm}^2\)
- \(1 \, \text{m}^2 = (100 \times 100) \, \text{cm}^2 = \mathbf{10\,000} \, \text{cm}^2\)
- \(1 \, \text{km}^2 = (1\,000 \times 1\,000) \, \text{m}^2 = \mathbf{1\,000\,000} \, \text{m}^2\)
Méthode — Convertir en utilisant une multiplication ou une division
- Utiliser la multiplication pour passer d’une unité plus grande à une plus petite (comme des mètres carrés aux centimètres carrés).
- Utiliser la division pour passer d’une unité plus petite à une plus grande (comme des centimètres carrés aux mètres carrés).
Méthode — Convertir en utilisant un tableau de conversion
Pour les aires, chaque unité dans le tableau de conversion est divisée en deux colonnes. On convertit 10,5 m\(^2\) en cm\(^2\). - Dessiner le tableau de conversion des aires. Chaque unité possède deux colonnes.
- Placer le nombre dans le tableau. La règle est : le chiffre des unités se place dans la colonne de droite de l'unité de départ. Pour 10,5 m\(^2\), le chiffre des unités est 0, donc on le place dans la colonne de droite des m\(^2\). Les autres chiffres se placent dans les colonnes voisines, en gardant le même ordre (dizaines à gauche, chiffres décimaux à droite).
- Déplacer la virgule à droite des colonnes de l'unité d'arrivée. L'unité d'arrivée est le cm\(^2\). Remplir les colonnes vides avec des zéros.
- Lire le nombre final. La virgule est maintenant tout à droite.
Donc, 10,5 m\(^2\) = \(105\,000\) cm\(^2\).
Compétences à pratiquer
- Convertir les unités d'aire
- Convertir les unités d'aire avec des nombres décimaux
- Convertir avant de calculer
VI
Aire d'un parallélogramme
Pour trouver l’aire d’un parallélogramme, on peut le transformer en rectangle en déplaçant un triangle d’un côté à l’autre. Voici comment cela fonctionne étape par étape avec le parallélogramme ci-dessous : 
- Dessiner la hauteur, une ligne qui va du côté supérieur au côté inférieur et qui est perpendiculaire à la base :
- Couper le triangle à droite :
- Déplacer le triangle vers la gauche pour former un rectangle :
- On obtient un rectangle avec une longueur (base) de \(4\) cm et une hauteur de \(3\) cm. L’aire du parallélogramme est la même que celle de ce rectangle, qui est la base multipliée par la hauteur : \(4 \times 3 = 12 \, \text{cm}^2\).
Définition — Hauteur d'un parallélogramme
Dans un parallélogramme, une hauteur relative à un côté est un segment perpendiculaire à ce côté et à son côté opposé, qui va de la droite qui porte l'un à la droite qui porte l'autre. Ce côté est alors la base associée à la hauteur. Toutes les hauteurs relatives à la même paire de côtés ont la même longueur : un parallélogramme a ainsi deux familles de hauteurs, une par paire de côtés opposés (leurs longueurs peuvent être égales, comme dans un losange). 
Proposition — Aire d’un parallélogramme
L’aire d’un parallélogramme se trouve en multipliant la base par la hauteur : $$\text{Aire d’un parallélogramme} = \text{base} \times \text{hauteur}$$ $$A = b \times h,$$ où \(b\) est la base et \(h\) la hauteur. 
Exemple
Trouver l’aire du parallélogramme : 
$$\begin{aligned}[t]A &= b \times h \\
&= 4 \times 2 \\
&= 8 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$ Donc, l’aire du parallélogramme est \(8 \,\text{cm}^2\).
Exemple
Le parallélogramme ci-dessous a des côtés de \(8\) cm et \(5\) cm ; la hauteur tracée mesure \(4\) cm. Calculer son aire. 
La hauteur de \(4\) cm est perpendiculaire aux côtés de \(8\) cm : sa base associée est le côté de \(8\) cm — pas le côté de \(5\) cm. $$\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur} = 8 \times 4 = 32 \,\text{cm}^2.$$ 
Retour aux bandes croisées du problème d'ouverture : si les deux bandes ont la même largeur, pourquoi la partie commune est-elle un losange ? Chaque paire de côtés opposés de la partie commune est portée par les deux bords d'une même bande : la hauteur associée à cette paire est donc la largeur de cette bande. On calcule l'aire des deux façons : $$\text{côté sur la première bande} \times \text{sa largeur} = \text{Aire} = \text{côté sur la seconde bande} \times \text{sa largeur}.$$ Si les deux largeurs sont égales, alors les deux longueurs de côtés sont égales aussi : les quatre côtés sont égaux — un losange, comme annoncé. 
Compétences à pratiquer
- Calculer les aires de parallélogrammes
- Choisir le côté et sa hauteur
- Distinguer aire et périmètre
VII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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