Éducation Nationale Française · Cinquième
Statistiques
I
Le vocabulaire de l'enquête
Les statistiques sont partout, des moyennes sportives aux bulletins d'information sur la météo.
- Un joueur de basket-ball marque en moyenne 14,6 points par match.
- L'année dernière a été l'année la plus chaude jamais enregistrée depuis 1897.
Définition — Statistiques
Les statistiques sont la science qui consiste à concevoir des enquêtes, puis à collecter, organiser, analyser et interpréter des données pour répondre à une question spécifique. Méthode — Processus d'enquête statistique
Une enquête statistique suit ces cinq étapes clés : - Poser la question : Définir clairement ce que l'on veut étudier.
- Collecter les données : Rassembler les informations pertinentes pour la question.
- Analyser les données : Compter, calculer des proportions, plus tard des moyennes.
- Représenter les données : Afficher les données organisées de manière visuelle avec des graphiques.
- Interpréter les données : Tirer des conclusions pour répondre à la question.
Définition — Question statistique
Une question statistique est une question claire et précise à laquelle on répond en collectant et en analysant des données, et dont les réponses varient : d'une personne ou d'un objet à l'autre, la réponse n'est pas toujours la même. Exemple
On étudie la question statistique : « Quelle est la matière scolaire préférée des élèves de notre école ? » 
Définition — Population
Une population est l'ensemble des personnes ou des objets que l'on veut étudier. Exemple
Pour ce problème, la population est l'ensemble des élèves de l'école. Interroger chaque élève est peu réaliste : les données des étapes suivantes proviennent donc d'un échantillon de 25 élèves (voir Recensement ou Sondage ci-dessous). 
Définition — Données
Les données sont l’ensemble des informations qu’on collecte, comme des chiffres, des mots, des mesures ou des observations. Exemple
Les données collectées sont la liste des réponses de chaque élève, comme « Maths », « Arts », « Sciences », « Arts », « Sport », etc. Définition — Caractère qualitatif, caractère quantitatif : compter ou mesurer
Une enquête porte sur un caractère (on dit aussi une variable) : ce que l'on observe chez chaque personne ou chaque objet. - un caractère qualitatif : la réponse nomme une catégorie (la couleur des yeux, le plat préféré), même quand elle s'écrit avec un nombre, comme un numéro de maillot ;
- un caractère quantitatif : la réponse dit combien. Elle se compte (le nombre de frères et sœurs) ou se mesure (la taille en centimètres, la masse en kilogrammes, une durée).
Exemple
Pour cette enquête : - Le caractère « Matière préférée » est qualitatif car les réponses sont des catégories (Maths, Arts, etc.).
- Le caractère « temps consacré aux devoirs chaque semaine » est quantitatif : la réponse est une durée, qui se mesure (par ex. 2 heures, 5 heures).
Compétences à pratiquer
- Identifier les étapes d'une enquête
- Identifier les populations
- Classifier les types de données
- Concevoir des questions par type de données
II
Collecter et organiser les données
Lorsqu'on mène une enquête, il faut décider auprès de qui collecter les données. Faut-il interroger toute la population, ou seulement un groupe plus restreint ?
Définition — Recensement ou sondage
- Un recensement collecte des données auprès de chaque membre de la population. Il donne la réponse exacte pour la population, si tout le monde répond ; il peut être très lent et coûteux pour de grandes populations.
- Un sondage collecte des données auprès d'un groupe plus petit et gérable issu de la population, appelé un échantillon (le choix de ce groupe s'appelle l'échantillonnage). C'est beaucoup plus rapide, mais l'échantillon doit être choisi avec soin pour être représentatif de l'ensemble de la population.
Exemple
Une enquête pose la question : « Quelle est la matière préférée des élèves de cette école ? »Si l'on interroge chaque élève de l'école, est-ce un recensement ou un sondage ?
C’est un recensement car on collecte des données auprès de toute la population (tous les élèves de l'école).
Exemple
Une enquête pose la question : « Quelle est la matière préférée des élèves de cette école ? »Si l'on n'interroge que les élèves d'une classe de maths, est-ce un recensement ou un sondage ?
C’est un sondage car on ne collecte des données que d'un petit échantillon (une classe de maths) de la population totale (toute l'école).
Méthode — Collecter et enregistrer les données d'une enquête
Une fois la question posée et la population identifiée, il faut une méthode systématique pour collecter et enregistrer les réponses. Pour interroger tout le monde dans un petit groupe, comme une classe (un recensement), un tableau de comptage est un outil efficace. - Préparer un tableau de comptage : avant de commencer, créer un tableau avec une ligne pour chaque catégorie de réponse possible et une colonne pour les bâtons.
- Mener l'enquête : poser la question de l'enquête à chaque personne de la population, une par une.
- Enregistrer chaque réponse : pour chaque réponse reçue, placer un bâton
dans la ligne de la catégorie correspondante. Ne pas oublier de faire du cinquième bâton une ligne diagonale qui barre les quatre premiers 
pour faciliter le comptage.
Exemple
Collecter des données pour la question « Quelle est ta matière préférée ? »À mesure que l'on interroge chacun des 25 élèves, on remplit la colonne des bâtons. Après avoir interrogé les 25 élèves, le tableau de comptage ressemblerait à ceci :
| Matière | Bâtons |
| Maths |  |
| Sciences |  |
| Sport |  |
| Arts | |
Définition — Tableau à double entrée
Un tableau à double entrée est un tableau qui organise les données en lignes et en colonnes. - Les colonnes (verticales) représentent une catégorie (comme la couleur).
- Les lignes (horizontales) représentent une autre catégorie (comme la forme).
Exemple
On a demandé à deux classes d'un collège si les élèves mangent à la cantine. | Cantine | Panier-repas | Total | |
| Classe A | \(18\) | \(8\) | \(26\) |
| Classe B | \(15\) | \(9\) | \(24\) |
| Total | \(33\) | \(17\) | \(50\) |
On lit la case au croisement de la ligne « Classe B » et de la colonne « Cantine » : \(\boldsymbol{15}\) élèves. Le nombre total d'élèves est dans le coin en bas à droite, au croisement de la ligne « Total » et de la colonne « Total » : \(\boldsymbol{50}\).
| Cantine | Panier-repas | Total | |
| Classe A | \(18\) | \(8\) | \(26\) |
| Classe B | \(\textcolor{colordef}{\boldsymbol{15}}\) | \(9\) | \(24\) |
| Total | \(33\) | \(17\) | \(\textcolor{colorprop}{\boldsymbol{50}}\) |
Un recensement interroge tout le monde, mais il est souvent trop long ou trop coûteux. La plupart des enquêtes utilisent donc un sondage : on étudie un échantillon et on s'en sert pour tirer une conclusion sur l'ensemble de la population. Pour que cela fonctionne, l'échantillon doit donner une image fidèle de la population. La façon dont l'échantillon est choisi détermine si l'on peut faire confiance à la conclusion.
Définition — Échantillon représentatif
Un échantillon est représentatif lorsqu'il reflète l'ensemble de la population : les différents groupes présents dans la population apparaissent dans l'échantillon dans à peu près les mêmes proportions que dans la population. Une conclusion tirée d'un échantillon représentatif peut raisonnablement être étendue à toute la population. Un échantillon biaisé penche vers un type de réponse et ne reflète pas la population : on ne peut donc pas faire confiance à sa conclusion. Définition — Sources fréquentes de biais
Trois manières de constituer un échantillon le rendent souvent biaisé : - Échantillonnage de commodité : choisir les personnes les plus faciles à atteindre. Exemple : pour connaître le sport préféré d'une ville, on n'interroge que les personnes qui sortent d'une piscine — les nageurs sont surreprésentés.
- Réponse volontaire : laisser chacun décider lui-même de répondre ou non. Exemple : un magazine publie un sondage et seuls les lecteurs qui ont un avis tranché le renvoient.
- Sous-couverture : laisser entièrement de côté une partie de la population. Exemple : pour interroger toute une école, on ne demande qu'aux élèves qui possèdent un smartphone — ceux qui n'en ont pas ne sont jamais atteints.
Compétences à pratiquer
- Choisir la bonne méthode de collecte de données
- Lire des tableaux à double entrée
- Identifier les échantillons représentatifs et biaisés
III
Effectifs et fréquences
Les statistiques descriptives sont des valeurs, telles que l'effectif, la moyenne ou le mode, qui résument les principales caractéristiques d'un ensemble de données.
Définition — Effectif et fréquence
L’effectif d'une catégorie est le nombre de fois où cette catégorie apparaît dans les données.La fréquence (ou fréquence relative) est la proportion des données qui correspond à une catégorie. On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. $$ \text{Fréquence (en }\pourcent\text{)} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \times 100\pourcent $$
Exemple
On calcule les fréquences relatives pour l'enquête sur la « Matière préférée » auprès de 25 élèves : | Matière | Effectif | Fréquence |
| Maths | 8 | \(8/25\times 100\pourcent = 32\pourcent\) |
| Sciences | 5 | \(5/25\times 100\pourcent = 20\pourcent\) |
| Sport | 7 | \(7/25\times 100\pourcent = 28\pourcent\) |
| Arts | 5 | \(5/25\times 100\pourcent = 20\pourcent\) |
| Total | 25 | 100\(\pourcent\) |
Compétences à pratiquer
- Distinguer une statistique d'une donnée
- Calculer les fréquences relatives
- Interpréter les tableaux de fréquences relatives
IV
Représenter les données
Une fois les données organisées dans un tableau, on peut créer des graphiques pour voir les tendances visuellement. Les diagrammes en barres sont excellents pour comparer les nombres de réponses (les effectifs), tandis que les diagrammes circulaires sont idéaux pour montrer les proportions.
Définition — Diagramme en barres
Un diagramme en barres (ou en bâtons) utilise des barres rectangulaires où la hauteur de chaque barre représente son effectif. Il peut être utilisé pour des données qualitatives et pour des données quantitatives discrètes. - Pour les données qualitatives (catégorielles), chaque barre représente une catégorie distincte (ex : « Maths », « Sciences »). Les barres sont généralement dessinées avec des espaces entre elles pour montrer que les catégories sont séparées.
- Pour les données quantitatives (numériques), chaque barre représente un nombre spécifique (ex : une note de « 3 » ou « 4 frères et sœurs »). Les nombres sont placés dans l'ordre sur l'axe horizontal.
Exemple
Tracer un diagramme en barres pour les données de l'enquête « Matière préférée ». | Matière | Effectif |
| Maths | 8 |
| Sciences | 5 |
| Sport | 7 |
| Arts | 5 |
Définition — Angle d'un secteur
Un diagramme circulaire montre la proportion de chaque catégorie sous forme de part d'un cercle (un secteur). Si la fréquence relative d'une catégorie est écrite sous forme décimale (un pourcentage se convertit d'abord : \(32\,\pourcent = 0{,}32\)), l'angle de sa part se calcule ainsi : $$ \text{Angle} = \text{fréquence relative} \times 360^\circ. $$ Exemple
Tracer un diagramme circulaire pour les données de l'enquête « Matière préférée » (Total = 25 élèves). | Matière | Effectif | Fréquence |
| Maths | 8 | \(32\pourcent\) |
| Sciences | 5 | \(20\pourcent\) |
| Sport | 7 | \(28\pourcent\) |
| Arts | 5 | \(20\pourcent\) |
D'abord, on calcule l'angle pour chaque part : 
- Maths : \(0{,}32 \times 360^\circ \approx 115^\circ\)
- Sciences : \(0{,}20 \times 360^\circ = 72^\circ\)
- Sport : \(0{,}28 \times 360^\circ \approx 101^\circ\)
- Arts : \(0{,}20 \times 360^\circ = 72^\circ\)
Définition — Graphique en ligne brisée
Un graphique en ligne brisée d'une relation est un graphique où les points \((\textcolor{colordef}{x}\,;\textcolor{colorprop}{y})\) sont reliés par des segments de droite, généralement de la gauche vers la droite. Exemple
Le diagramme cartésien ci-dessous (un graphique en ligne brisée) montre la température de midi mesurée chaque jour d'une semaine. 
Le point le plus haut est le vendredi : \(13\,^\circ\)C. Pour la plus forte montée, on lit les trois montées : de mardi à mercredi on passe de \(3\) à \(7\) (\(+4\)), de mercredi à jeudi de \(7\) à \(12\) (\(+5\)), de jeudi à vendredi de \(12\) à \(13\) (\(+1\)) : la plus forte montée est entre mercredi et jeudi. 
Un graphique est censé représenter les données honnêtement, mais les mêmes nombres peuvent être dessinés de façons qui poussent le lecteur vers une impression fausse. Les données peuvent être exactes alors que l'image exagère ou cache une différence. Reconnaître ces procédés fait partie de la lecture critique des données.
Méthode — Comment un graphique peut tromper
Trois procédés courants rendent un graphique trompeur : - Axe tronqué : l'axe vertical d'un diagramme en barres ne commence pas à 0. Une petite différence entre les valeurs paraît alors énorme, car l'œil compare les hauteurs dessinées, et non les vrais nombres.
- Échelle déformée : les intervalles d'un axe ne sont pas égaux (par exemple \(0\,;\,10\,;\,20\,;\,50\,;\,100\) espacés régulièrement). Des pas égaux sur le papier ne correspondent plus à des pas égaux dans les données, et la forme du graphique est déformée.
- Distorsion d'aire ou en 3D : agrandir une image, une icône ou une part en augmentant à la fois sa largeur et sa hauteur (ou en ajoutant de la profondeur) multiplie l'aire, ce qui exagère une différence en réalité petite.
Exemple
Deux magasins appartiennent à la même chaîne. Le mois dernier, le magasin A a réalisé 52 ventes et le magasin B en a réalisé 48. Les deux diagrammes en barres ci-dessous montrent exactement ces nombres. Le diagramme de gauche utilise un axe vertical qui commence à 45 ; celui de droite utilise un axe vertical qui commence à 0. Expliquer pourquoi le diagramme de gauche est trompeur et lequel des deux il faut utiliser. 
\(\qquad\quad\) 
Les deux diagrammes montrent les mêmes données exactes : 52 ventes pour le magasin A et 48 pour le magasin B, soit une différence de seulement 4 ventes. Dans le diagramme de gauche, l'axe vertical commence à 45 au lieu de 0 (un axe tronqué), donc seul le haut de chaque barre est dessiné. La barre du magasin A atteint alors une hauteur de \(52-45=7\) unités, tandis que celle du magasin B atteint \(48-45=3\) unités. Sur le papier, la barre du magasin A paraît plus de deux fois plus haute que celle du magasin B, ce qui laisse croire que A a beaucoup plus vendu — pourtant \(52\) ne dépasse \(48\) que d'environ \(8\pourcent\). Le diagramme de droite fait commencer l'axe à 0 : les hauteurs des barres sont donc proportionnelles aux vrais nombres et les deux magasins apparaissent correctement presque égaux. C'est le diagramme honnête (axe à partir de 0) qu'il faut utiliser.
Méthode — Lire un graphique avec un regard critique
Avant de faire confiance à ce qu'un graphique semble montrer, effectuer ces vérifications : - Vérifier que l'axe vertical d'un diagramme en barres commence à 0 : s'il commence plus haut, de petites différences sont exagérées.
- Vérifier que l'échelle est régulière : les intervalles de chaque axe doivent être égaux, pour que des distances égales correspondent à des quantités égales.
- Se méfier des images et de la 3D : une image ou une part agrandie dans deux directions, ou dessinée en 3D, peut exagérer une petite différence par son aire.
- Revenir aux nombres : en cas de doute, lire les valeurs réelles et les comparer directement plutôt que de se fier aux hauteurs dessinées.
Compétences à pratiquer
- Interpréter les graphiques
- Construire des graphiques statistiques
- Lire des diagrammes cartésiens
- Construire des diagrammes cartésiens
- Détecter les graphiques trompeurs
- Comparer des ensembles de données avec des diagrammes circulaires
- Choisir une représentation adaptée
V
La moyenne
Définition — Moyenne
La moyenne est la somme de toutes les valeurs numériques divisée par le nombre de valeurs. Elle n'est utilisée que pour les données quantitatives : $$ \bar{x} = \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} $$ Exemple
Un sondage a demandé à 9 élèves de noter à quel point ils aiment leur matière préférée sur une échelle de 0 (n'aime pas) à 5 (adore). Les notes étaient : $$1\,;\,4\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,4\,;\,5\,;\,4\,;\,4$$ Calculer la note moyenne pour cet ensemble de données.
Pour trouver la note moyenne, on ajoute les valeurs et on divise par le nombre d'élèves. $$ \text{Moyenne} = \frac{1 + 4 + 2 + 3 + 5 + 4 + 5 + 4 + 4}{9} = \frac{32}{9} \approx 3{,}56 $$ La note moyenne est d'environ 3,56. En moyenne, les élèves aiment leur matière préférée : 3,56 est plus près de 4 que de 3 sur l'échelle de 0 à 5.
Méthode — Une méthode pour interpréter les données
L'interprétation est l'étape finale et la plus importante. C'est là que l'on explique l'histoire que racontent les données. Suivre ces étapes pour rédiger une bonne interprétation. - Énoncer les principaux résultats : Commencer par décrire les points les plus évidents. Quelle est la catégorie la plus populaire (le mode) ? Quelle est la moins populaire ?
- Faire des comparaisons : Utiliser des mots de comparaison (par ex., « plus que », « moins que », « deux fois plus ») pour comparer les différentes catégories. Faire des calculs simples si nécessaire.
- Utiliser des données spécifiques comme preuves : Appuyer les affirmations avec des nombres. Utiliser les nombres (effectifs) ou les proportions en pourcentage du tableau ou du graphique.
- Tirer une conclusion : Rédiger une phrase de conclusion qui répond directement à la question statistique de départ.
- Réfléchir et poser de nouvelles questions : Se demander ce que les données ne disent pas. Ce résultat s'applique-t-il à toute l'école, ou seulement à la classe ? Que pourrait-on étudier ensuite ?
Exemple — Interprétation de l'enquête « Matière préférée »
Appliquer la méthode en 5 étapes pour interpréter les résultats de l'enquête sur les matières préférées. | Matière | Effectif | Proportion (\(\pourcent\)) |
| Maths | 8 | \(32\pourcent\) |
| Sciences | 5 | \(20\pourcent\) |
| Sport | 7 | \(28\pourcent\) |
| Arts | 5 | \(20\pourcent\) |
- Principaux résultats : Les données montrent que les Maths sont la matière la plus populaire. Les matières les moins populaires sont les Sciences et les Arts, qui sont à égalité.
- Comparaisons : Plus d'élèves ont choisi les Maths (8) que le Sport (7). Le nombre d'élèves qui préfèrent les Sciences est le même que ceux qui préfèrent les Arts (5).
- Preuves : Les Maths sont la matière préférée pour 32\(\pourcent\) de la classe : c'est la matière la plus choisie (le mode), juste devant le Sport (8 contre 7).
- Conclusion : En conclusion, d'après l'enquête auprès de 25 élèves, la matière préférée dans cette classe est les mathématiques.
- Réflexion : Cette conclusion ne s'applique qu'à la classe de 25 élèves. Une nouvelle question pour une future enquête pourrait être : « Les Maths sont-elles aussi la matière préférée dans toute l'école ? »
Remarque : la conclusion ci-dessus décrit les 25 élèves interrogés. Comme ils forment un échantillon de l'école, la conclusion ne s'étend à toute l'école que dans la mesure où l'échantillon est représentatif — il faudrait un recensement de l'école pour lever le doute lié à l'échantillon.
Compétences à pratiquer
- Calculer une moyenne
- Comparer en utilisant la moyenne
- Juger ce que dit la moyenne
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Mener une enquête complète
- Quiz
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