Éducation Nationale Française · CE2

La monnaie

⌚ ~162 min ▢ 18 blocs ✓ 79 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les contenances

I Euros, centimes et virgule

Définition — Centime

Les euros peuvent être divisés en plus petites parties appelées centimes. Les centimes servent à payer des choses qui coûtent moins d’un euro, ou ce qui reste en plus des euros dans un prix. 1 euro = 100 centimes (100 c)

Définition — L'écriture à virgule d'une somme

Une somme d'euros et de centimes peut s'écrire avec une virgule : les euros à gauche, les centimes à droite — toujours deux chiffres pour les centimes, car $1~\Euro = 100$ c.

$3$ euros et $45$ centimes s'écrit $3{,}45~\Euro$.
$3$ euros et $5$ centimes s'écrit $3{,}05~\Euro$ : le zéro tient la place — $5$ centimes, ce n'est pas $50$ centimes.
$3$ euros tout juste s'écrit $3{,}00~\Euro$, ou simplement $3~\Euro$.
$50$ centimes tout seuls s'écrit $0{,}50~\Euro$ : zéro euro et $50$ centimes.

Méthode — Lire et écrire une somme

Lire : les chiffres avant la virgule sont des euros, les deux chiffres après sont des centimes. $4{,}60~\Euro$ : $4$ euros et $60$ centimes.
Écrire : on écrit les euros, la virgule, puis les centimes sur deux chiffres — avec un zéro devant si les centimes sont moins de $10$. $2$ euros et $5$ centimes : $2{,}05~\Euro$.
Constituer : on fait les euros avec des pièces et des billets, puis les centimes avec des pièces de centimes.

Compétences à pratiquer

Ajouter des pièces pour trouver le total
Des euros et des centimes à la virgule
De la virgule aux euros et centimes

II Pièces et billets

Définition — Pièces et billets

La monnaie se présente en pièces et en billets. Voici de quoi payer en euros. Les pièces en euros :

1 euro
2 euros

Les billets :

5 euros
10 euros
20 euros
50 euros

Il existe aussi des pièces en centimes d'euro, pour la partie d'un prix qui vaut moins d'un euro.
Il existe des billets plus grands — $100$ €, $200$ €, $500$ € — mais ils sont rares, et on ne s'en sert pas dans ce chapitre : tout se paie avec les billets et les pièces de la liste ci-dessus, et les pièces de centimes.

Méthode — Constituer une somme avec le moins de pièces et de billets

Pour constituer une somme avec le moins de billets et de pièces — pris dans la liste ci-dessus, jusqu'au billet de $50$ € — partir toujours de la plus grande valeur qui tient encore.

Prendre le plus possible de billets de $50$ €, puis de $20$ €, puis de $10$ €, puis de $5$ €.
Terminer les euros avec les pièces de $2$ € et de $1$ €.
Si la somme a des centimes, faire pareil avec les pièces de centimes : le plus possible de $50$ c, puis $20$ c, puis $10$ c, $5$ c, $2$ c, $1$ c.
Vérifier : tout rassembler et comparer avec la somme demandée.

Commencer par une valeur plus petite n'est pas faux — cela demande seulement plus de pièces.

Exemple

Constituer $87$ € avec le moins de pièces et de billets.

Correction

On part de la plus grande : un billet de $50$ €, il reste $87-50=37$. Un billet de $20$ € : il reste $17$. Un de $10$ € : il reste $7$. Un de $5$ € : il reste $2$. Une pièce de $2$ €.

Quatre billets et une pièce — cinq billets et pièces en tout. Vérification : $50+20+10+5+2=\textcolor{olive}{87}$.

Exemple

Constituer $2$ € $45$ c avec le moins de pièces possible.

Correction

Une pièce de $2$ €, puis les centimes en partant de la plus grande : $20+20+5=45$.

Quatre pièces en tout.

Méthode — Compter une somme de billets et de pièces

Pour savoir ce que vaut un gros tas d'argent, ne pas compter pièce par pièce : grouper.

Grouper ce qui est pareil : tous les $50$ € ensemble, tous les $20$ € ensemble, et ainsi de suite.
Multiplier chaque groupe : $3$ billets de $50$ € font $3 \times 50 = 150$ €.
Additionner les euros, puis additionner les centimes à part.
Échanger $100$ centimes contre $1$ euro tant que les centimes atteignent $100$.

Exemple

Déterminer ce que vaut ce tas : $3$ billets de $50$ €, $2$ de $20$ €, $4$ de $10$ €, $4$ de $5$ €, $3$ pièces de $2$ €, $5$ de $50$ c, $4$ de $20$ c et $2$ de $2$ c.

Correction

Chaque groupe est multiplié, les euros d'un côté, les centimes de l'autre. $$3 \times 50 = 150 \qquad 2 \times 20 = 40 \qquad 4 \times 10 = 40 \qquad 4 \times 5 = 20 \qquad 3 \times 2 = 6$$ Euros : $150+40+40+20+6=\textcolor{colordef}{256}$ €. $$5 \times 50 = 250 \qquad 4 \times 20 = 80 \qquad 2 \times 2 = 4$$ Centimes : $250+80+4=\textcolor{colorprop}{334}$ c. Trois centaines de centimes font $3$ euros, et il reste $34$ c. Le tas vaut $\textcolor{olive}{259}$ € $\textcolor{olive}{34}$ c.

Méthode — Échanger

Plusieurs billets ou pièces s'échangent contre un seul de même valeur totale, et inversement — quand un tel billet ou une telle pièce existe : une pièce de $1$ € et une de $2$ € ne peuvent pas devenir une seule, car la pièce de $3$ € n'existe pas.

$5$ billets de $10$ € $=$ un billet de $50$ €, car $5 \times 10 = 50$.
Un billet de $20$ € $=$ deux billets de $10$ €, ou quatre billets de $5$ €.

Un échange ne change jamais la somme : seule la composition en billets et en pièces change.

Exemple

Léa a quatre billets de $5$ € et veut un seul billet. Dire lequel, et pourquoi.

Correction

$4 \times 5 = 20$ : elle les échange contre un billet de $20$ €. La somme est la même, elle porte un billet au lieu de quatre.

Compétences à pratiquer

Constituer une somme avec le moins de pièces
Compter une somme de billets et de pièces
Échanger

III Additionner des euros et des centimes

Méthode — Additionner des euros et des centimes

On additionne les euros avec les euros, les centimes avec les centimes — puis on regarde les centimes.

Additionner les euros d'un côté, les centimes de l'autre.
Tant que les centimes atteignent $100$, échanger $100$ centimes contre $1$ euro et garder le reste. Avec trois montants de $80$ c, $240$ c donnent $2$ euros et il reste $40$ c.
Vérifier : ce qui reste en centimes est toujours plus petit que $100$.

Exemple

Léa achète un livre à $3$ € $60$ c et un stylo à $2$ € $70$ c. Déterminer le total.

Correction

Les euros avec les euros, les centimes avec les centimes : $3+2=\textcolor{colordef}{5}$ euros et $60+70=\textcolor{colorprop}{130}$ centimes. $130$ centimes, c'est plus que $100$ : on échange $100$ centimes contre $1$ euro, il reste $30$ centimes. $$\textcolor{colordef}{5}~\text{€}+\textcolor{colorprop}{130}~\text{c}=\textcolor{olive}{6}~\text{€}~\textcolor{olive}{30}~\text{c}$$ Vérification : $30$ est plus petit que $100$.

Compétences à pratiquer

Additionner des euros et des centimes

IV Rendre la monnaie

Méthode — Compter en avant jusqu'à l'euro suivant

Pour rendre la monnaie quand le prix a des centimes et qu'on paie avec des billets ou des pièces d'euro, le vendeur compte en avant à partir du prix :

Jusqu'à l'euro suivant : on ajoute les centimes qui manquent pour faire $100$.
Puis en euros : on ajoute des euros jusqu'à l'argent donné.
La monnaie rendue, ce sont les centimes et les euros comptés en chemin.

Exemple

Léo achète une montre à $167$ € $95$ c. Il paie avec quatre billets de $50$ €. Déterminer la monnaie rendue.

Correction

Quatre billets de $50$ € font $4 \times 50 = \textcolor{colordef}{200}$ €. Le vendeur compte en avant à partir du prix :

La monnaie rendue est de $\textcolor{olive}{32}$ € et $\textcolor{olive}{5}$ c. Vérification : $167$ € $95$ c $+$ $32$ € $5$ c $=$ $200$ €.

Compétences à pratiquer

Rendre la monnaie en comptant en avant
Rendre la monnaie sur un gros montant

V Poser une addition et une soustraction de montants

Découverte

Adèle achète un livre à $4{,}56$ € et un jeu à $15{,}30$ €. Elle calcule dans sa tête : « $4 + 15 = 19$ euros, $56 + 30 = 86$ centimes : $19{,}86$ €. » Puis elle pose l'addition en colonnes, « pour vérifier ». Comment la pose-t-elle ?

Correction

Elle écrit les euros sous les euros et les centimes sous les centimes, de sorte que la virgule est sous la virgule. Puis elle additionne colonne par colonne, en partant de la droite, exactement comme avec des nombres entiers. $\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r@{}l@{}r@{\;}r} & & & 4 & {,} & 5 & 6 \\ + & & 1 & 5 & {,} & 3 & 0 \\ \hline & & 1 & 9 & {,} & 8 & 6 \\ \end{array}$ Le résultat en colonnes est $19{,}86$ €, le même que dans sa tête. Poser est une façon d'organiser le calcul et de le vérifier ; cela devient nécessaire quand les nombres sont plus lourds.

Méthode — Poser une addition de montants

Aligner : les euros sous les euros, les centimes sous les centimes — la virgule est sous la virgule.
Compléter avec deux chiffres de centimes : un montant sans centimes s'écrit avec « ,00 » ($68$ € $= 68{,}00$ €) ; des centimes seuls s'écrivent après « $0$, » avec deux chiffres ($68$ centimes $= 0{,}68$ € ; $5$ centimes $= 0{,}05$ €).
Additionner en partant de la droite, colonne par colonne, comme avec des nombres entiers.
La retenue : chaque centaine de centimes devient un euro. $45 + 68 = 113$ centimes $= 1$ € et $13$ c : on retient $1$. $80 + 80 + 80 = 240$ centimes $= 2$ € et $40$ c : on retient $2$.
Remettre la virgule dans le résultat, sous les autres.

Exemple

Poser et calculer : (a) $43{,}45$ € $+ 68$ € ; (b) $43{,}45$ € $+ 68$ centimes ; (c) $143$ € $+$ $3{,}67$ € $+ 54$ centimes.

Correction

(a) $68$ € s'écrit $68{,}00$ €. Les centimes : $45 + 0 = 45$. Les euros : $43 + 68 = 111$, avec les retenues habituelles des nombres entiers. Résultat $111{,}45$ €. $\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r@{}l@{}r@{\;}r} & \scriptstyle 1 & \scriptstyle 1 & & & & \\ & & 4 & 3 & {,} & 4 & 5 \\ + & & 6 & 8 & {,} & 0 & 0 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & {,} & 4 & 5 \\ \end{array}$ (b) $68$ centimes s'écrit $0{,}68$ €. Les centimes : $45 + 68 = 113$ c, soit $1$ € et $13$ c : on retient $1$ euro. Résultat $44{,}13$ €. $\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r@{}l@{}r@{\;}r} & & & \scriptstyle 1 & & \scriptstyle 1 & \\ & & 4 & 3 & {,} & 4 & 5 \\ + & & & 0 & {,} & 6 & 8 \\ \hline & & 4 & 4 & {,} & 1 & 3 \\ \end{array}$ (c) Trois lignes : $143{,}00$, $3{,}67$ et $0{,}54$. Les centimes : $0 + 67 + 54 = 121$ c, soit $1$ € et $21$ c : on retient $1$. Les euros : $143 + 3 + 0 + 1 = 147$. Résultat $147{,}21$ €. $\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r@{}l@{}r@{\;}r} & & & \scriptstyle 1 & & \scriptstyle 1 & \\ & 1 & 4 & 3 & {,} & 0 & 0 \\ + & & & 3 & {,} & 6 & 7 \\ + & & & 0 & {,} & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 4 & 7 & {,} & 2 & 1 \\ \end{array}$

Méthode — Poser une soustraction de montants

Aligner et compléter exactement comme pour l'addition : la virgule sous la virgule, deux chiffres de centimes ($68$ € $= 68{,}00$ €).
Soustraire en partant de la droite, colonne par colonne, comme avec des nombres entiers.
L'emprunt : quand les centimes du haut sont trop petits, emprunter un euro : il vaut $100$ centimes, donc les centimes du haut gagnent $100$, et les euros du haut perdent $1$. Pour $74{,}36 - 12{,}50$ : $36 < 50$, donc $136 - 50 = 86$ centimes, et les euros deviennent $73 - 12 = 61$. Dans les colonnes, le $4$ des euros est barré et devient $3$, et un petit $1$ s'écrit devant le $36$.
Remettre la virgule dans le résultat.

Exemple

Poser et calculer : (a) $74{,}56$ € $-$ $15{,}30$ € ; (b) $143{,}45$ € $- 68$ € ; (c) $74{,}36$ € $-$ $12{,}50$ €.

Correction

(a) Les centimes : $56 - 30 = 26$ : aucun euro n'est emprunté pour les centimes. Les euros : $74 - 15 = 59$, soustraits comme des nombres entiers (avec leur propre échange d'une dizaine). Résultat $59{,}26$ €. $\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r@{}l@{}r@{\;}r} & & \scriptstyle 6 & \scriptstyle 14 & & & \\ & & 7 & 4 & {,} & 5 & 6 \\ - & & 1 & 5 & {,} & 3 & 0 \\ \hline & & 5 & 9 & {,} & 2 & 6 \\ \end{array}$ (b) $68$ € s'écrit $68{,}00$ €. Les centimes : $45 - 0 = 45$. Les euros : $143 - 68 = 75$. Résultat $75{,}45$ €. $\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r@{}l@{}r@{\;}r} & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 13 & \scriptstyle 13 & & & \\ & 1 & 4 & 3 & {,} & 4 & 5 \\ - & & 6 & 8 & {,} & 0 & 0 \\ \hline & & 7 & 5 & {,} & 4 & 5 \\ \end{array}$ (c) Les centimes : $36 < 50$, on emprunte un euro (le $4$ devient $3$, le $36$ devient $136$) : $136 - 50 = 86$ centimes. Les euros : $73 - 12 = 61$. Résultat $61{,}86$ €. $\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r@{}l@{}r@{\;}r} & & & \scriptstyle 3 & & & \\ & & 7 & 4 & {,}{\scriptstyle 1} & 3 & 6 \\ - & & 1 & 2 & {,} & 5 & 0 \\ \hline & & 6 & 1 & {,} & 8 & 6 \\ \end{array}$ Vérification par l'addition : $61{,}86~\Euro + 12{,}50~\Euro = 74{,}36~\Euro$.

Compétences à pratiquer

Additionner des montants en colonnes
Soustraire des montants en colonnes
Tickets de caisse et monnaie rendue

VI Problèmes de prix

Découverte

Dans un magasin, un vélo coûte $245$ € et une trottinette $189$ €. Tom veut savoir combien le vélo coûte de plus, et combien les deux coûteraient ensemble. Dire quelle opération répond à chacune des deux questions.

Correction

« Combien de plus » compare deux prix : c'est une différence, donc une soustraction. $$\textcolor{colordef}{245}-\textcolor{colorprop}{189}=\textcolor{olive}{56}$$ Le vélo coûte $56$ € de plus — c'est le plus cher.
« Les deux ensemble » réunit deux prix : c'est une somme, donc une addition. $$\textcolor{colordef}{245}+\textcolor{colorprop}{189}=\textcolor{olive}{434}$$ Les deux ensemble coûtent $434$ €.

Méthode — Choisir l'opération dans un problème de prix

Ensemble, en tout, le total $\rightarrow$ une addition.
Combien de plus, combien de moins, ce qui reste $\rightarrow$ une soustraction.
Le même article plusieurs fois $\rightarrow$ une multiplication.
Le double, c'est deux fois le prix ; la moitié, c'est le prix partagé en deux.
En deux étapes : il arrive que la réponse demande un nombre intermédiaire que l'énoncé ne donne pas — le prix des trois cahiers, le total de deux achats. On calcule d'abord ce nombre, et seulement ensuite on répond à la question.

Les mots sont un indice, pas une règle : ce qui décide, c'est ce que la question demande.

Exemple

Un jeu coûte $36$ €. Déterminer le double de ce prix, puis sa moitié.

Correction

Le double, c'est deux fois le prix : $36 \times 2 = \textcolor{olive}{72}$ €. La moitié, c'est le prix partagé en deux : $36 = 18+18$, donc la moitié est $\textcolor{olive}{18}$ €.
Pour un prix plus grand, on casse d'abord le nombre : la moitié de $150$ €, c'est la moitié de $100$ plus la moitié de $50$, soit $50+25=75$ €.

Exemple

Sam a $80$ €. Il achète trois cahiers à $7$ € l'un. Déterminer ce qui lui reste.

Correction

L'énoncé ne donne pas le prix des trois cahiers : c'est la première étape. $$\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{7}=\textcolor{colordef}{21}~\text{€}$$ Ensuite, ce qui reste est une soustraction. $$\textcolor{olive}{80}-\textcolor{colordef}{21}=\textcolor{olive}{59}~\text{€}$$ Il lui reste $59$ €.

Exemple

Adèle paie $3{,}50$ € et Victor paie $2$ €. Déterminer ce qu'ils paient ensemble.

Correction

Les deux écritures disent la même chose : $3{,}50$ €, c'est $3$ € $50$ c. On additionne les euros, les centimes restent : $$\textcolor{colordef}{3}~\text{€}~\textcolor{colorprop}{50}~\text{c}+\textcolor{colordef}{2}~\text{€}=\textcolor{olive}{5}~\text{€}~\textcolor{colorprop}{50}~\text{c}$$ Ensemble ils paient $5$ € $50$ c, c'est-à-dire $\textcolor{olive}{5{,}50}$ €.

Compétences à pratiquer

La différence entre deux prix
Les problèmes en deux étapes
Le double et la moitié
Calculer en écriture à virgule

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Écrire les montants et rendre la monnaie
Résoudre des problèmes à plusieurs questions
Quiz