Éducation Nationale Française · Cinquième
Représentation de l'espace
I
Solides et polyèdres
Définition — Face
Une face est une surface plate d’un solide. Définition — Arête
Une arête est un segment où deux faces se rencontrent. Définition — Sommet
Un sommet est un coin d’un solide. C’est un point où plusieurs arêtes se rencontrent. Exemple
Ce solide en forme de boîte a plusieurs faces, arêtes et sommets. Un exemple de chaque est indiqué. 
Définition — Polyèdre
Un polyèdre est un solide en trois dimensions dont les faces sont planes et sont des polygones. 
Définition — Classification
On peut classer les solides en comptant leurs faces, arêtes et sommets. | Nom | Forme | Faces | Arêtes | Sommets |
| Cube |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Pavé droit |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Boule |  | 0 face plane (1 surface courbe) | 0 | 0 |
| Pyramide à base carrée |  | 5 (faces planes) | 8 | 5 |
| Cylindre (de révolution) |  | 2 faces planes (1 surface courbe) | 0 | 0 |
| Cône |  | 1 face plane (1 surface courbe) | 0 | 0 |
Compétences à pratiquer
- Identifier les formes planes et les solides
- Identifier les polyèdres
- Classifier les solides
- Nommer les solides
- Compter les faces, les arêtes et les sommets
II
La perspective cavalière
Un solide a trois dimensions, mais une feuille de papier n'en a que deux. Pour représenter un solide sur une feuille, on utilise un code : une façon de dessiner qui garde l'information utile et aplatit le reste. Le code principal est le dessin en perspective : un dessin qui donne l'impression du relief, les arêtes cachées en pointillés. Un patron montre le solide déplié à plat, et des vues de face, de côté et de dessus le montrent d'une seule direction à la fois. Chaque code garde une partie de l'information et en abandonne une autre ; lus ensemble, ils permettent de reconnaître un solide et de le construire.
Méthode — Arêtes visibles et arêtes cachées
Quand on dessine un solide sur une feuille, on ne le voit que d’un seul point de vue : certaines de ses arêtes sont derrière le solide et on ne les voit pas. On appelle ces arêtes des arêtes cachées. Pour montrer qu’une arête est cachée mais qu’elle fait toujours partie du solide, on la dessine en pointillés. Les lignes pleines montrent les arêtes que l’on voit. 
Définition — Perspective cavalière
Les dessins de solides utilisent la perspective cavalière. Ses règles sont : - la face avant, parallèle à la feuille, est dessinée en vraie grandeur — vraies longueurs et vrais angles ;
- les arêtes qui s'éloignent du lecteur (les fuyantes) sont toutes dessinées parallèles, selon un même angle fixe, et réduites du même facteur ;
- les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin ;
- les arêtes cachées derrière le solide sont dessinées en pointillés.
Compétences à pratiquer
- Compter les arêtes visibles et cachées
- Dessiner des solides
- Dessiner en perspective cavalière
III
Les vues
Définition — Projection à vues multiples
Une projection à vues multiples est une manière de représenter un solide en 3D à l’aide de plusieurs dessins en 2D. Chaque dessin montre comment le solide apparaît d’un côté différent, par exemple en vue de face, en vue de droite ou en vue de dessus. Ces vues aident à mieux comprendre la forme du solide. Exemple
Dessiner les vues de face, de droite et de dessus de ce solide. 
- Vue de face :\(\quad\)
- Vue de droite :\(\quad\)
- Vue de dessus :\(\quad\)
Compétences à pratiquer
- Identifier une vue d'un solide
- Dessiner une vue d'un solide
IV
Les patrons
Définition — Section transversale uniforme
Une section transversale uniforme signifie que, lorsqu’on coupe le solide dans la même direction, la section transversale a la même taille et la même forme en tout point de sa longueur. Définition — Prisme droit
Un prisme droit est un polyèdre dont la section transversale uniforme est un polygone. Il a deux faces parallèles et identiques appelées bases, et les autres faces sont des rectangles. Les prismes sont nommés en fonction de la forme de leur base. | Nom | Figure | Section transversale |
| Prisme triangulaire |  |  |
| Pavé droit (prisme rectangulaire) |  |  |
Définition — Patron
Un patron d’un solide est une figure plane que l’on peut plier, ou enrouler, pour obtenir ce solide. Quand le solide n’a que des faces planes et aucune surface courbe — un cube, un pavé droit, une pyramide, un prisme —, on plie le long des arêtes : les plis sont les lignes à l’intérieur du patron. Un cylindre et un cône ont eux aussi un patron, mais leur surface courbe doit être enroulée et non pliée. Une boule, elle, n’a pas de patron du tout : aucune feuille plane ne peut l’envelopper sans se froisser. 
Exemple
À quoi ressemble le patron d'un prisme droit à bases triangulaires ? Et le patron d'un cylindre dont la base a pour rayon \(1\) cm et dont la hauteur est \(3\) cm ? 
Le patron du prisme a les deux bases triangulaires et un rectangle par côté du triangle — trois rectangles en bande, tous de la hauteur du prisme. Chaque rectangle a la largeur du côté sur lequel il se replie : 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître des patrons
- Reconnaître des patrons de prismes et de cylindres
- Construire des solides en papier
- Tracer et compléter des patrons
- Identifier un solide d'après une représentation
V
Le volume du pavé droit
Définition — Volume
Le volume d'un objet est la quantité d’espace qu’il occupe. On le mesure en comptant combien d'unités de volume peuvent tenir à l'intérieur. Une unité de volume est un cube dont les arêtes mesurent 1 unité de long. 
Compter chaque petit cube à l’intérieur d’un pavé droit donne son volume, mais c’est lent. À la place, on fait grandir la boîte d’une couche à la fois et l'on observe comment le volume augmente.
Chaque nouvelle couche ajoute le même nombre de cubes. En comptant couche par couche, on repère la régularité et on obtient une règle simple : on peut multiplier la \(\textcolor{colordef}{longueur}\), la \(\textcolor{colorprop}{largeur}\) et la \(\textcolor{olive}{hauteur}\).
Chaque nouvelle couche ajoute le même nombre de cubes. En comptant couche par couche, on repère la régularité et on obtient une règle simple : on peut multiplier la \(\textcolor{colordef}{longueur}\), la \(\textcolor{colorprop}{largeur}\) et la \(\textcolor{olive}{hauteur}\).
-
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\(\quad\quad\) 
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\(\quad\quad\) 
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\(\quad\quad\) 
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Proposition — Volume d’un pavé droit
Le volume d’un pavé droit se calcule en multipliant sa longueur, sa largeur et sa hauteur : $$\text{Volume} = \textcolor{colordef}{\text{longueur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{largeur}} \times \textcolor{olive}{\text{hauteur}}$$ $$V = \textcolor{colordef}{L} \times \textcolor{colorprop}{l} \times \textcolor{olive}{h}$$ Exemple
Calculer le volume de ce pavé droit. 
En utilisant la formule du volume d'un pavé droit : $$\begin{aligned} \text{Volume} &= \textcolor{colordef}{\text{longueur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{largeur}} \times \textcolor{olive}{\text{hauteur}}\\
&= 5\times 2 \times 3 \\
&= 10 \times 3 &&(5 \times 2 = 10)\\
&= 30 \, \text{cm}^3 \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Déterminer le volume d'un solide
- Calculer les volumes de pavés droits
- Résoudre des problèmes
VI
L'aire du disque
Pour trouver l’aire d’un disque, on peut le diviser en petites parties et les réorganiser pour former un parallélogramme approximatif. Voici comment cela fonctionne étape par étape :
- Diviser le disque en 12 parties égales, comme des parts de tarte :
- Imaginer couper ces 12 parties du disque.
- Réorganiser les parties en les alternant pour former une forme qui ressemble à un parallélogramme :
- La base du parallélogramme est approximativement la moitié de la circonférence du cercle (\(\pi r\)), et sa hauteur est approximativement le rayon (\(r\)). Donc, l’aire du disque est l’aire de ce parallélogramme : $$ \begin{aligned} A_\text{disque} &= (\pi r) \times r \\ &= \pi \times r \times r \\ &= \pi r^2. \end{aligned} $$ On lit cette formule « pi \(r\) carré ».
Proposition — Aire d’un disque
L’aire d’un disque se trouve en multipliant \(\pi\) par le rayon au carré : $$\text{Aire d’un disque} = \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} $$ $$A = \pi r \times r = \pi r^2$$ 
Exemple
Trouver l’aire du disque : 
$$\begin{aligned}[t] A &= \pi \times r \times r \\
&= \pi \times 3 \times 3 \\
&= 9\pi \\
&\approx 28{,}3 \, \text{cm}^2 \end{aligned}$$
Demi-disque et quart de disque
Un demi-disque a la moitié de l'aire du disque entier ; un quart de disque en a le quart : $$A_{\text{demi-disque}} = \frac{1}{2}\pi r^2, \qquad A_{\text{quart de disque}} = \frac{1}{4}\pi r^2.$$ 
Compétences à pratiquer
- Calculer les aires de disques
VII
Le prisme droit et le cylindre
Compter les cubes à l’intérieur d’un solide pour trouver son volume peut prendre beaucoup de temps. Pour les solides à section transversale uniforme, on explore une méthode plus rapide en examinant le solide couche par couche pour identifier une formule.
- Aire de la base :
- Volume avec une hauteur de 1 cm :
- Volume avec une hauteur de 2 cm :
- Volume avec une hauteur de 3 cm :
- Formule générale :
Proposition — Volume d’un solide à section transversale uniforme
$$\text{Volume} = \textcolor{colordef}{\text{aire de la section}} \times \textcolor{olive}{\text{longueur}}$$ La longueur est la distance entre les deux extrémités, mesurée perpendiculairement à elles ; pour un solide posé sur une extrémité, c'est sa hauteur. Exemple
Trouver le volume de la figure. 
- Aire de
= \(3 \, \text{cm}^2\) - hauteur = \(4 \, \text{cm}\)
- $$ \begin{aligned}[t] V &= \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \\ &= 3 \, \text{cm}^2 \times 4 \, \text{cm} \\ &= 12 \, \text{cm}^3 \end{aligned} $$
Proposition — Volume d’un cylindre
$$\begin{aligned}\text{Volume d’un cylindre} &= \pi r^2 h\end{aligned}$$ 
Un cylindre a une section transversale uniforme.
- Aire de la base = Aire de
= Aire d’un disque = \(\pi r^2\)
- hauteur = \(h\)
- $$ \begin{aligned}[t] V &= \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \\ &= \pi r^2 \times h \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer les volumes d'empilements de cubes
- Calculer les volumes étape par étape
- Calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre
VIII
Unités de volume et capacité
Quand on mesure un volume, il est important d’utiliser des unités usuelles, les mêmes pour tout le monde, pour que chacun obtienne la même mesure. D’autres unités, comme des blocs de construction de tailles différentes, peuvent donner des réponses différentes.
Pour le volume, on utilise des unités usuelles comme le centimètre cube, noté \(\text{cm}^3\), et le mètre cube, noté \(\text{m}^3\).
Pour le volume, on utilise des unités usuelles comme le centimètre cube, noté \(\text{cm}^3\), et le mètre cube, noté \(\text{m}^3\).
Définition — Unités de volume
- Millimètre cube \(\left(\mathrm{mm}^3\right)\) : Le volume d’un cube de 1 mm d'arête. C’est à peu près le volume d’un petit grain de sable.
- Centimètre cube \(\left(\mathrm{cm}^3\right)\) : Le volume d’un cube de 1 cm d'arête. C’est à peu près le volume d’un petit dé à jouer.
- Décimètre cube \(\left(\mathrm{dm}^3\right)\) : Le volume d'un cube de 1 dm (soit 10 cm) d'arête. C'est à peu près le volume d'une brique de lait de 1 litre.
\(1 \mathrm{~dm}^{3}=1 \mathrm{~dm} \times 1 \mathrm{~dm} \times 1 \mathrm{~dm}\) 
- Mètre cube \(\left(\mathrm{m}^3\right)\) : Le volume d’un cube de 1 m d'arête. Trois lave-linge ensemble occupent environ 1 mètre cube.
Proposition — Conversion des unités de volume
- \(1 \, \text{cm}^3 = (10 \times 10 \times 10) \, \text{mm}^3 = \mathbf{1\,000} \, \text{mm}^3\)
- \(1 \, \text{dm}^3 = (10 \times 10 \times 10) \, \text{cm}^3 = \mathbf{1\,000} \, \text{cm}^3\)
- \(1 \, \text{m}^3 = (10 \times 10 \times 10) \, \text{dm}^3 = \mathbf{1\,000} \, \text{dm}^3 = 1\,000\,000 \, \text{cm}^3\)
Méthode — Convertir en utilisant une multiplication ou une division
- Utiliser la multiplication pour passer d’une unité plus grande à une plus petite (comme des mètres cubes aux centimètres cubes).
- Utiliser la division pour passer d’une unité plus petite à une plus grande (comme des centimètres cubes aux mètres cubes).
Méthode — Convertir en utilisant un tableau
Pour le volume, chaque unité dans le tableau de conversion est divisée en trois colonnes. On convertit 10,5 \(\mathrm{m}^3\) en \(\mathrm{cm}^3\). - Dessiner le tableau de conversion des volumes. Chaque unité a trois colonnes.
- Placer le nombre dans le tableau. La règle est : le chiffre des unités se place dans la colonne de droite de l’unité de départ. Pour \(10{,}5 \,\mathrm{m}^3\), le chiffre des unités est 0, donc on le place dans la colonne de droite des \(\mathrm{m}^3\).
- Déplacer la virgule à droite des colonnes de l'unité d’arrivée. L’unité d’arrivée est le \(\mathrm{cm}^3\). Remplir les colonnes vides avec des zéros.
- Lire le nombre final.
Donc, \(10{,}5 \,\mathrm{m}^3 = 10\,500\,000 \,\mathrm{cm}^3\).
Définition — Litre
Un litre est une unité utilisée pour mesurer la capacité des liquides (ce qu'un récipient peut contenir). - 1 litre est le volume d'un cube de \(10 \,\text{cm}\) de côté. Comme \(10 \,\text{cm} = 1 \,\text{dm}\), c'est un cube de \(1 \,\text{dm}\) de côté, donc \(1 \,\text{L} = 1 \,\text{dm}^3\). $$ 1 \,\text{L} = 1 \,\text{dm}^3 = 1\,000 \,\text{cm}^3 \quad\text{et}\quad 1\,000 \,\text{L} = 1 \,\text{m}^3 $$
- On l'écrit avec le symbole L (un « L » majuscule).
- Une unité plus petite, le centilitre (cL), est souvent utilisée pour des volumes plus petits : \(1 \,\text{L} = 100 \,\text{cL}\).
- Une unité encore plus petite, le millilitre (mL), est utilisée pour des volumes très petits : $$ 1 \,\text{L} = 1\,000 \,\text{mL} \quad\text{et}\quad 1 \,\text{cL} = 10 \,\text{mL} \quad\text{et}\quad \,1 \,\text{mL} = 1 \,\text{cm}^3 $$
Exemple
- Une bouteille d’eau d’un litre contient \(1 \,\text{L}\), soit \(100 \,\text{cL}\) ou \(1\,000 \,\text{mL}\) :
- Une petite canette de soda contient environ \(0{,}33 \,\text{L}\), soit \(33 \,\text{cL}\) (c'est-à-dire \(330 \,\text{mL}\)) :
Compétences à pratiquer
- Choisir les unités de volume
- Convertir les unités de volume
- Choisir les unités de capacité
- Convertir les unités de capacité
- Convertir entre unités de volume et de capacité
IX
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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